平行曲面的曲率中心曲面 平行曲面的定义回顾 平行曲面（也称等距曲面或偏移曲面）是与原曲面沿法线方向等距离的曲面。给定曲面 \( S: \mathbf{r}(u,v) \) 和固定距离 \( d \)，平行曲面 \( S_ d \) 定义为： \[ \mathbf{r}_ d(u,v) = \mathbf{r}(u,v) + d \cdot \mathbf{n}(u,v), \] 其中 \(\mathbf{n}\) 是原曲面单位法向量。当 \(d\) 变化时，得到一族平行曲面。 曲率中心的概念 对于曲面 \(S\) 上一点 \(P\)，沿某一法截线方向（对应主方向），曲率中心是该法截线密切圆的圆心，位于法线上。两个主方向对应两个主曲率中心，它们构成曲率中心曲面（也称焦曲面）的两个叶。 平行曲面的曲率中心曲面定义 平行曲面 \(S_ d\) 也有自己的曲率中心曲面，记为 \(C_ d\)。但关键发现是：对固定的原曲面 \(S\)，当 \(d\) 变化时，所有平行曲面 \(S_ d\) 的曲率中心曲面是同一个曲面（即原曲面的曲率中心曲面），只是参数化不同。 更精确地，若原曲面 \(S\) 的两个主曲率为 \(\kappa_ 1, \kappa_ 2\)，对应曲率半径为 \(R_ 1=1/\kappa_ 1, R_ 2=1/\kappa_ 2\)，则沿法线方向距离 \(d\) 处，平行曲面 \(S_ d\) 的主曲率半径为： \[ R_ {1,d} = R_ 1 - d, \quad R_ {2,d} = R_ 2 - d. \] 因此，平行曲面 \(S_ d\) 的曲率中心位置为： \[ \mathbf{r} + R_ {1,d} \mathbf{n} = \mathbf{r} + (R_ 1 - d)\mathbf{n}, \] \[ \mathbf{r} + R_ {2,d} \mathbf{n} = \mathbf{r} + (R_ 2 - d)\mathbf{n}. \] 这正是原曲面曲率中心曲面的两个叶（分别对应 \(R_ 1\) 和 \(R_ 2\)）沿法线反向平移 \(d\) 的结果。所以几何上，平行曲面的曲率中心曲面是原曲面曲率中心曲面的平移副本。 几何意义与焦散面 曲率中心曲面也是光线沿法线反射或折射的焦散面（包络面）。平行曲面的曲率中心曲面相同，意味着它们共享相同的焦散性质。在光学中，平行曲面族（如透镜前后表面）产生的焦散图案在空间中是平移等价的。 特殊情形与奇点 当 \(d = R_ 1\) 或 \(d = R_ 2\) 时，平行曲面 \(S_ d\) 的一个主曲率半径为零，该方向曲率中心与曲面点重合，曲率中心曲面在该处退化（尖点或自交）。此时 \(S_ d\) 出现奇点（如尖脊），对应原曲面曲率中心曲面的脊线。