群论的起源 我们先从一个具体的数学问题开始。在16世纪的意大利，数学家们热衷于一场“数学竞赛”——求解三次方程（即形如 x³ + px + q = 0 的方程）。塔尔塔利亚发现了解法，但卡尔达诺将其发表，这就是著名的卡尔达诺公式。这个公式有一个奇特之处：即使在方程有三个实数根的情况下，公式的运算过程中也会出现负数的平方根（也就是虚数）。 这引出了第一个关键概念： 1. 方程根的可解性与对称性 。数学家们开始思考，为什么五次及以上的方程没有类似的根式解（即用系数进行有限次加、减、乘、除和开方运算表示的公式解）？拉格朗日对此进行了深入研究，他意识到方程的“根”之间存在着某种对称关系。当你交换这些根的位置时，某些由根构成的表达式的值会保持不变。这种对称性是理解方程是否可解的核心。 沿着拉格朗日的思路，鲁菲尼和阿贝尔最终证明了五次方程没有一般的根式解。但问题并没有结束，伽罗瓦做出了决定性的贡献。他引入了第二个关键概念： 2. 伽罗瓦群 。伽罗瓦的思想是革命性的：他为每个方程关联了一个数学结构，即“群”。这个群由所有保持根之间代数关系不变的置换（可以理解为根的对称变换）构成。方程能否用根式求解，完全取决于这个群的结构性质。 那么，伽罗瓦所说的“群”到底是什么呢？这就引出了第三个关键概念： 3. 群的公理化定义 。经过凯莱、冯·戴克等数学家的提炼，“群”作为一个抽象的代数结构被明确定义。一个群必须包含一个集合以及一种运算（比如加法或乘法），并满足四条基本性质：封闭性（运算结果仍在集合内）、结合律、存在单位元（类似0之于加法，1之于乘法）、集合中每个元素都存在逆元。 群的概念之所以强大，在于其普适性，这是第四个关键概念： 4. 从具体到抽象：对称性的语言 。人们发现，“群”是描述“对称性”的完美数学语言。它不再局限于方程的根。一个几何图形的对称性（如正方形的旋转和反射）构成一个群；晶体的内部结构由群描述；甚至物理定律在某种变换下的不变性也对应着特定的群。 最终，群论发展成为一门独立的、强大的数学分支，这是第五个关键概念： 5. 一门新学科的诞生与影响 。群论不再仅仅是解决方程的工具，它成为了研究数学和物理学中各种对称性和结构的基础性语言，催生了如李群、表示论等深刻理论，并在粒子物理、化学等领域有极其重要的应用。它的起源，正始于对一元多项式方程解的古老探索。