Lie代数

字数 2848 2025-12-12 03:07:40

Lie代数

我们先从一个具体的例子开始理解这个概念。
考虑所有 \(n \times n\) 实矩阵构成的集合 \(\mathfrak{gl}(n, \mathbb{R})\)。它显然是一个向量空间（可以相加、数乘）。但矩阵还有一个自然运算：乘法。然而，矩阵乘法不满足交换律，且两个矩阵的乘积不一定仍在集合中（但这里我们取所有矩阵，所以乘积仍在其中）。不过，如果我们定义一个新的运算：

\[[A, B] = AB - BA \]

这个运算称为 李括号（Lie bracket）。你可以验证它满足以下性质（对任意 \(A,B,C \in \mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})\) 和标量 \(\lambda,\mu\)）：

双线性性：

\[ [\lambda A + \mu B, C] = \lambda [A,C] + \mu [B,C] \]

\[ [A, \lambda B + \mu C] = \lambda [A,B] + \mu [A,C] \]

反对称性：

\[ [A,B] = -[B,A] \quad \Rightarrow \quad [A,A] = 0 \]

雅可比恒等式：

\[ [A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]] = 0 \]

现在我们抽象地定义：
一个 李代数 是一个向量空间 \(\mathfrak{g}\)（通常在某个域上，如实数或复数），配备一个双线性映射 \([\cdot,\cdot]: \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}\) 满足上述三条性质。

第一步：与群的联系
李代数常出现在李群（Lie group）的研究中。一个李群 \(G\) 是一个光滑流形同时是群，且群运算是光滑的。例如，一般线性群 \(GL(n,\mathbb{R})\) 是一个李群。
在单位元 \(e \in G\) 处取切空间 \(T_e G\)，这个切空间自然成为一个李代数：对于两个切向量 \(X,Y \in T_e G\)，我们可以通过李群的左不变向量场构造李括号，使得 \([X,Y]\) 仍是一个左不变向量场，对应 \(T_e G\) 中某个元素。
所以直观上：李代数是李群在单位元处的“无穷小化”或“线性化”。

第二步：子代数、理想与同态
类似环论中的理想，李代数也有相应概念：

子代数：子空间 \(\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g}\) 满足 \([\mathfrak{h},\mathfrak{h}] \subset \mathfrak{h}\)。
理想：子空间 \(\mathfrak{i} \subset \mathfrak{g}\) 满足 \([\mathfrak{g},\mathfrak{i}] \subset \mathfrak{i}\)（自动也有 \([\mathfrak{i},\mathfrak{g}] \subset \mathfrak{i}\)）。
同态：线性映射 \(\phi: \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}'\) 满足 \(\phi([X,Y]) = [\phi(X),\phi(Y)]\)。

如果 \(\mathfrak{i}\) 是理想，则商空间 \(\mathfrak{g}/\mathfrak{i}\) 具有自然的李代数结构：

\[[X+\mathfrak{i}, Y+\mathfrak{i}] = [X,Y] + \mathfrak{i} \]

第三步：例子（除了矩阵李代数）

三维向量空间的外积：取 \(\mathbb{R}^3\) 配备向量叉积 \(\times\)，这是一个李代数（反对称、雅可比恒等式成立）。
海森堡李代数：生成元 \(p,q,c\) 满足

\[ [p,q] = c,\quad [p,c]=[q,c]=0 \]

这是物理学中量子力学对易关系 \([x,p]=i\hbar\) 的实数版本（忽略复数单位）。

第四步：单李代数与半单李代数

可解李代数：定义降中心列 \(\mathfrak{g}^{(0)} = \mathfrak{g},\ \mathfrak{g}^{(k+1)} = [\mathfrak{g}^{(k)},\mathfrak{g}^{(k)}]\)，若存在 \(m\) 使 \(\mathfrak{g}^{(m)} = 0\)，则可解。
幂零李代数：定义降中心列 \(\mathfrak{g}^0 = \mathfrak{g},\ \mathfrak{g}^{k+1} = [\mathfrak{g},\mathfrak{g}^k]\)，若存在 \(m\) 使 \(\mathfrak{g}^m = 0\)，则幂零。
半单李代数：没有非零的可解理想。等价于其基灵型（Killing form） \(\kappa(X,Y) = \mathrm{tr}(\mathrm{ad}_X \mathrm{ad}_Y)\) 非退化。
单李代数：非阿贝尔且没有非平凡理想。

第五步：分类（复数情形）
复数上半单李代数可由 Dynkin 图分类：四个经典系列 \(A_n, B_n, C_n, D_n\) 和五个例外 \(E_6,E_7,E_8,F_4,G_2\)。每个对应一个单李代数（如 \(A_n\) 对应 \(\mathfrak{sl}(n+1,\mathbb{C})\)，即迹零矩阵的李代数）。

第六步：表示论
李代数 \(\mathfrak{g}\) 的表示是一个线性作用 \(\rho: \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V)\) 使得 \(\rho([X,Y]) = \rho(X)\rho(Y) - \rho(Y)\rho(X)\)。
重要例子：

伴随表示： \(\mathrm{ad}_X(Y) = [X,Y]\)，这是李代数自身的表示。
半单李代数的有限维表示可由最高权理论完全分类。

最后：物理与几何中的角色

在粒子物理中，李代数描述基本相互作用的对称性（如 \(SU(3)\) 对应量子色动力学）。
在微分几何中，李代数出现在向量场的李括号、联络的曲率等结构中。
在可积系统中，李代数与守恒律、对称性密切相关。

这就是李代数的基本框架：它从李群的局部线性化出发，发展出一套独立于群的代数理论，并在多个数学物理分支中成为核心工具。

Lie代数我们先从一个具体的例子开始理解这个概念。考虑所有 \( n \times n \) 实矩阵构成的集合 \( \mathfrak{gl}(n, \mathbb{R}) \)。它显然是一个向量空间（可以相加、数乘）。但矩阵还有一个自然运算：乘法。然而，矩阵乘法不满足交换律，且两个矩阵的乘积不一定仍在集合中（但这里我们取所有矩阵，所以乘积仍在其中）。不过，如果我们定义一个新的运算： \[ [ A, B ] = AB - BA \] 这个运算称为李括号（Lie bracket）。你可以验证它满足以下性质（对任意 \( A,B,C \in \mathfrak{gl}(n,\mathbb{R}) \) 和标量 \( \lambda,\mu \)）：双线性性： \[ [ \lambda A + \mu B, C] = \lambda [ A,C] + \mu [ B,C ] \] \[ [ A, \lambda B + \mu C] = \lambda [ A,B] + \mu [ A,C ] \] 反对称性： \[ [ A,B] = -[ B,A] \quad \Rightarrow \quad [ A,A ] = 0 \] 雅可比恒等式： \[ [ A,[ B,C]] + [ B,[ C,A]] + [ C,[ A,B] ] = 0 \] 现在我们抽象地定义：一个李代数是一个向量空间 \( \mathfrak{g} \)（通常在某个域上，如实数或复数），配备一个双线性映射 \( [ \cdot,\cdot ]: \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g} \) 满足上述三条性质。第一步：与群的联系李代数常出现在李群（Lie group）的研究中。一个李群 \( G \) 是一个光滑流形同时是群，且群运算是光滑的。例如，一般线性群 \( GL(n,\mathbb{R}) \) 是一个李群。在单位元 \( e \in G \) 处取切空间 \( T_ e G \)，这个切空间自然成为一个李代数：对于两个切向量 \( X,Y \in T_ e G \)，我们可以通过李群的左不变向量场构造李括号，使得 \( [ X,Y] \) 仍是一个左不变向量场，对应 \( T_ e G \) 中某个元素。所以直观上：李代数是李群在单位元处的“无穷小化”或“线性化”。第二步：子代数、理想与同态类似环论中的理想，李代数也有相应概念：子代数：子空间 \( \mathfrak{h} \subset \mathfrak{g} \) 满足 \( [ \mathfrak{h},\mathfrak{h} ] \subset \mathfrak{h} \)。理想：子空间 \( \mathfrak{i} \subset \mathfrak{g} \) 满足 \( [ \mathfrak{g},\mathfrak{i}] \subset \mathfrak{i} \)（自动也有 \( [ \mathfrak{i},\mathfrak{g} ] \subset \mathfrak{i} \)）。同态：线性映射 \( \phi: \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}' \) 满足 \( \phi([ X,Y]) = [ \phi(X),\phi(Y) ] \)。如果 \( \mathfrak{i} \) 是理想，则商空间 \( \mathfrak{g}/\mathfrak{i} \) 具有自然的李代数结构： \[ [ X+\mathfrak{i}, Y+\mathfrak{i}] = [ X,Y ] + \mathfrak{i} \] 第三步：例子（除了矩阵李代数）三维向量空间的外积：取 \( \mathbb{R}^3 \) 配备向量叉积 \( \times \)，这是一个李代数（反对称、雅可比恒等式成立）。海森堡李代数：生成元 \( p,q,c \) 满足 \[ [ p,q] = c,\quad [ p,c]=[ q,c ]=0 \] 这是物理学中量子力学对易关系 \([ x,p ]=i\hbar\) 的实数版本（忽略复数单位）。第四步：单李代数与半单李代数可解李代数：定义降中心列 \( \mathfrak{g}^{(0)} = \mathfrak{g},\ \mathfrak{g}^{(k+1)} = [ \mathfrak{g}^{(k)},\mathfrak{g}^{(k)} ] \)，若存在 \( m \) 使 \( \mathfrak{g}^{(m)} = 0 \)，则可解。幂零李代数：定义降中心列 \( \mathfrak{g}^0 = \mathfrak{g},\ \mathfrak{g}^{k+1} = [ \mathfrak{g},\mathfrak{g}^k ] \)，若存在 \( m \) 使 \( \mathfrak{g}^m = 0 \)，则幂零。半单李代数：没有非零的可解理想。等价于其基灵型（Killing form） \( \kappa(X,Y) = \mathrm{tr}(\mathrm{ad}_ X \mathrm{ad}_ Y) \) 非退化。单李代数：非阿贝尔且没有非平凡理想。第五步：分类（复数情形）复数上半单李代数可由 Dynkin 图分类：四个经典系列 \( A_ n, B_ n, C_ n, D_ n \) 和五个例外 \( E_ 6,E_ 7,E_ 8,F_ 4,G_ 2 \)。每个对应一个单李代数（如 \( A_ n \) 对应 \( \mathfrak{sl}(n+1,\mathbb{C}) \)，即迹零矩阵的李代数）。第六步：表示论李代数 \( \mathfrak{g} \) 的表示是一个线性作用 \( \rho: \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V) \) 使得 \( \rho([ X,Y ]) = \rho(X)\rho(Y) - \rho(Y)\rho(X) \)。重要例子：伴随表示： \( \mathrm{ad}_ X(Y) = [ X,Y ] \)，这是李代数自身的表示。半单李代数的有限维表示可由最高权理论完全分类。最后：物理与几何中的角色在粒子物理中，李代数描述基本相互作用的对称性（如 \( SU(3) \) 对应量子色动力学）。在微分几何中，李代数出现在向量场的李括号、联络的曲率等结构中。在可积系统中，李代数与守恒律、对称性密切相关。这就是李代数的基本框架：它从李群的局部线性化出发，发展出一套独立于群的代数理论，并在多个数学物理分支中成为核心工具。