平行曲面的高斯映射与第三基本形式
好的，我们现在来深入探讨“平行曲面”的一个深刻方面：其高斯映射的性质，以及由此自然引出的“第三基本形式”。我们将从平行曲面的定义开始，循序渐进地建立这些概念。
第一步：平行曲面的回顾与定义
首先，我们明确什么是平行曲面。
- 给定曲面：设我们有一个光滑的曲面 \(S\)，其参数表示为 \(\mathbf{r}(u, v)\)，其中 \((u, v)\) 是曲纹坐标。这个曲面有单位法向量场 \(\mathbf{n}(u, v)\)。
- 平行曲面族：沿着曲面 \(S\) 的法线方向，向两侧等距离“偏移”，可以得到一族新的曲面 \(S_d\)，称为 \(S\) 的平行曲面。其参数方程为：
\[ \mathbf{r}_d(u, v) = \mathbf{r}(u, v) + d \, \mathbf{n}(u, v) \]
其中 \(d\) 是一个实数常数，表示偏移的距离。当 \(d > 0\) 时，沿法向正向偏移；\(d < 0\) 时，沿法向负向偏移。
第二步：平行曲面的法向量
一个关键且美妙的事实是：在正则点处，平行曲面 \(S_d\) 与原始曲面 \(S\) 在对应点具有相同的单位法向量。
- 推导：对 \(\mathbf{r}_d\) 求偏导：
\[ \frac{\partial \mathbf{r}_d}{\partial u} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} + d \frac{\partial \mathbf{n}}{\partial u}, \quad \frac{\partial \mathbf{r}_d}{\partial v} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} + d \frac{\partial \mathbf{n}}{\partial v} \]
- 魏因加滕公式：我们知道，法向量的导数 \(\frac{\partial \mathbf{n}}{\partial u}, \frac{\partial \mathbf{n}}{\partial v}\) 落在切平面内，并且可以用曲面的第二基本形式系数和第一基本形式系数表示的线性组合（即魏因加滕映射或形状算子）。因此，\(\frac{\partial \mathbf{r}_d}{\partial u}\) 和 \(\frac{\partial \mathbf{r}_d}{\partial v}\) 是 \(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}, \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\) 的线性组合，它们张成了与原始曲面 \(S\) 相同的切空间（只要线性组合可逆，即 \(S_d\) 正则）。
- 结论：因此，平行曲面 \(S_d\) 在点 \(\mathbf{r}_d(u, v)\) 处的单位法向量 \(\mathbf{n}_d(u, v)\) 与原始曲面在对应点 \(\mathbf{r}(u, v)\) 的法向量 \(\mathbf{n}(u, v)\) 完全相同（或相差一个负号，取决于定向选择，通常我们取相同方向）：
\[ \mathbf{n}_d(u, v) = \mathbf{n}(u, v) \]
这个性质是理解后续所有内容的基础。
第三步：高斯映射的几何意义
- 高斯映射：对于一个曲面 \(S\)，其高斯映射 \(G\) 是将曲面上的每一点 \(p\)，映射到该点单位法向量 \(\mathbf{n}(p)\) 的终点。因为所有单位法向量都落在单位球面 \(S^2\) 上，所以高斯映射 \(G: S \rightarrow S^2\) 将曲面“拍”到了单位球面上。
- 几何解释：高斯映射记录了曲面在每一点处的“朝向”或“倾斜程度”。平面的高斯映射将整个平面映射为球面上的一个点；圆柱面的高斯映射将柱面映射为球面上的一个大圆。
- 微分：高斯映射的微分 \(dG_p\) 是一个从曲面 \(S\) 在点 \(p\) 的切空间 \(T_pS\) 到球面 \(S^2\) 在 \(G(p)\) 的切空间 \(T_{G(p)}S^2\) 的线性映射。由于 \(G(p) = \mathbf{n}(p)\)，且 \(T_{G(p)}S^2\) 正是垂直于 \(\mathbf{n}(p)\) 的平面（即 \(T_pS\) 本身），所以 \(dG_p: T_pS \rightarrow T_pS\)。这个映射就是魏因加滕映射（形状算子） \(-L\)。
第四步：平行曲面的高斯映射
根据第二步的结论，对于平行曲面 \(S_d\) 和原始曲面 \(S\)，它们在对应点有相同的法向量 \(\mathbf{n}\)。
- 高斯映射相同：因此，点 \(\mathbf{r}_d(u, v) \in S_d\) 的高斯映射像，与点 \(\mathbf{r}(u, v) \in S\) 的高斯映射像，是单位球面上的同一点 \(\mathbf{n}(u, v)\)。
- 结论：平行曲面族 \(\{S_d\}\) 共享同一个高斯映射。 换句话说，高斯映射 \(G\) 将整个一族平行曲面都映到了单位球面 \(S^2\) 上相同的点集。这是平行曲面一个非常强的几何性质。
第五步：高斯映射的微分与第三基本形式的引入
既然平行曲面共享同一个高斯映射 \(G\)，那么研究 \(G\) 的微分在切平面上诱导的度量就很有意义。这个度量就是第三基本形式。
- 定义：设曲面 \(S\) 的参数为 \((u, v)\)，其高斯映射为 \(G: (u, v) \mapsto \mathbf{n}(u, v)\)。我们将 \(G\) 视为从曲面 \(S\) 到球面 \(S^2\) 的一个参数化映射。这个映射的“第一基本形式”就被称为曲面 \(S\) 的第三基本形式，记作 \(III\) 或 \(\mathrm{III}\)。
- 具体计算：第三基本形式度量了法向量场 \(\mathbf{n}\) 的变化率。其系数定义为：
\[ e = \mathbf{n}_u \cdot \mathbf{n}_u, \quad f = \mathbf{n}_u \cdot \mathbf{n}_v, \quad g = \mathbf{n}_v \cdot \mathbf{n}_v \]
其中 \(\mathbf{n}_u = \frac{\partial \mathbf{n}}{\partial u}, \mathbf{n}_v = \frac{\partial \mathbf{n}}{\partial v}\)。
- 微分关系：由魏因加滕公式，\(\mathbf{n}_u, \mathbf{n}_v\) 可以用切向量 \(\mathbf{r}_u, \mathbf{r}_v\) 线性表示。反之，\(\mathbf{r}_u, \mathbf{r}_v\) 也可以用 \(\mathbf{n}_u, \mathbf{n}_v\) 线性表示（在非脐点处）。这暗示了三个基本形式之间存在深刻联系。
第六步：三个基本形式的关系
曲面有三种重要的二次微分形式，它们共同刻画了曲面的局部几何：
- 第一基本形式 (I)：\(Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2\)，度量曲面的内蕴几何（长度、角度、面积）。
- 第二基本形式 (II)：\(Ldu^2 + 2Mdudv + Ndv^2\)，度量曲面相对于切平面的弯曲（外曲率）。
- 第三基本形式 (III)：\(edu^2 + 2fdudv + gdv^2\)，如上定义，度量法向量的变化，即高斯映射的局部拉伸情况。
它们之间存在一个优美的线性关系，称为高斯-彼得松-迈因纳迪-科达齐方程的推论之一：
\[\mathrm{III} - 2H \cdot \mathrm{II} + K \cdot \mathrm{I} = 0 \]
其中 \(H\) 是平均曲率，\(K\) 是高斯曲率。
推导思路：
- 魏因加滕映射 \(L\) 满足 \(L(\mathbf{r}_u) = -\mathbf{n}_u, L(\mathbf{r}_v) = -\mathbf{n}_v\)。
- 第三基本形式的系数 \(e, f, g\) 是 \(\mathbf{n}_u, \mathbf{n}_v\) 的点积，而 \(\mathbf{n}_u, \mathbf{n}_v\) 又由 \(L\) 作用于 \(\mathbf{r}_u, \mathbf{r}_v\) 得到。
- 利用线性代数，矩阵 \((e, f; f, g)\)（代表 III）等于魏因加滕矩阵的平方的某种表示。而魏因加滕矩阵的特征值是主曲率 \(k_1, k_2\)。
- 由凯莱-哈密顿定理，矩阵满足其特征方程：\(L^2 - 2H L + K I = 0\)（这里 \(I\) 是单位矩阵）。将这个等式作用于基向量并点积，就能得到上述三个基本形式的关系式。
第七步：平行曲面的第三基本形式
现在，结合平行曲面和高斯映射的性质，我们得到一个关键结论：
- 由于平行曲面族 \(\{S_d\}\) 共享同一个高斯映射 \(G\) 和同一个法向量场 \(\mathbf{n}(u, v)\)。
- 而第三基本形式 \(\mathrm{III}\) 完全由 \(\mathbf{n}_u\) 和 \(\mathbf{n}_v\) 决定。
- 因此，整个平行曲面族 \(\{S_d\}\) 共享同一个第三基本形式 \(\mathrm{III}\)。
这意味着，无论你将曲面沿法线方向推移多远，只要参数 \((u, v)\) 对应，其法向量的变化模式（由 III 度量）是固定不变的。这是平行曲面一个非常深刻的内在性质。
总结
让我们串联一下整个逻辑链条：
- 平行曲面是通过沿法线等距偏移定义的曲面族 \(\mathbf{r}_d = \mathbf{r} + d\mathbf{n}\)。
- 关键性质：在对应点，平行曲面与原始曲面具有完全相同的单位法向量场 \(\mathbf{n}\)。
- 高斯映射：因为法向量相同，所以整个平行曲面族被同一个高斯映射 \(G\) 映到单位球面上的相同点集。
- 第三基本形式：定义为高斯映射 \(G\) 的微分所诱导的度量，即 \(\mathrm{III} = d\mathbf{n} \cdot d\mathbf{n}\)，它量化了法向量的变化。
- 核心结论：由于 \(\mathbf{n}\) 和 \(d\mathbf{n}\) 在整个平行曲面族中相同，所以平行曲面族共享完全相同的第三基本形式。
- 内在联系：第三基本形式并非独立，它与前两个基本形式通过 \(\mathrm{III} - 2H\mathrm{II} + K\mathrm{I} = 0\) 紧密相连，其中 \(H\) 和 \(K\) 会随距离 \(d\) 变化，但此关系式恒成立。
理解“平行曲面的高斯映射与第三基本形式”，能让你从映射和度量的更高视角，洞察平行曲面族的几何统一性。高斯映射将一族曲面“压缩”到球面上同一个图像，而第三基本形式则是这个映射本身的尺子，这把尺子在整个族中是不变的。