费耶尔定理
字数 2626 2025-12-11 22:41:15

费耶尔定理

费耶尔定理是傅里叶级数理论中的一个核心结果，它解决了傅里叶级数的求和问题，特别是提供了在何种意义下傅里叶级数能“恢复”原函数的有力判据。我们一步步来理解它。

1. 背景与动机：傅里叶级数的收敛难题

首先，回忆一下傅里叶级数的基本概念。对于一个周期为 \(2\pi\) 且在区间 \([-\pi, \pi]\) 上可积的函数 \(f\)，其傅里叶级数定义为：

\[S[f](x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) \]

其中系数 \(a_n, b_n\) 由欧拉-傅里叶公式给出。

一个根本问题是：这个级数是否收敛？如果收敛，它是否收敛到 \(f(x)\) 本身？在19世纪，数学家用反例（如狄利克雷函数、魏尔斯特拉斯给出的处处连续但处处不可微的函数等）表明，即使是连续函数，其傅里叶级数也可能在某些点发散。这促使数学家寻找新的、更稳健的“求和”方法，来代替传统的部分和极限。

2. 预备工具：算术平均与费耶尔核

为了解决发散问题，数学家引入了“求和法”。费耶尔定理采用的是切萨罗求和，具体到傅里叶级数，也称为费耶尔和。

  • 傅里叶部分和：前 \(N\) 项的部分和为：

\[ S_N(f; x) = \sum_{n=-N}^{N} \hat{f}(n) e^{inx} \quad (\text{复数形式}) \]

  • 费耶尔和：取前 \(N+1\) 个部分和（从 \(S_0\) 到 \(S_N\)）的算术平均：

\[ \sigma_N(f; x) = \frac{1}{N+1} \sum_{k=0}^{N} S_k(f; x) \]

这个平均过程常常能“平滑”掉部分和的振荡，使原本不收敛的级数变得收敛。
  • 费耶尔核：费耶尔和可以写成一个卷积积分的形式：

\[ \sigma_N(f; x) = (f * F_N)(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) F_N(x-t) \, dt \]

其中 \(F_N(t)\) 称为费耶尔核。它与更常见的狄利克雷核 \(D_k(t)\) 的关系是 \(F_N(t) = \frac{1}{N+1} \sum_{k=0}^{N} D_k(t)\)。费耶尔核有一个显式表达式：

\[ F_N(t) = \frac{1}{N+1} \cdot \frac{\sin^2\left( \frac{(N+1)t}{2} \right)}{\sin^2\left( \frac{t}{2} \right)} \]

它有两个关键性质：
  1. 非负性：对所有 \(t\)，有 \(F_N(t) \ge 0\)。
  2. 恒等逼近性：\(\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} F_N(t) \, dt = 1\)。

这两个性质（特别是非负性）是费耶尔定理证明的核心，它使得积分估计比使用可正可负的狄利克雷核要简单得多。

3. 费耶尔定理的陈述

费耶尔定理通常分为两部分，分别对应连续函数和可积函数。

  • 定理（连续函数的费耶尔定理）：设 \(f\) 是以 \(2\pi\) 为周期的连续函数，则其费耶尔和 \(\sigma_N(f; x)\) 在实数轴上一致收敛于 \(f(x)\)。即：

\[ \lim_{N \to \infty} \sigma_N(f; x) = f(x) \]

且收敛关于 \(x\) 是一致的。

  • 定理（可积函数的费耶尔定理）：设 \(f\) 在 \([-\pi, \pi]\) 上勒贝格可积（或黎曼可积），则在 \(f\) 的每个勒贝格点（特别地，在 \(f\) 的每个连续点）处，其费耶尔和逐点收敛于函数值 \(f(x)\)。即：

\[ \lim_{N \to \infty} \sigma_N(f; x) = f(x) \]

在 \(f\) 的连续点 \(x\) 处成立。

4. 定理的意义与重要性

  1. 克服发散性：费耶尔定理表明，即使傅里叶级数 \(S_N(f; x)\) 本身发散，通过取算术平均（费耶尔和）这种自然的平滑操作，我们仍然能在很一般的条件下（可积函数的连续点）恢复原函数。这提供了傅里叶级数“表示”函数的一种强大且稳健的方式。

  2. 函数逼近：定理的第一部分（连续函数的一致收敛）是魏尔斯特拉斯逼近定理在三角多项式情形下的一个具体体现。它断言：任何周期连续函数都可以用三角多项式（即费耶尔和）一致逼近。这是调和分析和函数逼近论的一个基本定理。

  3. 证明思想：利用费耶尔核的非负性和恒等逼近性，证明的核心是估计积分差：

\[ \sigma_N(f; x) - f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} [f(x-t) - f(x)] F_N(t) \, dt \]

对于连续函数，由于 \(f\) 在 \(x\) 点一致连续，当 \(t\) 小时，\(|f(x-t)-f(x)|\) 很小；当 \(t\) 不小时，利用 \(F_N(t)\) 在远离0的地方很小（由表达式可知）。这个分解结合 \(F_N\) 的性质就能完成证明。对于可积函数，证明会用到勒贝格点理论。

5. 与狄利克雷-乔丹定理的对比

为了更全面理解，可以对比另一个经典结果：

  • 狄利克雷-乔丹定理：若 \(f\) 在一个周期内有界变差，则其傅里叶级数在每点 \(x\) 收敛到 \([f(x^+) + f(x^-)]/2\)。它要求更强的条件（有界变差），但结论是针对傅里叶级数本身的部分和 \(S_N(f)\) 的收敛性。
  • 费耶尔定理：条件更弱（可积+连续点或勒贝格点），但结论是针对费耶尔和 \(\sigma_N(f)\) 的收敛性。它不保证原始级数 \(S_N(f)\) 的收敛。

总结：费耶尔定理通过引入费耶尔和（算术平均）这一简单的线性平均技巧，极大地推广了傅里叶级数可用的函数类，为连续函数提供了一个优良的一致三角多项式逼近工具，并为在更一般的可积函数情形下用傅里叶级数“求和”到原函数提供了坚实的理论基础。它是经典傅里叶分析中连接收敛性、可求和性与函数逼近的核心定理之一。

费耶尔定理 费耶尔定理是傅里叶级数理论中的一个核心结果，它解决了傅里叶级数的求和问题，特别是提供了在何种意义下傅里叶级数能“恢复”原函数的有力判据。我们一步步来理解它。 1. 背景与动机：傅里叶级数的收敛难题 首先，回忆一下傅里叶级数的基本概念。对于一个周期为 \(2\pi\) 且在区间 \([ -\pi, \pi ]\) 上可积的函数 \(f\)，其傅里叶级数定义为： \[ S f = \frac{a_ 0}{2} + \sum_ {n=1}^{\infty} (a_ n \cos nx + b_ n \sin nx) \] 其中系数 \(a_ n, b_ n\) 由欧拉-傅里叶公式给出。 一个根本问题是：这个级数是否收敛？如果收敛，它是否收敛到 \(f(x)\) 本身？在19世纪，数学家用反例（如狄利克雷函数、魏尔斯特拉斯给出的处处连续但处处不可微的函数等）表明，即使是连续函数，其傅里叶级数也可能在某些点发散。这促使数学家寻找新的、更稳健的“求和”方法，来代替传统的部分和极限。 2. 预备工具：算术平均与费耶尔核 为了解决发散问题，数学家引入了“求和法”。费耶尔定理采用的是 切萨罗求和 ，具体到傅里叶级数，也称为 费耶尔和 。 傅里叶部分和 ：前 \(N\) 项的部分和为： \[ S_ N(f; x) = \sum_ {n=-N}^{N} \hat{f}(n) e^{inx} \quad (\text{复数形式}) \] 费耶尔和 ：取前 \(N+1\) 个部分和（从 \(S_ 0\) 到 \(S_ N\)）的 算术平均 ： \[ \sigma_ N(f; x) = \frac{1}{N+1} \sum_ {k=0}^{N} S_ k(f; x) \] 这个平均过程常常能“平滑”掉部分和的振荡，使原本不收敛的级数变得收敛。 费耶尔核 ：费耶尔和可以写成一个卷积积分的形式： \[ \sigma_ N(f; x) = (f * F_ N)(x) = \frac{1}{2\pi} \int_ {-\pi}^{\pi} f(t) F_ N(x-t) \, dt \] 其中 \(F_ N(t)\) 称为 费耶尔核 。它与更常见的狄利克雷核 \(D_ k(t)\) 的关系是 \(F_ N(t) = \frac{1}{N+1} \sum_ {k=0}^{N} D_ k(t)\)。费耶尔核有一个显式表达式： \[ F_ N(t) = \frac{1}{N+1} \cdot \frac{\sin^2\left( \frac{(N+1)t}{2} \right)}{\sin^2\left( \frac{t}{2} \right)} \] 它有两个关键性质： 非负性 ：对所有 \(t\)，有 \(F_ N(t) \ge 0\)。 恒等逼近性 ：\(\frac{1}{2\pi} \int_ {-\pi}^{\pi} F_ N(t) \, dt = 1\)。 这两个性质（特别是非负性）是费耶尔定理证明的核心，它使得积分估计比使用可正可负的狄利克雷核要简单得多。 3. 费耶尔定理的陈述 费耶尔定理通常分为两部分，分别对应连续函数和可积函数。 定理（连续函数的费耶尔定理） ：设 \(f\) 是以 \(2\pi\) 为周期的连续函数，则其费耶尔和 \(\sigma_ N(f; x)\) 在实数轴上 一致收敛 于 \(f(x)\)。即： \[ \lim_ {N \to \infty} \sigma_ N(f; x) = f(x) \] 且收敛关于 \(x\) 是一致的。 定理（可积函数的费耶尔定理） ：设 \(f\) 在 \([ -\pi, \pi]\) 上勒贝格可积（或黎曼可积），则在 \(f\) 的每个 勒贝格点 （特别地，在 \(f\) 的每个连续点）处，其费耶尔和逐点收敛于函数值 \(f(x)\)。即： \[ \lim_ {N \to \infty} \sigma_ N(f; x) = f(x) \] 在 \(f\) 的连续点 \(x\) 处成立。 4. 定理的意义与重要性 克服发散性 ：费耶尔定理表明，即使傅里叶级数 \(S_ N(f; x)\) 本身发散，通过取算术平均（费耶尔和）这种自然的平滑操作，我们仍然能在很一般的条件下（可积函数的连续点）恢复原函数。这提供了傅里叶级数“表示”函数的一种强大且稳健的方式。 函数逼近 ：定理的第一部分（连续函数的一致收敛）是 魏尔斯特拉斯逼近定理 在三角多项式情形下的一个具体体现。它断言：任何周期连续函数都可以用三角多项式（即费耶尔和）一致逼近。这是调和分析和函数逼近论的一个基本定理。 证明思想 ：利用费耶尔核的非负性和恒等逼近性，证明的核心是估计积分差： \[ \sigma_ N(f; x) - f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_ {-\pi}^{\pi} [ f(x-t) - f(x)] F_ N(t) \, dt \] 对于连续函数，由于 \(f\) 在 \(x\) 点一致连续，当 \(t\) 小时，\(|f(x-t)-f(x)|\) 很小；当 \(t\) 不小时，利用 \(F_ N(t)\) 在远离0的地方很小（由表达式可知）。这个分解结合 \(F_ N\) 的性质就能完成证明。对于可积函数，证明会用到勒贝格点理论。 5. 与狄利克雷-乔丹定理的对比 为了更全面理解，可以对比另一个经典结果： 狄利克雷-乔丹定理 ：若 \(f\) 在一个周期内有界变差，则其傅里叶级数在每点 \(x\) 收敛到 \([ f(x^+) + f(x^-)]/2\)。它要求更强的条件（有界变差），但结论是针对傅里叶级数本身的部分和 \(S_ N(f)\) 的收敛性。 费耶尔定理 ：条件更弱（可积+连续点或勒贝格点），但结论是针对费耶尔和 \(\sigma_ N(f)\) 的收敛性。它不保证原始级数 \(S_ N(f)\) 的收敛。 总结 ：费耶尔定理通过引入费耶尔和（算术平均）这一简单的线性平均技巧，极大地推广了傅里叶级数可用的函数类，为连续函数提供了一个优良的一致三角多项式逼近工具，并为在更一般的可积函数情形下用傅里叶级数“求和”到原函数提供了坚实的理论基础。它是经典傅里叶分析中连接收敛性、可求和性与函数逼近的核心定理之一。