留数定理 留数定理是复变函数理论中的重要工具，它建立了解析函数在闭合路径上的积分与其在路径内部奇点处性质的联系。 首先，我们来理解核心概念—— 留数 。假设一个函数 f(z) 在以点 z₀ 为中心的圆环域内（除 z₀ 点外）解析，那么它可以在该区域内展开为洛朗级数。在这个级数展开中，负一次幂项 (z - z₀)⁻¹ 的系数 c₋₁ 就被定义为函数 f(z) 在奇点 z₀ 处的 留数 ，记作 Res[ f(z), z₀ ]。留数本质上捕捉了函数在该奇点附近的“漩涡强度”。 接下来是 留数定理 的表述：设函数 f(z) 在一条正向简单闭曲线 C 及其内部除有限个孤立奇点 z₁, z₂, ..., zₙ 外处处解析，则 f(z) 沿曲线 C 的积分等于 2πi 乘以这些奇点处的留数之和。用公式表示为： ∮ C f(z) dz = 2πi Σ {k=1}^n Res[ f(z), zₖ ] 这个定理的威力在于，它将一个复杂的路径积分计算，简化为了对几个点（奇点）处留数的代数计算。 那么，如何实际计算留数呢？这取决于奇点的类型： 可去奇点 ：如果 z₀ 是 f(z) 的可去奇点，那么其洛朗展开式中没有负幂项，因此留数 Res[ f(z), z₀ ] = 0。 极点 ：这是最常见且最重要的情形。 一阶极点 ：如果 z₀ 是 f(z) 的一阶极点，那么留数有一个非常简便的计算公式：Res[ f(z), z₀] = lim_ {z→z₀} [ (z - z₀) f(z) ]。 m 阶极点 ：如果 z₀ 是 f(z) 的 m 阶极点，计算留数的公式为：Res[ f(z), z₀] = 1/(m-1)! * lim_ {z→z₀} dᵐ⁻¹/dzᵐ⁻¹ [ (z - z₀)ᵐ f(z) ]。这个公式虽然看起来复杂，但本质是通过求导来“剥离”掉高阶奇性，从而提取出 (z - z₀)⁻¹ 项的系数。 本性奇点 ：对于本性奇点，通常没有通用的简单公式，需要直接通过将函数展开成洛朗级数来找出 c₋₁ 项。 最后，留数定理的一个经典应用是计算某些 实积分 。许多在实数范围内计算非常困难的定积分或反常积分，可以通过“复化”的方式，即选择一个合适的复变函数和积分路径，将实积分转化为复积分，然后运用留数定理轻松求解。例如，计算形如 ∫_ {-∞}^{∞} R(x) dx（其中 R(x) 是有理函数）的积分。