空间曲线的曲率与挠率
我们先从最直观的曲线——平面曲线开始，逐步引入空间曲线，并最终聚焦于其核心的局部不变量：曲率和挠率。
步骤一：从平面曲线的曲率说起
你已经知道圆的曲率半径和密切圆。对于一条更一般的平面曲线 \(C\)，我们如何在某一点 \(P\) 定量地描述它“弯曲”的程度？
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弧长参数化：为了消除参数选择带来的影响，我们优先采用弧长参数 \(s\) 来描述曲线。即，曲线上从某固定点开始测量的长度作为参数。设曲线为 \(\mathbf{r}(s) = (x(s), y(s))\)。此时，切向量 \(\mathbf{T}(s) = \frac{d\mathbf{r}}{ds}\) 是单位向量（因为弧长的微分等于弦长的极限）。
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曲率的几何定义：曲率 \(\kappa\) 衡量的是曲线的切向量方向相对于弧长的变化率。
具体而言：
\[ \kappa(s) = \left\| \frac{d\mathbf{T}}{ds} \right\| \]
其中 \(\frac{d\mathbf{T}}{ds}\) 是单位切向量对弧长的导数。由于 \(\mathbf{T}\) 是单位长，它的导数 \(\frac{d\mathbf{T}}{ds}\) 垂直于 \(\mathbf{T}\) 本身（可通过微分 \(\mathbf{T} \cdot \mathbf{T} = 1\) 证明）。这个方向正是曲线的法线方向。
- 几何解释：
- \(\kappa\) 是一个非负数。
- \(\kappa = 0\) 表示直线（切向量方向不变）。
- \(\kappa\) 越大，表示在单位弧长上切向量的方向改变得越快，曲线越“弯曲”。
- 对于半径为 \(R\) 的圆，其曲率是常数 \(\kappa = \frac{1}{R}\)。这验证了我们的直觉：半径越小，曲率越大，圆弯得越厉害。
- 曲率的倒数 \(\rho = \frac{1}{\kappa}\) 就是该点处的曲率半径。密切圆（你已学过）的半径正是 \(\rho\)。
步骤二：引入空间曲线与 Frenet 标架
现在，我们将曲线从平面推广到三维空间。设空间曲线 \(C\) 由弧长参数化：\(\mathbf{r}(s) = (x(s), y(s), z(s))\)。
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单位切向量：与平面情形相同，\(\mathbf{T}(s) = \mathbf{r}'(s)\) 仍是单位切向量。
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主法向量与曲率：
- 我们同样关心 \(\mathbf{T}'(s)\)。在空间中，它仍然垂直于 \(\mathbf{T}\)（证明同前）。
- 定义曲率 \(\kappa(s) = \|\mathbf{T}'(s)\| \geq 0\)。
- 当 \(\kappa(s) > 0\) 时，我们可以定义一个单位主法向量：
\[ \mathbf{N}(s) = \frac{\mathbf{T}'(s)}{\|\mathbf{T}'(s)\|} = \frac{\mathbf{T}'(s)}{\kappa(s)} \]
- 向量 \(\mathbf{N}(s)\) 指向曲线在该点的弯曲方向，也就是密切圆（在密切平面内）的圆心方向。
- 从法向量与 Frenet 标架：
- 在空间中，我们需要第三个向量来标定垂直于 \(\mathbf{T}\) 和 \(\mathbf{N}\) 的方向。
- 定义单位从法向量 \(\mathbf{B}(s) = \mathbf{T}(s) \times \mathbf{N}(s)\)。
- 这样，在曲线每一点（\(\kappa > 0\) 处），我们得到了一个右手正交单位标架 \(\{ \mathbf{T}(s), \mathbf{N}(s), \mathbf{B}(s) \}\)，称为 Frenet 标架。
- 这三个向量张成的三个平面有特定名称：
- 密切平面：由 \(\mathbf{T}\) 和 \(\mathbf{N}\) 张成，是曲线在该点“最贴合”的平面。
- 法平面：由 \(\mathbf{N}\) 和 \(\mathbf{B}\) 张成，包含所有垂直于切线的直线。
- 从切平面：由 \(\mathbf{T}\) 和 \(\mathbf{B}\) 张成。
步骤三：核心新概念——挠率
这是空间曲线区别于平面曲线的关键。
- 挠率的直观意义：挠率 \(\tau(s)\) 衡量的是曲线脱离密切平面的速率，或者说曲线“扭曲”成空间螺旋状的程度。
- 一条平面曲线永远躺在同一个平面（即密切平面）里，因此它的挠率处处为 \(0\)。
- 对于一条空间曲线（如螺旋线），其密切平面会随着点的移动而转动。挠率就量化了从法向量 \(\mathbf{B}\)（或密切平面法线）的转动速率。
- 挠率的数学定义：我们通过研究 Frenet 标架随弧长如何变化来定义它。
- 我们已经知道：\(\mathbf{T}’ = \kappa \mathbf{N}\) （这是曲率定义的重新表述）。
- 接下来考虑 \(\mathbf{B}’\)。由于 \(\mathbf{B}\) 是单位向量，\(\mathbf{B}’\) 也垂直于 \(\mathbf{B}\)。
- 可以证明 \(\mathbf{B}’\) 平行于 \(-\mathbf{N}\)。于是我们定义挠率 \(\tau(s)\) 满足：
\[ \mathbf{B}'(s) = -\tau(s) \mathbf{N}(s) \]
- 这个公式的意义：从法向量 \(\mathbf{B}\) 的变化率指向主法向的反方向，其大小 \(|\tau(s)|\) 就是变化速率。\(\tau > 0\) 和 \(\tau < 0\) 分别表示曲线朝不同方向“扭转”。
- Frenet-Serret 公式：
为了完整描述 Frenet 标架的运动，我们还需要 \(\mathbf{N}’\) 的公式。通过微分 \(\mathbf{N} = \mathbf{B} \times \mathbf{T}\) 并利用 \(\mathbf{T}’\) 和 \(\mathbf{B}’\) 的公式，可以得到：
\[ \mathbf{N}'(s) = -\kappa(s) \mathbf{T}(s) + \tau(s) \mathbf{B}(s) \]
将三个导数的公式写在一起，就得到了微分几何中极为重要的 **Frenet-Serret 公式**：
\[ \begin{cases} \mathbf{T}'(s) = & \quad \kappa(s) \mathbf{N}(s) \\ \mathbf{N}'(s) = -\kappa(s) \mathbf{T}(s) & + \tau(s) \mathbf{B}(s) \\ \mathbf{B}'(s) = & -\tau(s) \mathbf{N}(s) \end{cases} \]
这个方程组完全由两个标量函数 \(\kappa(s)\) 和 \(\tau(s)\) 控制，它们被称为空间曲线的局部不变量。
步骤四：曲率与挠率的计算与基本定理
- 对于一般参数的计算公式：
如果曲线不是弧长参数化，比如 \(\mathbf{r}(t)\)，其中 \(t\) 是任意参数，计算曲率和挠率的实用公式为：
\[ \kappa(t) = \frac{\|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}’’(t)\|}{\|\mathbf{r}'(t)\|^3} \]
\[ \tau(t) = \frac{[\mathbf{r}'(t), \mathbf{r}’’(t), \mathbf{r}’’’(t)]}{\|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}’’(t)\|^2} \]
其中 \([\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}]\) 表示三重积 \(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})\)。
- 空间曲线的基本定理：
这是曲率与挠率重要性的顶峰。该定理指出：
- 存在性与唯一性：给定两个连续函数 \(\kappa(s) > 0\) 和 \(\tau(s)\)，除了在空间中的位置和朝向不同，存在且仅存在一条空间曲线，以 \(s\) 为弧长，以给定的 \(\kappa(s)\) 和 \(\tau(s)\) 作为其曲率和挠率。
- 不变性：两条空间曲线可以通过刚体运动（平移加旋转）重合的充要条件是，它们有相同的弧长参数化的曲率函数 \(\kappa(s)\) 和挠率函数 \(\tau(s)\)。
- 这一定理深刻揭示了：曲率 \(\kappa\) 和挠率 \(\tau\) 完全决定了空间曲线的形状（忽略其在空间中的摆放位置）。它们之于空间曲线，就如同 DNA 之于生物体。
总结
- 曲率 \(\kappa\)：描述曲线在密切平面内的弯曲程度，是切向量方向的变化率。
- 挠率 \(\tau\)：描述曲线脱离密切平面的扭转程度，是从法向量方向的变化率（带符号）。
- Frenet 标架：由切向量 \(\mathbf{T}\)、主法向量 \(\mathbf{N}\)、从法向量 \(\mathbf{B}\) 构成的活动正交标架，是分析曲线局部几何的天然坐标系。
- Frenet-Serret 公式：描述了该活动标架随弧长变化的动力学，由 \(\kappa\) 和 \(\tau\) 驱动。
- 基本定理：\(\kappa(s)\) 和 \(\tau(s)\) 是决定空间曲线形状的完整且最小的不变量集。
通过以上步骤，我们从熟悉的平面曲率出发，通过引入第三个维度和 Frenet 标架，自然地导出了刻画空间曲线“扭曲”本质的量——挠率，并最终理解了这对不变量如何完全编码了一条空间曲线的几何信息。