二次型的自守形式的傅里叶展开与西格尔公式
好的，我们开始一个新的词条。这个词条将引导你理解如何从具体的、易于计算的二次型表示数公式，走向深刻的自守形式傅里叶展开及其核心公式。
第一步：从具体问题出发——数一个二次型能表示多少个数
我们考虑一个最简单、最具体的问题。给定一个正的、偶的、整系数二次型。例如，考虑平方和函数：
\[Q(x, y) = x^2 + y^2 \]
对于任意一个正整数 \(n\)，我们关心它有多少种方法可以写成两个整数的平方和。用数学语言，我们关心“表示数”：
\[r_Q(n) = \#\{ (x, y) \in \mathbb{Z}^2 : x^2 + y^2 = n \} \]
比如，\(5 = 1^2 + 2^2 = (-1)^2 + 2^2 = ...\)，但 \((1,2)\) 和 \((2,1)\) 被视为不同的有序对表示。通过具体计算，我们可以列出一个表：
- \(r_Q(1) = 4\) (对应 \((\pm1, 0)\) 和 \((0, \pm1)\))
- \(r_Q(2) = 4\)
- \(r_Q(3) = 0\)
- \(r_Q(4) = 4\)
- \(r_Q(5) = 8\)
这个数列看起来有规律，但似乎并不简单。一个核心问题是：能否找到一个“封闭公式”来计算 \(r_Q(n)\)？
第二步：利用生成函数（Theta级数）汇总所有信息
要研究所有 \(r_Q(n)\)，一个强有力的工具是将其打包成一个生成函数，称为 Theta级数。对于我们的例子：
\[\Theta_Q(z) = \sum_{(x, y) \in \mathbb{Z}^2} e^{2\pi i z (x^2 + y^2)/2} = \sum_{n=0}^{\infty} r_Q(n) e^{2\pi i n z} \]
这里我们引入了一个复变量 \(z\)，它在上半复平面 \(\mathfrak{H} = \{z: \text{Im}(z) > 0\}\) 中，以保证级数绝对收敛。这个函数将所有表示数 \(r_Q(n)\) 编码为其傅里叶展开的系数。
更一般地，对于一个 \(m\) 元正定整系数二次型 \(Q(\vec{x}) = \frac{1}{2} \vec{x}^T A \vec{x}\)，其中 \(A\) 是一个偶的、正定的对称整矩阵，其对应的Theta级数定义为：
\[\Theta_Q(z) = \sum_{\vec{x} \in \mathbb{Z}^m} e^{2\pi i z Q(\vec{x})} = \sum_{n=0}^{\infty} r_Q(n) e^{2\pi i n z} \]
其中 \(r_Q(n) = \#\{\vec{x} \in \mathbb{Z}^m: Q(\vec{x}) = n\}\)。
第三步：Theta级数是模形式（自守形式）
一个关键的、深刻的发现是：对于“好”的二次型（如正定、偶、整），其Theta级数 \(\Theta_Q(z)\) 是一个模形式。这意味着它在某个“同余子群” \(\Gamma\) 下具有对称性（自守性）：
\[\Theta_Q\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^{m/2} \chi(\gamma) \Theta_Q(z), \quad \forall \gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Gamma \]
其中 \(m\) 是变量个数（二次型的秩），\(\chi\) 是一个特征（依赖行列式等）。
对于 \(Q(x, y)=x^2+y^2\) 来说，可以证明 \(\Theta_Q(z)\) 是权为1，特征为 \(\chi_{-4}\)（即勒让德符号 \(\left(\frac{-4}{\cdot}\right)\) ）的模形式。这个对称性极其强大，它约束了 \(\Theta_Q(z)\) 的整个结构。
第四步：傅里叶展开与傅里叶系数的分解
由于模形式的周期性（即对 \(z \to z+1\) 的行为），它必然可以展开成我们之前写出的形式：
\[\Theta_Q(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_Q(n) e^{2\pi i n z} \]
其中系数 \(a_Q(n)\) 正是表示数 \(r_Q(n)\)。模形式的理论告诉我们，这个傅里叶展开是其核心。
现在，一个自然的问题是：能否将系数 \(a_Q(n)\) 分解为更容易理解的部分？答案是肯定的，这引向了西格尔公式的思想。
第五步：西格尔公式的核心思想——局部与整体
西格尔公式，是数论中局部-整体原理在表示数问题上的深刻体现。其基本思想是：
\[r_Q(n) \, (\text{整体表示数}) \quad \text{“近似等于”} \quad \prod_{p \leq \infty} \beta_p(n) \, (\text{局部密度的乘积}) \]
更精确地说：
\[r_Q(n) \quad \text{与} \quad n^{m/2 -1} \times \left( \prod_{p<\infty} \alpha_p(n) \right) \quad \text{成正比} \]
其中：
- 主项：\(n^{m/2 -1}\) 是“实局部密度”（对应 \(p=\infty\)，即实数域 \(\mathbb{R}\) 上的积分体积因子）。
- 局部因子：对每个有限素数 \(p\)，\(\alpha_p(n)\) 是“\(p\)进局部密度”，表示方程 \(Q(\vec{x}) = n\) 在 \(p\)进整数环 \(\mathbb{Z}_p\) 中的解的“密度”或“测度”。这个因子可以通过解模 \(p^k\) 的同余方程来逼近和计算。
第六步：西格尔公式的确切形式与“奇异级数”
对于一个正定偶整二次型 \(Q\)，西格尔证明了如下精确公式：
\[r_Q(n) = \frac{\pi^{m/2}}{\Gamma(m/2)} n^{m/2 - 1} \cdot \left( \prod_{p<\infty} \alpha_p(n) \right) \cdot \mathcal{E}(n) \]
我们通常将局部因子的无穷乘积 \(\prod_{p} \alpha_p(n)\) 称为奇异级数。而 \(\mathcal{E}(n)\) 是一个“纠错项”或“例外项”。
- 局部密度 \(\alpha_p(n)\)：可以显式计算。例如，对于 \(Q = x^2+y^2\) 和奇数 \(n\)，有 \(\alpha_p(n) = 1 + \chi_{-4}(p) p^{-1} + \dots\) 的形式。当 \(p\) 不整除 \(2n\) 时， \(\alpha_p(n) = 1 + \chi_{-4}(n)p^{-1}\)。
- 奇异级数：这个无穷乘积通常收敛到一个非零值。它反映了方程 \(Q(\vec{x}) = n\) 在所有 \(p\)进域上都有解（即满足哈塞-闵可夫斯基原理）的程度。如果对某个 \(p\)，\(\alpha_p(n)=0\)，则整体无整数解。
- 纠错项 \(\mathcal{E}(n)\)：这个项通常与二次型 \(Q\) 对应的自守形式空间有关。对于 \(x^2+y^2\)，其Theta级数 \(\Theta_Q\) 本身就是一个模形式。但在更一般的情况下，\(\Theta_Q\) 可能不是一个“本原”的模形式，而是可以分解为一个艾森斯坦级数（其系数由主项和奇异级数控制）和一个尖点形式（其系数贡献了纠错项 \(\mathcal{E}(n)\)）的和。
第七步：与自守形式傅里叶展开的联系——艾森斯坦部分与尖点部分
这正是本词条标题“二次型的自守形式的傅里叶展开与西格尔公式”的精髓所在。
考虑一般正定二次型 \(Q\) 的Theta级数 \(\Theta_Q(z)\)。根据模形式理论，它可以正交分解为：
\[\Theta_Q(z) = E_Q(z) + C_Q(z) \]
其中：
- \(E_Q(z)\) 是一个艾森斯坦级数。其第 \(n\) 个傅里叶系数 \(a_{E}(n)\) 的主项就是西格尔公式中的主项 \(n^{m/2-1}\) 乘以奇异级数 \(\prod_p \alpha_p(n)\)。这给出了表示数的“平均”或“预期”行为。
- \(C_Q(z)\) 是一个尖点形式。其第 \(n\) 个傅里叶系数 \(a_C(n)\) 就是西格尔公式中的纠错项 \(\mathcal{E}(n)\)。它刻画了表示数 \(r_Q(n)\) 围绕其平均值 \(a_E(n)\) 的波动。这个波动项通常更小（由Ramanujan-Petersson猜想或其证明所控制），但包含了深刻的算术信息。
因此，西格尔公式本质上就是Theta级数（一种自守形式）的傅里叶系数的精确分解公式。它将一个整体的计数 \(r_Q(n)\)，分解为：
- 一个由局部数据（所有素数的局部密度）决定的、可计算的“主项”（艾森斯坦级数部分）。
- 一个由整体自守形式（尖点形式）决定的、更微妙的“纠错项”。
总结
我们从数“有多少种方法把一个数写成平方和”这个具体问题出发，引入了生成函数Theta级数，认识到它是一个模形式（自守形式），因此具有傅里叶展开。为了理解其傅里叶系数（即表示数）的规律，西格尔公式提供了一个强大的工具：将整体表示数分解为所有局部密度的乘积（奇异级数）再乘以一个由尖点形式贡献的纠错项。这完美地将二次型的算术问题（表示数）、代数问题（局部可解性）和分析问题（自守形式的傅里叶展开）统一在了一个框架之下，体现了数论中局部-整体原理和自守形式理论的深刻与优美。