几乎处处 在实变函数论中，"几乎处处"（almost everywhere，简称a.e.）是一个极为重要的概念，它用于描述那些在测度意义下可以忽略的例外情形所满足的性质。 第一步：理解“例外点集” 想象一下，我们研究的是定义在实数轴上一个区间（比如 [ 0, 1]）上的函数。有些性质可能并非对区间内的每一个点都成立。例如，考虑这样一个函数：在 [ 0, 1] 区间上，除了在有理数点处取值为1，在其他点（无理数点）处取值为0。如果我们说“这个函数在 [ 0, 1 ] 上等于0”，这个说法显然是错误的，因为它在有理数点处并不等于0。 然而，有理数点虽然有无穷多个，但它们在实数轴上是“稀疏”的。用我们学过的 可测集 的勒贝格测度来描述，所有有理数点构成的集合是一个可测集，并且它的测度为0。这意味着，从“长度”的角度来看，这些不满足“函数值为0”的点（即例外点）所占的“总长度”为0。绝大部分的点（测度为1）都满足函数值为0。 第二步：给出“几乎处处”的精确定义 设 \( E \) 是一个可测集，且 \( m(E) > 0 \)（即E有正的测度）。设 \( P(x) \) 是一个与点 \( x \in E \) 有关的命题（例如“f(x) = 0”）。 我们称性质 \( P \) 在集合 \( E \) 上 几乎处处 成立，如果存在一个零测集 \( N \subset E \)（即 \( m(N) = 0 \)），使得 \( P(x) \) 对所有 \( x \in E \setminus N \)（属于E但不属于N的点）都成立。 换句话说，使得 \( P(x) \) 不成立的那些点 \( x \) 构成的集合（称为例外集）是包含在一个测度为0的可测集里的。 关键点 ：例外集本身不一定可测，但它必须被包含在一个 可测的 零测集内。在大多数情况下，我们直接要求例外集是可测的且测度为0。 第三步：与“处处”概念进行对比 处处（Everywhere） ：性质 \( P \) 在集合 \(E\) 上的 每一个点 都成立。没有任何例外。 几乎处处（Almost Everywhere） ：性质 \( P \) 在集合 \(E\) 上“除了一个零测集之外”的所有点都成立。允许有例外，但这些例外点在测度意义下是可以被忽略的。 “几乎处处”是“处处”概念的弱化。如果某个性质处处成立，那么它必然几乎处处成立。反之则不成立，如上文中的例子，函数“在无理数点取值为0”这个性质是几乎处处成立，而非处处成立。 第四步：在函数关系中的应用 这个概念最常应用于描述函数之间的关系。 几乎处处相等 ：两个函数 \( f \) 和 \( g \) 定义在可测集 \( E \) 上，如果集合 \( \{ x \in E | f(x) \neq g(x) \} \) 的测度为0，则称 \( f \) 和 \( g \) 在 \( E \) 上 几乎处处相等 ，记作 \( f = g \quad \text{a.e.} \) 意义 ：在积分理论中，如果两个函数几乎处处相等，那么它们的可测性、可积性以及积分值都是相同的。因此，我们通常将几乎处处相等的函数视为同一个函数（在 Lp空间 中，一个元素就是一个几乎处处相等的函数等价类）。 几乎处处收敛 ：一列函数 \( \{f_ n\} \) 定义在可测集 \( E \) 上。如果存在一个函数 \( f \)，使得集合 \( \{ x \in E | \lim_ {n\to\infty} f_ n(x) \neq f(x) \} \) 的测度为0，则称函数列 \( \{f_ n\} \) 在 \( E \) 上 几乎处处收敛 于 \( f \)。 意义 ：这是一种比“处处收敛”更弱的收敛性，但它在实分析中极其重要。许多强大的定理（如控制收敛定理）都是在几乎处处收敛的条件下给出的。 总结 “几乎处处”是实变函数论中处理例外情形的核心工具。它允许我们将注意力从可能非常复杂、但在测度上无关紧要的点集（如有理数集）上移开，从而聚焦于在整体（积分意义、测度意义）上起决定性作用的性质。这使得许多在经典微积分中难以处理的问题（如函数列的收敛性）得到了简洁而有力的表述和解决。