模型论基础
模型论是数理逻辑中研究形式语言与其解释（即模型）之间关系的分支。下面从基本概念逐步展开：

1. 形式语言与结构

   • 形式语言由符号集（如常数符号、函数符号、谓词符号）和生成公式的规则组成。例如，群论的语言可包含符号 {·, e}（乘法和单位元）。
   • 结构是语言的实例化：它指定一个论域（对象集合），并为每个符号赋予具体含义。例如，群语言的结构可以是整数集配加法运算。

2. 赋值与满足关系

   • 变量赋值函数将语言中的变量映射到结构的论域。
   • 满足关系（⊧）定义公式在结构中的真假：例如，结构 M 和赋值 s 满足公式 φ（记作 M ⊧ φ [s]）当且仅当在赋值下 φ 成立。

3. 理论与模型

   • 理论是形式语言中一组句子的集合。
   • 若结构 M 满足理论 T 的所有句子，则称 M 是 T 的模型。例如，群公理的模型可以是任意群。

4. 紧致性定理

   • 模型论核心定理：如果理论的每个有限子集都有模型，则整个理论也有模型。
   • 应用示例：证明存在非标准模型，即存在与自然数结构同构但包含"无穷大"元素的模型。

5. 初等等价与同质

   • 若两个结构满足相同的句子，则称它们初等等价。
   • 若结构间的同构保持公式真值，则称为初等嵌入。这些概念用于比较模型的逻辑性质。

模型论通过分析语言与模型的互动，为数学基础、代数几何等领域提供了统一框架。