曲率线在曲面参数化下的微分方程

字数 2283 2025-12-11 16:27:53

曲率线在曲面参数化下的微分方程

我们从最基本的曲面表示开始，逐步建立曲率线的概念，并最终推导出其控制微分方程。

第一步：回顾曲面的基本表示
考虑一张光滑曲面 \(S\)，它可以用参数 \((u, v)\) 表示：

\[\mathbf{r}(u, v) = \big( x(u, v),\, y(u, v),\, z(u, v) \big). \]

在曲面上任意一点 \(P\)，有两个切方向由偏导向量 \(\mathbf{r}_u = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\) 和 \(\mathbf{r}_v = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\) 张成。假设 \(\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v \neq \mathbf{0}\)，即该点非奇点。

第二步：曲面的第一基本形式与第二基本形式

第一基本形式 \(I\) 度量曲面的内蕴几何（长度、角度）：

\[I = E\, du^2 + 2F\, du\, dv + G\, dv^2, \]

其中 \(E = \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_u,\; F = \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_v,\; G = \mathbf{r}_v \cdot \mathbf{r}_v\)。

第二基本形式 \(II\) 刻画曲面在空间中的弯曲程度：

\[II = L\, du^2 + 2M\, du\, dv + N\, dv^2, \]

其中 \(L = \mathbf{r}_{uu} \cdot \mathbf{n},\; M = \mathbf{r}_{uv} \cdot \mathbf{n},\; N = \mathbf{r}_{vv} \cdot \mathbf{n}\)，而 \(\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v}{\|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\|}\) 是单位法向量。

第三步：法曲率与主方向回顾
给定曲面在点 \(P\) 处一个切方向 \(d\mathbf{r} = \mathbf{r}_u\, du + \mathbf{r}_v\, dv\)，其法曲率 \(\kappa_n\) 为：

\[\kappa_n = \frac{II}{I} = \frac{L\, du^2 + 2M\, du\, dv + N\, dv^2}{E\, du^2 + 2F\, du\, dv + G\, dv^2}. \]

在点 \(P\) 存在两个互相垂直的切方向，使得法曲率取极值，称为主方向，对应的法曲率称为主曲率，记作 \(\kappa_1\) 和 \(\kappa_2\)。

第四步：曲率线的定义
曲面上的一条曲线，如果其每一点的切方向都是该点的一个主方向，则这条曲线称为曲率线。因此，曲率线是主方向场形成的积分曲线。

第五步：推导曲率线满足的微分方程
设曲面上一条曲线的参数为 \(t\)，其切方向满足 \(du : dv\)。主方向满足的条件是：该方向对应的法曲率导数为零（极值条件），或者等价地，该方向是第二基本形式关于第一基本形式的特征方向。这导出方程：

\[\begin{vmatrix} dv^2 & -du\, dv & du^2 \\ E & F & G \\ L & M & N \end{vmatrix} = 0. \]

展开此行列式，得到：

\[(EM - FL)\, du^2 + (EN - GL)\, du\, dv + (FN - GM)\, dv^2 = 0. \]

这就是曲率线的微分方程。它确定了曲面上两个主方向场，分别对应两个常微分方程的解。

第六步：将方程写成对称形式
将上述方程视为关于比值 \(du/dv\) 或 \(dv/du\) 的二次方程。通常写成：

\[\begin{vmatrix} dv^2 & -du\, dv & du^2 \\ E & F & G \\ L & M & N \end{vmatrix} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (EM - FL)\left(\frac{du}{dv}\right)^2 + (EN - GL)\left(\frac{du}{dv}\right) + (FN - GM) = 0. \]

若将参数曲线网 \((u, v)\) 取为曲率线网（即 \(u\)-线和 \(v\)-线都是曲率线），则条件为：\(F = 0\) 且 \(M = 0\)。此时，主方向正好与坐标曲线重合，上述方程自动满足。

第七步：几何意义与应用
曲率线网是曲面上的一个正交曲线网（在非脐点处），它使得曲面的弯曲性质得到“解耦”。在曲率线参数下，第一、第二基本形式同时对角化：

\[I = E\, du^2 + G\, dv^2, \quad II = L\, du^2 + N\, dv^2. \]

这极大简化了计算，例如主曲率为 \(\kappa_1 = L/E,\; \kappa_2 = N/G\)。曲率线在曲面微分几何、壳体力学、曲面造型等领域有重要应用，因为它们通常与曲面的“自然”弯曲模式一致。

曲率线在曲面参数化下的微分方程我们从最基本的曲面表示开始，逐步建立曲率线的概念，并最终推导出其控制微分方程。第一步：回顾曲面的基本表示考虑一张光滑曲面 \(S\)，它可以用参数 \((u, v)\) 表示： \[ \mathbf{r}(u, v) = \big( x(u, v),\, y(u, v),\, z(u, v) \big). \] 在曲面上任意一点 \(P\)，有两个切方向由偏导向量 \(\mathbf{r}_ u = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\) 和 \(\mathbf{r}_ v = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\) 张成。假设 \(\mathbf{r}_ u \times \mathbf{r}_ v \neq \mathbf{0}\)，即该点非奇点。第二步：曲面的第一基本形式与第二基本形式第一基本形式 \(I\) 度量曲面的内蕴几何（长度、角度）： \[ I = E\, du^2 + 2F\, du\, dv + G\, dv^2, \] 其中 \(E = \mathbf{r}_ u \cdot \mathbf{r}_ u,\; F = \mathbf{r}_ u \cdot \mathbf{r}_ v,\; G = \mathbf{r}_ v \cdot \mathbf{r}_ v\)。第二基本形式 \(II\) 刻画曲面在空间中的弯曲程度： \[ II = L\, du^2 + 2M\, du\, dv + N\, dv^2, \] 其中 \(L = \mathbf{r} {uu} \cdot \mathbf{n},\; M = \mathbf{r} {uv} \cdot \mathbf{n},\; N = \mathbf{r}_ {vv} \cdot \mathbf{n}\)，而 \(\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_ u \times \mathbf{r}_ v}{\|\mathbf{r}_ u \times \mathbf{r}_ v\|}\) 是单位法向量。第三步：法曲率与主方向回顾给定曲面在点 \(P\) 处一个切方向 \(d\mathbf{r} = \mathbf{r}_ u\, du + \mathbf{r}_ v\, dv\)，其法曲率 \(\kappa_ n\) 为： \[ \kappa_ n = \frac{II}{I} = \frac{L\, du^2 + 2M\, du\, dv + N\, dv^2}{E\, du^2 + 2F\, du\, dv + G\, dv^2}. \] 在点 \(P\) 存在两个互相垂直的切方向，使得法曲率取极值，称为主方向，对应的法曲率称为主曲率，记作 \(\kappa_ 1\) 和 \(\kappa_ 2\)。第四步：曲率线的定义曲面上的一条曲线，如果其每一点的切方向都是该点的一个主方向，则这条曲线称为曲率线。因此，曲率线是主方向场形成的积分曲线。第五步：推导曲率线满足的微分方程设曲面上一条曲线的参数为 \(t\)，其切方向满足 \(du : dv\)。主方向满足的条件是：该方向对应的法曲率导数为零（极值条件），或者等价地，该方向是第二基本形式关于第一基本形式的特征方向。这导出方程： \[ \begin{vmatrix} dv^2 & -du\, dv & du^2 \\ E & F & G \\ L & M & N \end{vmatrix} = 0. \] 展开此行列式，得到： \[ (EM - FL)\, du^2 + (EN - GL)\, du\, dv + (FN - GM)\, dv^2 = 0. \] 这就是曲率线的微分方程。它确定了曲面上两个主方向场，分别对应两个常微分方程的解。第六步：将方程写成对称形式将上述方程视为关于比值 \(du/dv\) 或 \(dv/du\) 的二次方程。通常写成： \[ \begin{vmatrix} dv^2 & -du\, dv & du^2 \\ E & F & G \\ L & M & N \end{vmatrix} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (EM - FL)\left(\frac{du}{dv}\right)^2 + (EN - GL)\left(\frac{du}{dv}\right) + (FN - GM) = 0. \] 若将参数曲线网 \((u, v)\) 取为曲率线网（即 \(u\)-线和 \(v\)-线都是曲率线），则条件为：\(F = 0\) 且 \(M = 0\)。此时，主方向正好与坐标曲线重合，上述方程自动满足。第七步：几何意义与应用曲率线网是曲面上的一个正交曲线网（在非脐点处），它使得曲面的弯曲性质得到“解耦”。在曲率线参数下，第一、第二基本形式同时对角化： \[ I = E\, du^2 + G\, dv^2, \quad II = L\, du^2 + N\, dv^2. \] 这极大简化了计算，例如主曲率为 \(\kappa_ 1 = L/E,\; \kappa_ 2 = N/G\)。曲率线在曲面微分几何、壳体力学、曲面造型等领域有重要应用，因为它们通常与曲面的“自然”弯曲模式一致。