沃林问题（Waring‘s Problem）
字数 3058 2025-12-12 02:23:34

好的，我们这次来讲解一个与整数表示和组合相关的深刻数论概念。

沃林问题（Waring‘s Problem）

要理解沃林问题，我们需要从最基础的数字直觉开始，逐步深入到其现代解答的核心思想。

第一步：从平方数到四次方数——一个直观的观察

首先，考虑我们熟悉的平方数：1, 4, 9, 16, 25, ...
一个非常古老的问题是：是否每一个正整数都可以写成有限个平方数之和？
答案是否定的。例如，数字7，你无法用4个以下的平方数之和来表示（1+1+1+4=7用了四个）。但数学家拉格朗日在1770年证明了著名的四平方和定理：每一个正整数都可以表示为最多四个平方数之和。 比如，7 = 4 + 1 + 1 + 1。

那么，对于立方数（1, 8, 27, 64, ...）呢？是不是需要有限个？需要多少个？
尝试一下：23 = 8 + 8 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1，用了9个立方数。是否存在一个上限，使得所有正整数都能用不超过这个数量的立方数之和来表示？

第二步：问题的精确表述

英国数学家爱德华·华林在1770年（与拉格朗日证明四平方定理同年）提出了一个大胆的猜想，即沃林问题：

对于任意给定的整数 k ≥ 2，存在一个与之相关的正整数 g(k)，使得每一个正整数都可以写成至多 g(k) 个非负整数的 k 次方 之和。

换句话说，固定指数k：

  • 当 k=2 时，问题就是“四平方和定理”，结论是 g(2) = 4。
  • 当 k=3 时，问题是：是否存在一个数 g(3)，使得所有正整数都是不超过 g(3) 个立方数之和？
  • 当 k=4, 5, ... 时，同样的问题。

第三步：问题的初步分析与平凡下界

在试图寻找 g(k) 之前，我们先思考一下它至少需要多大。
考虑一个特殊的数： n = 2^k * q - 1，其中 q 是一个待定的整数。
为了用 k 次方数表示这个数，我们能用的最大“零件”是什么？显然是小于 n 的最大 k 次方数，即 floor(n^(1/k))^k。
让我们看一个具体例子，寻找 g(k) 的一个下界。

考虑所有小于 2^k 的数。要表示这些数，我们只能使用 1^k = 1 这个 k 次方数。因此，要表示数字 2^k - 1，我们需要 (2^k - 1) 个 1 相加。
所以，至少需要 2^k - 1 个 1 才能表示这个数。这给了我们一个下界： g(k) ≥ 2^k + [ (3/2)^k ] - 2 （经过更精细的构造，比如用尽量多的 2^k 和 1 来构造一个难以表示的数，可以得到这个更紧的下界）。

例如：

  • k=2: 下界是 2^2 + floor(1.5^2) - 2 = 4 + 2 - 2 = 4。 这与 g(2)=4 相符。
  • k=3: 下界是 8 + floor(3.375) - 2 = 8 + 3 - 2 = 9。 所以 g(3) 至少是 9。
  • k=4: 下界是 16 + floor(5.0625) - 2 = 16 + 5 - 2 = 19。

第四步：希尔伯特的开创性工作与存在性证明

沃林猜想提出后的一百多年里，数学家们只能解决一些零星的特例。直到1909年，大卫·希尔伯特取得了里程碑式的突破。他运用了复杂的多重积分和恒等式构造，证明了：

对于任意 k ≥ 2，这样的数 g(k) 确实存在。

这是一个存在性证明。它告诉世界，沃林问题的答案是肯定的，每个 k 都有一个有限的 g(k)。但是，希尔伯特的证明方法非常复杂，且没有给出计算 g(k) 具体值的有效途径。它更像是一个“理论保证”。

第五步：确定 g(k) 的具体值——哈代、李特尔伍德与维诺格拉多夫

希尔伯特之后，问题的焦点转向了：g(k) 到底等于多少？
这需要两个步骤：

  1. 证明除了有限多个“例外”的正整数外，所有其他正整数都能用比下界更少的 k 次方数表示。这个“更少”的数记为 G(k)。显然 G(k) ≤ g(k)。
  2. 对于那有限多个“例外”的数，逐一验证它们需要多少 k 次方数，从而最终确定 g(k)。

G(k) 的研究： 20世纪初，戈弗雷·哈代和约翰·李特尔伍德开创了圆法。他们将表示正整数 N 为 k 次方和的表示个数，写成了一个周期积分的傅里叶级数形式。通过分析这个积分在主区间和剩余区间上的贡献，他们为 G(k) 的研究建立了强大的解析工具。

后来，苏联数学家伊万·维诺格拉多夫大幅改进了圆法中对于“次要区间”的估计。他的强大方法证明了，对于足够大的 k，G(k) 远小于 g(k) 的理论下界。例如，他证明了几乎所有的正整数都能用不超过 s 个 k 次方数表示，只要 s 比某个数大。特别地，对于立方和，他的方法最终导致了关键的结论：所有足够大的整数都可以写成不超过 7 个立方数之和。

确定 g(k)： 结合 G(k) 的解析结果（处理“大的”整数）和直接的计算验证（处理“有限的、小的”整数），数学家们陆续确定了大多数 g(k) 的值。一个经典的公式（由林尼克等人最终完善）是：

设 A = 2^k， B = (3/2)^k 的整数部分，C = (4/3)^k 的整数部分。
如果 2^k - 1 能被 (B + C - 1) 精确地整除，那么 g(k) = 2^k + B + C - 2。
否则， g(k) = 2^k + B + C - 3。

这个公式对所有“不是太小”的 k 都成立，并且对于小 k 需要单独验证。

  • g(2) = 4 (四平方和定理)。
  • g(3) = 9 （需要9个立方数。已知只有23和239需要9个，其他所有数最多需要8个，且除有限多例外，最多需要7个，即 G(3) ≤ 7）。
  • g(4) = 19， g(5) = 37， g(6) = 73， 等等。

第六步：未解之谜与 G(k) 问题

虽然 g(k) 已经基本确定，但一个更精细、更深刻的问题依然吸引着数学家：

G(k)： 找到一个最小的数 s，使得所有足够大的正整数都能表示为最多 s 个非负整数的 k 次方之和。

G(k) 忽略了有限多个小的例外数，它刻画了整数表示的“渐近行为”。确定 G(k) 极其困难。

  • 已知 G(2)=4，因为有些数（形如 4^a * (8b+7)）永远需要4个平方数。
  • 对于 k=3， 哈代和李特尔伍德猜想 G(3)=4，但目前最好的上限是 G(3) ≤ 7（维诺格拉多夫的结果），且已知 G(3) ≥ 4。它到底是4, 5, 6, 还是7？仍是公开问题。
  • 对于更大的 k， G(k) 的上界在不断被改进，但其精确值远未可知。

总结

沃林问题的解决历程，是数论从经典命题到现代解析方法和计算验证结合的典范：

  1. 提出猜想： 从平方数、立方数的直观推广。
  2. 建立下界： 通过构造特殊的“难表示”的数。
  3. 存在性证明（希尔伯特）： 用深刻的代数与分析方法证明有限性。
  4. 具体求解（圆法+计算）： 用哈代-李特尔伍德-维诺格拉多夫的圆法处理“几乎所有”大整数，再用计算机或巧妙论证验证有限个小整数，最终确定 g(k)。
  5. 深化问题： 转向研究更本质的渐近常数 G(k)，这至今仍是解析数论的核心前沿问题之一。
好的，我们这次来讲解一个与整数表示和组合相关的深刻数论概念。 沃林问题（Waring‘s Problem） 要理解沃林问题，我们需要从最基础的数字直觉开始，逐步深入到其现代解答的核心思想。 第一步：从平方数到四次方数——一个直观的观察 首先，考虑我们熟悉的 平方数 ：1, 4, 9, 16, 25, ... 一个非常古老的问题是： 是否每一个正整数都可以写成有限个平方数之和？ 答案是否定的。例如，数字7，你无法用4个以下的平方数之和来表示（1+1+1+4=7用了四个）。但数学家拉格朗日在1770年证明了著名的 四平方和定理 ： 每一个正整数都可以表示为最多四个平方数之和。 比如，7 = 4 + 1 + 1 + 1。 那么，对于 立方数 （1, 8, 27, 64, ...）呢？是不是需要有限个？需要多少个？ 尝试一下：23 = 8 + 8 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1，用了9个立方数。是否存在一个上限，使得所有正整数都能用不超过这个数量的立方数之和来表示？ 第二步：问题的精确表述 英国数学家爱德华·华林在1770年（与拉格朗日证明四平方定理同年）提出了一个大胆的猜想，即 沃林问题 ： 对于任意给定的整数 k ≥ 2 ，存在一个与之相关的正整数 g(k) ，使得 每一个 正整数都可以写成至多 g(k) 个非负整数的 k 次方 之和。 换句话说，固定指数k： 当 k=2 时，问题就是“四平方和定理”，结论是 g(2) = 4 。 当 k=3 时，问题是：是否存在一个数 g(3)，使得所有正整数都是不超过 g(3) 个立方数之和？ 当 k=4, 5, ... 时，同样的问题。 第三步：问题的初步分析与平凡下界 在试图寻找 g(k) 之前，我们先思考一下它 至少 需要多大。 考虑一个特殊的数： n = 2^k * q - 1 ，其中 q 是一个待定的整数。 为了用 k 次方数表示这个数，我们能用的最大“零件”是什么？显然是小于 n 的最大 k 次方数，即 floor(n^(1/k))^k 。 让我们看一个具体例子，寻找 g(k) 的一个 下界 。 考虑所有小于 2^k 的数。要表示这些数，我们只能使用 1^k = 1 这个 k 次方数。因此，要表示数字 2^k - 1 ，我们需要 (2^k - 1) 个 1 相加。 所以， 至少 需要 2^k - 1 个 1 才能表示这个数。这给了我们一个下界： g(k) ≥ 2^k + [ (3/2)^k ] - 2 （经过更精细的构造，比如用尽量多的 2^k 和 1 来构造一个难以表示的数，可以得到这个更紧的下界）。 例如： k=2: 下界是 2^2 + floor(1.5^2) - 2 = 4 + 2 - 2 = 4。 这与 g(2)=4 相符。 k=3: 下界是 8 + floor(3.375) - 2 = 8 + 3 - 2 = 9。 所以 g(3) 至少是 9。 k=4: 下界是 16 + floor(5.0625) - 2 = 16 + 5 - 2 = 19。 第四步：希尔伯特的开创性工作与存在性证明 沃林猜想提出后的一百多年里，数学家们只能解决一些零星的特例。直到1909年，大卫·希尔伯特取得了里程碑式的突破。他运用了 复杂的多重积分和恒等式构造 ，证明了： 对于任意 k ≥ 2，这样的数 g(k) 确实存在 。 这是一个 存在性证明 。它告诉世界，沃林问题的答案是肯定的，每个 k 都有一个有限的 g(k)。但是，希尔伯特的证明方法非常复杂，且没有给出计算 g(k) 具体值的有效途径。它更像是一个“理论保证”。 第五步：确定 g(k) 的具体值——哈代、李特尔伍德与维诺格拉多夫 希尔伯特之后，问题的焦点转向了： g(k) 到底等于多少？ 这需要两个步骤： 证明除了有限多个“例外”的正整数外，所有其他正整数都能用比下界更少的 k 次方数表示 。这个“更少”的数记为 G(k) 。显然 G(k) ≤ g(k)。 对于那有限多个“例外”的数，逐一验证它们需要多少 k 次方数 ，从而最终确定 g(k)。 G(k) 的研究 ： 20世纪初，戈弗雷·哈代和约翰·李特尔伍德开创了 圆法 。他们将表示正整数 N 为 k 次方和的表示个数，写成了一个周期积分的傅里叶级数形式。通过分析这个积分在主区间和剩余区间上的贡献，他们为 G(k) 的研究建立了强大的解析工具。 后来，苏联数学家伊万·维诺格拉多夫大幅改进了圆法中对于“次要区间”的估计。他的强大方法证明了，对于足够大的 k， G(k) 远小于 g(k) 的理论下界 。例如，他证明了几乎所有的正整数都能用不超过 s 个 k 次方数表示，只要 s 比某个数大。特别地，对于立方和，他的方法最终导致了关键的结论：所有 足够大 的整数都可以写成不超过 7 个立方数之和。 确定 g(k) ： 结合 G(k) 的解析结果（处理“大的”整数）和 直接的计算验证 （处理“有限的、小的”整数），数学家们陆续确定了大多数 g(k) 的值。一个经典的公式（由 林尼克 等人最终完善）是： 设 A = 2^k ， B = (3/2)^k 的整数部分， C = (4/3)^k 的整数部分。 如果 2^k - 1 能被 (B + C - 1) 精确地整除，那么 g(k) = 2^k + B + C - 2 。 否则， g(k) = 2^k + B + C - 3 。 这个公式对所有“不是太小”的 k 都成立，并且对于小 k 需要单独验证。 g(2) = 4 (四平方和定理)。 g(3) = 9 （需要9个立方数。已知只有23和239需要9个，其他所有数最多需要8个，且除有限多例外，最多需要7个，即 G(3) ≤ 7）。 g(4) = 19 ， g(5) = 37 ， g(6) = 73 ， 等等。 第六步：未解之谜与 G(k) 问题 虽然 g(k) 已经基本确定，但一个更精细、更深刻的问题依然吸引着数学家： G(k) ： 找到一个最小的数 s，使得所有 足够大 的正整数都能表示为最多 s 个非负整数的 k 次方之和。 G(k) 忽略了有限多个小的例外数，它刻画了整数表示的“渐近行为”。确定 G(k) 极其困难。 已知 G(2)=4，因为有些数（形如 4^a * (8b+7)）永远需要4个平方数。 对于 k=3， 哈代和李特尔伍德猜想 G(3)=4 ，但目前最好的上限是 G(3) ≤ 7 （维诺格拉多夫的结果），且已知 G(3) ≥ 4。它到底是4, 5, 6, 还是7？仍是公开问题。 对于更大的 k， G(k) 的上界在不断被改进，但其精确值远未可知。 总结 沃林问题 的解决历程，是数论从经典命题到现代解析方法和计算验证结合的典范： 提出猜想 ： 从平方数、立方数的直观推广。 建立下界 ： 通过构造特殊的“难表示”的数。 存在性证明 （希尔伯特）： 用深刻的代数与分析方法证明有限性。 具体求解 （圆法+计算）： 用哈代-李特尔伍德-维诺格拉多夫的 圆法 处理“几乎所有”大整数，再用计算机或巧妙论证验证有限个小整数，最终确定 g(k) 。 深化问题 ： 转向研究更本质的渐近常数 G(k) ，这至今仍是解析数论的核心前沿问题之一。