域的代数扩张

字数 5328 2025-12-12 00:35:35

域的代数扩张

好的，我们开始。你已经学习了许多代数几何和模论中的深刻概念，现在让我们回归到一个更基础但极为核心的代数概念：域的代数扩张。它是连接域论、伽罗瓦理论、代数数论和代数几何的基石。

我将从最基础的定义出发，逐步构建起对这个概念的理解。

第一步：从“扩张”的基本定义开始

首先，我们需要明确“扩张”是什么意思。

域：回顾一下，一个域 \(F\) 是一个集合，上面定义了加法（+）和乘法（·）两种运算，满足一系列性质（如结合律、交换律、分配律、存在加法零元、乘法单位元，且每个非零元都有乘法逆元）。例如，有理数域 \(\mathbb{Q}\)，实数域 \(\mathbb{R}\)，复数域 \(\mathbb{C}\)，以及有限域 \(\mathbb{F}_p\)（p为素数）。
域的扩张：假设我们有两个域 \(F\) 和 \(E\)。如果 \(F\) 是 \(E\) 的一个子集（更准确地说，\(F\) 是 \(E\) 的一个子域），即 \(F \subseteq E\)，并且 \(F\) 中的加法和乘法就是 \(E\) 中运算的限制，那么我们称 \(E\) 是 \(F\) 的一个扩张域，简称扩张，记作 \(E/F\)。这里“/”不表示除法，而是“over”的意思，即“E over F”。

核心思想：\(E\) 是一个更大的域，它完全包含了较小的域 \(F\)，并且 \(F\) 中的运算规则在 \(E\) 中保持不变。
例子：\(\mathbb{R}/\mathbb{Q}\) 是一个扩张（实数域是有理数域的扩张），\(\mathbb{C}/\mathbb{R}\) 也是一个扩张。

第二步：在扩张中考虑“代数”与“超越”

现在我们有一个扩张 \(E/F\)。取 \(E\) 中的一个元素 \(\alpha \in E\)。我们关心这个新元素 \(\alpha\) 与基础域 \(F\) 之间的关系。它有两种可能：

代数元：如果存在一个非零多项式 \(f(x) \in F[x]\)（系数在 \(F\) 中），使得 \(f(\alpha) = 0\)，则称 \(\alpha\) 是 \(F\) 上的一个代数元。

换句话说：\(\alpha\) 是某个以 \(F\) 中元素为系数的多项式方程的根。
- 例子：
\(\sqrt{2} \in \mathbb{R}\) 是 \(\mathbb{Q}\) 上的代数元，因为它是方程 \(x^2 - 2 = 0\) 的根。
\(i \in \mathbb{C}\)（虚数单位）是 \(\mathbb{R}\) 上的代数元，也是 \(\mathbb{Q}\) 上的代数元，因为它是 \(x^2 + 1 = 0\) 的根。
事实上，扩张 \(\mathbb{C}/\mathbb{Q}\) 中的任何元素都是 \(\mathbb{Q}\) 上的代数元（这是代数封闭域的性质）。

超越元：如果 \(\alpha\) 不是 \(F\) 上的代数元，即不存在任何非零的 \(F\)-系数多项式以 \(\alpha\) 为根，则称 \(\alpha\) 是 \(F\) 上的一个超越元。

换句话说：\(\alpha\) 和 \(F\) 的关系“超越”了多项式方程能描述的范围。
- 经典例子：
圆周率 \(\pi\) 和自然常数 \(e\) 被证明是 \(\mathbb{Q}\) 上的超越元（林德曼-魏尔斯特拉斯定理）。
在域 \(F(t)\)（\(F\) 上关于未定元 \(t\) 的有理函数域）中，符号 \(t\) 本身就是 \(F\) 上的超越元。

第三步：定义“代数扩张”

有了对单个元素性质的了解，我们就可以定义整个扩张的性质。

代数扩张：如果扩张 \(E/F\) 中的每一个元素 \(\alpha \in E\) 都是 \(F\) 上的代数元，则称 \(E/F\) 是一个代数扩张。
超越扩张：如果扩张 \(E/F\) 中至少存在一个元素是 \(F\) 上的超越元，则称 \(E/F\) 是一个超越扩张。
简单判别：\(E/F\) 是代数扩张 当且仅当 \(E\) 中每个元素都满足一个（依赖于该元素的）系数在 \(F\) 中的多项式方程。

例子：

\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}\) 是代数扩张，因为其中的元素都可以写成 \(a + b\sqrt{2}\) 的形式（\(a, b \in \mathbb{Q}\)），它们都是 \(x^2 - 2 = 0\) 或更低次方程的解。
\(\mathbb{C}/\mathbb{Q}\) 是代数扩张（尽管是无限维的）。
\(\mathbb{R}/\mathbb{Q}\) 是超越扩张，因为它包含了 \(\pi, e\) 这样的超越元。
\(F(t)/F\) （其中 \(t\) 是未定元）是典型的超越扩张，称为纯超越扩张。

第四步：代数扩张的基本构造——单代数扩张

代数扩张常常通过向基础域中添加一个或几个代数元来构造。最简单的形式是添加一个元素。

考虑扩张 \(E/F\)，设 \(\alpha \in E\) 是 \(F\) 上的一个代数元。我们关心包含 \(F\) 和 \(\alpha\) 的最小域，记作 \(F(\alpha)\)。

极小多项式：因为 \(\alpha\) 是代数元，在 \(F[x]\) 中所有以 \(\alpha\) 为根的多项式里，存在一个唯一的首一（最高次项系数为1）不可约多项式 \(m_{\alpha, F}(x)\)，称为 \(\alpha\) 在 \(F\) 上的极小多项式。它的次数 \(n = \deg(m_{\alpha})\) 称为 \(\alpha\) 在 \(F\) 上的次数。
单代数扩张的结构：域 \(F(\alpha)\) 由所有形如 \(f(\alpha)/g(\alpha)\) 的表达式构成，其中 \(f(x), g(x) \in F[x]\) 且 \(g(\alpha) \neq 0\)。但由于 \(m_{\alpha}(\alpha)=0\)，我们可以做多项式带余除法，将任何多项式 \(f(x)\) 写成 \(f(x) = q(x)m_{\alpha}(x) + r(x)\)，其中 \(\deg(r) < n\)。代入 \(x = \alpha\) 得 \(f(\alpha) = r(\alpha)\)。因此，\(F(\alpha)\) 中的每个元素都可以唯一地表示为：

\[ a_0 + a_1 \alpha + a_2 \alpha^2 + \dots + a_{n-1} \alpha^{n-1}, \quad a_i \in F. \]

作为向量空间：上面的表达式说明，集合 \(\{1, \alpha, \alpha^2, \dots, \alpha^{n-1}\}\) 构成了 \(F(\alpha)\) 作为 \(F\)-向量空间的一组基。因此，扩张次数 \([F(\alpha) : F] = n\)（即这个向量空间的维数），恰好等于 \(\alpha\) 的极小多项式的次数。

第五步：扩张的次数与有限代数扩张

“扩张次数”的概念可以推广到任意扩张。

扩张次数：对于任意扩张 \(E/F\)，我们将 \(E\) 视为 \(F\)-向量空间，其维数 \(\dim_F E\) 称为该扩张的次数，记作 \([E : F]\)。这个次数可以是有限的正整数，也可以是无限的。
有限扩张：如果 \([E : F]\) 是有限的，则称 \(E/F\) 为有限扩张。
关键定理：每一个有限扩张都是代数扩张。
证明思路：设 \([E : F] = n\)。对任意 \(\alpha \in E\)，考虑 \(n+1\) 个元素 \(1, \alpha, \alpha^2, \dots, \alpha^n\)。它们在 \(F\)-向量空间 \(E\) 中必然线性相关（因为维数只有 \(n\)）。这种线性相关性正好给出了一个系数在 \(F\) 中的多项式，以 \(\alpha\) 为根。
反过来不成立：代数扩张不一定是有限的。例如，所有代数数构成的域 \(\overline{\mathbb{Q}}\)（称为代数数域）是 \(\mathbb{Q}\) 的代数扩张，但它是无限维的，因为存在任意高次的代数数。

第六步：扩张的塔与次数相乘定理

研究复杂的扩张时，我们常常通过中间域将其分解为简单的塔形结构。

扩张塔：考虑三个域 \(F \subseteq K \subseteq E\)。我们称 \(E/F\) 是一个扩张塔，\(K\) 是中间域。
核心定理（次数相乘）：对于扩张塔 \(F \subseteq K \subseteq E\)，有

\[ [E : F] = [E : K] \cdot [K : F]. \]

*   这里的乘法是普通的正整数乘法或无穷大（规定有限数乘以无穷大为无穷大）。

证明思路：如果 \(\{u_i\}\) 是 \(K/F\) 的一组基，\(\{v_j\}\) 是 \(E/K\) 的一组基，那么集合 \(\{u_i v_j\}\) 可以证明是 \(E/F\) 的一组基。基的数量就是维数的乘积。
推论：

\([E : F]\) 有限当且仅当 \([E : K]\) 和 \([K : F]\) 都有限。
如果 \(E/F\) 是代数扩张，那么对于任何中间域 \(K\)，扩张 \(K/F\) 和 \(E/K\) 也都是代数扩张。

第七步：代数闭包与代数封闭域

最后，我们到达代数扩张理论的一个顶点概念。

代数闭包：设 \(F\) 是一个域。\(F\) 的一个代数闭包，通常记作 \(\overline{F}\)，是一个满足以下两个条件的域：

\(\overline{F}/F\) 是一个代数扩张。
\(\overline{F}\) 本身是代数封闭的（即任何系数在 \(\overline{F}\) 中的非常数多项式在 \(\overline{F}\) 中都有一个根，等价于，\(\overline{F}\) 没有非平凡的代数扩张）。

存在性与唯一性：
存在性定理（Steinitz）：每个域 \(F\) 都有一个代数闭包。
唯一性：虽然构造方式可能不同，但 \(F\) 的任意两个代数闭包都是 \(F\)-同构的（即存在保持 \(F\) 中元素不变的域同构）。因此，我们可以在同构意义下谈论“那个”代数闭包 \(\overline{F}\)。
例子：
复数域 \(\mathbb{C}\) 是实数域 \(\mathbb{R}\) 的代数闭包（\(\mathbb{C}/\mathbb{R}\) 是代数扩张，且 \(\mathbb{C}\) 代数封闭）。
代数数域 \(\overline{\mathbb{Q}}\)（全体代数数构成的域）是有理数域 \(\mathbb{Q}\) 的代数闭包。
有限域 \(\mathbb{F}_p\) 的代数闭包是一个无限域，它是所有有限域 \(\mathbb{F}_{p^n}\) (\(n \ge 1\)) 的并集。

总结

域的代数扩张这个概念，从最基本的域包含关系出发，通过分析扩张中元素是否满足多项式方程（代数 vs 超越），定义了代数扩张本身。我们学习了如何通过添加一个代数元来构造单代数扩张，并发现其结构完全由该元素的极小多项式决定，且扩张次数等于该多项式的次数。我们认识到有限扩张必然是代数扩张（反之未必），并通过次数相乘定理掌握了分析扩张塔的有力工具。最终，代数扩张理论指向了其完备对象——代数闭包，它为域 \(F\) 上所有多项式方程提供了终极的“解域”。

这个概念是深入学习伽罗瓦理论（研究方程的根式可解性）和代数数论（研究代数数域）的绝对前提。

域的代数扩张好的，我们开始。你已经学习了许多代数几何和模论中的深刻概念，现在让我们回归到一个更基础但极为核心的代数概念：域的代数扩张。它是连接域论、伽罗瓦理论、代数数论和代数几何的基石。我将从最基础的定义出发，逐步构建起对这个概念的理解。第一步：从“扩张”的基本定义开始首先，我们需要明确“扩张”是什么意思。域：回顾一下，一个域 \( F \) 是一个集合，上面定义了加法（+）和乘法（·）两种运算，满足一系列性质（如结合律、交换律、分配律、存在加法零元、乘法单位元，且每个非零元都有乘法逆元）。例如，有理数域 \( \mathbb{Q} \)，实数域 \( \mathbb{R} \)，复数域 \( \mathbb{C} \)，以及有限域 \( \mathbb{F}_ p \)（p为素数）。域的扩张：假设我们有两个域 \( F \) 和 \( E \)。如果 \( F \) 是 \( E \) 的一个子集（更准确地说，\( F \) 是 \( E \) 的一个子域），即 \( F \subseteq E \)，并且 \( F \) 中的加法和乘法就是 \( E \) 中运算的限制，那么我们称 \( E \) 是 \( F \) 的一个扩张域，简称扩张，记作 \( E/F \)。这里“/”不表示除法，而是“over”的意思，即“E over F”。核心思想：\( E \) 是一个更大的域，它完全包含了较小的域 \( F \)，并且 \( F \) 中的运算规则在 \( E \) 中保持不变。例子：\( \mathbb{R}/\mathbb{Q} \) 是一个扩张（实数域是有理数域的扩张），\( \mathbb{C}/\mathbb{R} \) 也是一个扩张。第二步：在扩张中考虑“代数”与“超越” 现在我们有一个扩张 \( E/F \)。取 \( E \) 中的一个元素 \( \alpha \in E \)。我们关心这个新元素 \( \alpha \) 与基础域 \( F \) 之间的关系。它有两种可能：代数元：如果存在一个非零多项式 \( f(x) \in F[ x] \)（系数在 \( F \) 中），使得 \( f(\alpha) = 0 \)，则称 \( \alpha \) 是 \( F \) 上的一个代数元。换句话说：\( \alpha \) 是某个以 \( F \) 中元素为系数的多项式方程的根。例子： \( \sqrt{2} \in \mathbb{R} \) 是 \( \mathbb{Q} \) 上的代数元，因为它是方程 \( x^2 - 2 = 0 \) 的根。 \( i \in \mathbb{C} \)（虚数单位）是 \( \mathbb{R} \) 上的代数元，也是 \( \mathbb{Q} \) 上的代数元，因为它是 \( x^2 + 1 = 0 \) 的根。事实上，扩张 \( \mathbb{C}/\mathbb{Q} \) 中的任何元素都是 \( \mathbb{Q} \) 上的代数元（这是代数封闭域的性质）。超越元：如果 \( \alpha \) 不是 \( F \) 上的代数元，即不存在任何非零的 \( F \)-系数多项式以 \( \alpha \) 为根，则称 \( \alpha \) 是 \( F \) 上的一个超越元。换句话说：\( \alpha \) 和 \( F \) 的关系“超越”了多项式方程能描述的范围。经典例子：圆周率 \( \pi \) 和自然常数 \( e \) 被证明是 \( \mathbb{Q} \) 上的超越元（林德曼-魏尔斯特拉斯定理）。在域 \( F(t) \)（\( F \) 上关于未定元 \( t \) 的有理函数域）中，符号 \( t \) 本身就是 \( F \) 上的超越元。第三步：定义“代数扩张” 有了对单个元素性质的了解，我们就可以定义整个扩张的性质。代数扩张：如果扩张 \( E/F \) 中的每一个元素 \( \alpha \in E \) 都是 \( F \) 上的代数元，则称 \( E/F \) 是一个代数扩张。超越扩张：如果扩张 \( E/F \) 中至少存在一个元素是 \( F \) 上的超越元，则称 \( E/F \) 是一个超越扩张。简单判别：\( E/F \) 是代数扩张当且仅当 \( E \) 中每个元素都满足一个（依赖于该元素的）系数在 \( F \) 中的多项式方程。例子： \( \mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q} \) 是代数扩张，因为其中的元素都可以写成 \( a + b\sqrt{2} \) 的形式（\( a, b \in \mathbb{Q} \)），它们都是 \( x^2 - 2 = 0 \) 或更低次方程的解。 \( \mathbb{C}/\mathbb{Q} \) 是代数扩张（尽管是无限维的）。 \( \mathbb{R}/\mathbb{Q} \) 是超越扩张，因为它包含了 \( \pi, e \) 这样的超越元。 \( F(t)/F \) （其中 \( t \) 是未定元）是典型的超越扩张，称为纯超越扩张。第四步：代数扩张的基本构造——单代数扩张代数扩张常常通过向基础域中添加一个或几个代数元来构造。最简单的形式是添加一个元素。考虑扩张 \( E/F \)，设 \( \alpha \in E \) 是 \( F \) 上的一个代数元。我们关心包含 \( F \) 和 \( \alpha \) 的最小域，记作 \( F(\alpha) \)。极小多项式：因为 \( \alpha \) 是代数元，在 \( F[ x] \) 中所有以 \( \alpha \) 为根的多项式里，存在一个唯一的首一（最高次项系数为1）不可约多项式 \( m_ {\alpha, F}(x) \)，称为 \( \alpha \) 在 \( F \) 上的极小多项式。它的次数 \( n = \deg(m_ {\alpha}) \) 称为 \( \alpha \) 在 \( F \) 上的次数。单代数扩张的结构：域 \( F(\alpha) \) 由所有形如 \( f(\alpha)/g(\alpha) \) 的表达式构成，其中 \( f(x), g(x) \in F[ x] \) 且 \( g(\alpha) \neq 0 \)。但由于 \( m_ {\alpha}(\alpha)=0 \)，我们可以做多项式带余除法，将任何多项式 \( f(x) \) 写成 \( f(x) = q(x)m_ {\alpha}(x) + r(x) \)，其中 \( \deg(r) < n \)。代入 \( x = \alpha \) 得 \( f(\alpha) = r(\alpha) \)。因此，\( F(\alpha) \) 中的每个元素都可以唯一地表示为： \[ a_ 0 + a_ 1 \alpha + a_ 2 \alpha^2 + \dots + a_ {n-1} \alpha^{n-1}, \quad a_ i \in F. \] 作为向量空间：上面的表达式说明，集合 \( \{1, \alpha, \alpha^2, \dots, \alpha^{n-1}\} \) 构成了 \( F(\alpha) \) 作为 \( F \)-向量空间的一组基。因此，扩张次数 \( [ F(\alpha) : F ] = n \)（即这个向量空间的维数），恰好等于 \( \alpha \) 的极小多项式的次数。第五步：扩张的次数与有限代数扩张 “扩张次数”的概念可以推广到任意扩张。扩张次数：对于任意扩张 \( E/F \)，我们将 \( E \) 视为 \( F \)-向量空间，其维数 \( \dim_ F E \) 称为该扩张的次数，记作 \( [ E : F ] \)。这个次数可以是有限的正整数，也可以是无限的。有限扩张：如果 \( [ E : F] \) 是有限的，则称 \( E/F \) 为有限扩张。关键定理：每一个有限扩张都是代数扩张。证明思路：设 \( [ E : F ] = n \)。对任意 \( \alpha \in E \)，考虑 \( n+1 \) 个元素 \( 1, \alpha, \alpha^2, \dots, \alpha^n \)。它们在 \( F \)-向量空间 \( E \) 中必然线性相关（因为维数只有 \( n \)）。这种线性相关性正好给出了一个系数在 \( F \) 中的多项式，以 \( \alpha \) 为根。反过来不成立：代数扩张不一定是有限的。例如，所有代数数构成的域 \( \overline{\mathbb{Q}} \)（称为代数数域）是 \( \mathbb{Q} \) 的代数扩张，但它是无限维的，因为存在任意高次的代数数。第六步：扩张的塔与次数相乘定理研究复杂的扩张时，我们常常通过中间域将其分解为简单的塔形结构。扩张塔：考虑三个域 \( F \subseteq K \subseteq E \)。我们称 \( E/F \) 是一个扩张塔，\( K \) 是中间域。核心定理（次数相乘）：对于扩张塔 \( F \subseteq K \subseteq E \)，有 \[ [ E : F] = [ E : K] \cdot [ K : F ]. \] 这里的乘法是普通的正整数乘法或无穷大（规定有限数乘以无穷大为无穷大）。证明思路：如果 \( \{u_ i\} \) 是 \( K/F \) 的一组基，\( \{v_ j\} \) 是 \( E/K \) 的一组基，那么集合 \( \{u_ i v_ j\} \) 可以证明是 \( E/F \) 的一组基。基的数量就是维数的乘积。推论： \( [ E : F] \) 有限当且仅当 \( [ E : K] \) 和 \( [ K : F ] \) 都有限。如果 \( E/F \) 是代数扩张，那么对于任何中间域 \( K \)，扩张 \( K/F \) 和 \( E/K \) 也都是代数扩张。第七步：代数闭包与代数封闭域最后，我们到达代数扩张理论的一个顶点概念。代数闭包：设 \( F \) 是一个域。\( F \) 的一个代数闭包，通常记作 \( \overline{F} \)，是一个满足以下两个条件的域： \( \overline{F}/F \) 是一个代数扩张。 \( \overline{F} \) 本身是代数封闭的（即任何系数在 \( \overline{F} \) 中的非常数多项式在 \( \overline{F} \) 中都有一个根，等价于，\( \overline{F} \) 没有非平凡的代数扩张）。存在性与唯一性：存在性定理（Steinitz）：每个域 \( F \) 都有一个代数闭包。唯一性：虽然构造方式可能不同，但 \( F \) 的任意两个代数闭包都是 \( F \)-同构的（即存在保持 \( F \) 中元素不变的域同构）。因此，我们可以在同构意义下谈论“ 那个 ”代数闭包 \( \overline{F} \)。例子：复数域 \( \mathbb{C} \) 是实数域 \( \mathbb{R} \) 的代数闭包（\( \mathbb{C}/\mathbb{R} \) 是代数扩张，且 \( \mathbb{C} \) 代数封闭）。代数数域 \( \overline{\mathbb{Q}} \)（全体代数数构成的域）是有理数域 \( \mathbb{Q} \) 的代数闭包。有限域 \( \mathbb{F} p \) 的代数闭包是一个无限域，它是所有有限域 \( \mathbb{F} {p^n} \) (\( n \ge 1 \)) 的并集。总结域的代数扩张这个概念，从最基本的域包含关系出发，通过分析扩张中元素是否满足多项式方程（代数 vs 超越），定义了代数扩张本身。我们学习了如何通过添加一个代数元来构造单代数扩张，并发现其结构完全由该元素的极小多项式决定，且扩张次数等于该多项式的次数。我们认识到有限扩张必然是代数扩张（反之未必），并通过次数相乘定理掌握了分析扩张塔的有力工具。最终，代数扩张理论指向了其完备对象—— 代数闭包，它为域 \( F \) 上所有多项式方程提供了终极的“解域”。这个概念是深入学习伽罗瓦理论（研究方程的根式可解性）和代数数论（研究代数数域）的绝对前提。