模的纯投射模与纯内射模

字数 3380 2025-12-11 16:11:18

模的纯投射模与纯内射模

我们先从“纯性”在模论中的动机说起。你已经学过“模的正合列”和“模的直和与直积”。在模的范畴中，我们通常研究正合列。一个短正合列 \(0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0\) 称为分裂正合的，如果它满足以下等价条件之一：\(f\) 有左逆（即存在 \(h: B \to A\) 使得 \(h \circ f = id_A\)），或 \(g\) 有右逆，或 \(B \cong A \oplus C\)。分裂性是一个很强的性质，但很多自然出现的正合列并不分裂。

“纯性”是一种比分裂性更弱，但比单纯的正合性更强的条件。它关注的是与“张量积”函子交互时的正合性。为了理解它，我们必须从张量积的右正合性开始。

步骤1：回忆张量积与右正合性
给定一个右 \(R\)-模 \(M\) 和一个左 \(R\)-模 \(N\)，张量积 \(M \otimes_R N\) 是一个阿贝尔群。对于固定的右 \(R\)-模 \(M\)，张量积函子 \(M \otimes_R -\) 是一个从左 \(R\)-模范畴到阿贝尔群范畴的函子。这个函子是右正合的：对于一个左 \(R\)-模的正合列 \(A \xrightarrow{\alpha} B \xrightarrow{\beta} C \to 0\)，张量后的序列 \(M \otimes_R A \xrightarrow{id_M \otimes \alpha} M \otimes_R B \xrightarrow{id_M \otimes \beta} M \otimes_R C \to 0\) 仍然是正合的。但左边的映射 \(id_M \otimes \alpha\) 不一定是单射，所以函子不一定是左正合的。如果对所有右 \(R\)-模 \(M\)，函子 \(M \otimes_R -\) 都将某个正合列 \(0 \to A \to B \to C \to 0\) 变成正合列 \(0 \to M \otimes A \to M \otimes B \to M \otimes C \to 0\)，那么这个正合列就是分裂的。但“纯性”考虑的是另一种情况。

步骤2：纯正合序列的定义
我们反转视角。对于一个左 \(R\)-模的正合列 \(\mathcal{E}: 0 \to A \xrightarrow{i} B \xrightarrow{p} C \to 0\)，我们问：如果用一个固定的右 \(R\)-模 \(M\) 去张量它，什么时候能保持正合性？更具体地，我们什么时候有 \(0 \to M \otimes_R A \xrightarrow{id_M \otimes i} M \otimes_R B \xrightarrow{id_M \otimes p} M \otimes_R C \to 0\) 是正合的？因为右正合性自动保证后两部分正合，所以关键在于：对所有的右 \(R\)-模 \(M\)，映射 \(id_M \otimes i\) 是否总是单射？如果不是对所有 \(M\)，而只对某一类特殊的 \(M\) 成立，就引出了纯性的相对概念。

纯正合序列的标准定义是：一个左 \(R\)-模的短正合列 \(\mathcal{E}: 0 \to A \to B \to C \to 0\) 称为纯正合的，如果对任意有限表现的右 \(R\)-模 \(F\)，函子 \(F \otimes_R -\) 作用在 \(\mathcal{E}\) 上得到的序列仍然是正合的（即 \(id_F \otimes i\) 是单射）。
注：有限表现模是指存在正合列 \(R^m \to R^n \to F \to 0\)，即能被有限生成且具有有限展示的模。

直观上，这意味着这个正合列不仅在通常意义下正合，而且在“有限”信息的检测下（用有限表现模去“探测”），它表现得像分裂正合列一样（因为分裂正合列用任何函子作用后都保持分裂）。因此，纯正合序列是分裂正合序列的一种弱化版本。任何分裂正合序列都是纯正合的，反之则不然。

步骤3：纯投射模与纯内射模的引入
在模论中，我们有标准的投射模和内射模，它们分别由“所有正合列的可裂性”来定义（Hom函子的正合性）。纯投射模和纯内射模是类似的概念，但针对的是纯正合列。

纯投射模：一个左 \(R\)-模 \(P\) 称为纯投射模，如果对于任何纯正合序列 \(0 \to A \to B \to C \to 0\) 和任意模同态 \(f: P \to C\)，都存在一个提升同态 \(h: P \to B\)，使得下图交换：
```
    P
    | f
    v
0 -> A -> B -> C -> 0
```

即，从纯投射模 \(P\) 出发到纯正合序列的末端 \(C\) 的映射，总可以提升到中间项 \(B\)。比较：普通投射模要求对所有正合序列都成立。所以，每个投射模都是纯投射模，但反之不真。

纯内射模：一个左 \(R\)-模 \(E\) 称为纯内射模，如果对于任何纯正合序列 \(0 \to A \to B \to C \to 0\) 和任意模同态 \(f: A \to E\)，都存在一个扩张同态 \(h: B \to E\)，使得下图交换：
```
0 -> A -> B -> C -> 0
    | f
    v
    E
```

即，从纯正合序列的首项 \(A\) 到纯内射模 \(E\) 的映射，总可以扩张到中间项 \(B\)。每个内射模都是纯内射模，但反之不真。

步骤4：等价刻画与性质
纯投射模和纯内射模有一些深刻的等价刻画：

纯投射模等价于投射模的纯子模。更具体地，一个模是纯投射的，当且仅当它是某个自由模（或投射模）在纯正合序列下的直和项。
纯内射模有一个著名的刻画（Warfield, 1969; Gruson-Jensen, 1973）：一个模 \(E\) 是纯内射的，当且仅当对于任意直积 \(\prod_{i} M_i\) 到 \(E\) 的同态，都可以通过某个有限直积 \(\prod_{i \in F} M_i\) （\(F\) 有限）分解。这体现了某种“有限性”或“紧性”（相对于纯子模）。这也意味着，每个模都可以嵌入到一个纯内射模中（纯内射包络），类似于内射包络。

步骤5：与平坦模的关系
你已经学过“模的平坦性”。平坦模 \(F\) 的定义是：函子 \(- \otimes_R F\) 是正合的。这与纯性有紧密联系：

一个左 \(R\)-模 \(F\) 是平坦的，当且仅当每个形如 \(0 \to A \to B \to C \to 0\) 的短正合列，在张量 \(F\) 后保持正合，等价于所有形如 \(0 \to I \to R \to R/I \to 0\) （\(I\) 是右理想）的正合列在张量 \(F\) 后保持正合。这是一个“绝对”性质。
纯正合序列的定义，可以重新表述为：序列 \(0 \to A \to B \to C \to 0\) 纯正合，当且仅当对任意有限表现右模 \(F\)，序列 \(0 \to F\otimes A \to F\otimes B \to F\otimes C \to 0\) 正合。由于有限表现模是“有限信息”的载体，纯正合性是一种“有限检测下的分裂性”。
一个重要结论是：任何有限表现的平坦模是投射模。而纯投射模可以看作是投射模在“有限表现”世界之外的推广。纯投射模总是平坦的，但平坦模不一定是纯投射的。

总结来说，纯投射模和纯内射模是通过将经典的投射/内射性质中的“所有正合序列”弱化为“所有纯正合序列”而得到的。它们与平坦性、有限表现性、直积/直和极限等概念紧密相连，是同调代数和模论中研究模的精细结构（特别是非有限生成模）的重要工具。

模的纯投射模与纯内射模我们先从“纯性”在模论中的动机说起。你已经学过“模的正合列”和“模的直和与直积”。在模的范畴中，我们通常研究正合列。一个短正合列 \( 0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0 \) 称为分裂正合的，如果它满足以下等价条件之一：\( f \) 有左逆（即存在 \( h: B \to A \) 使得 \( h \circ f = id_ A \)），或 \( g \) 有右逆，或 \( B \cong A \oplus C \)。分裂性是一个很强的性质，但很多自然出现的正合列并不分裂。 “纯性”是一种比分裂性更弱，但比单纯的正合性更强的条件。它关注的是与“张量积”函子交互时的正合性。为了理解它，我们必须从张量积的右正合性开始。步骤1：回忆张量积与右正合性给定一个右 \( R \)-模 \( M \) 和一个左 \( R \)-模 \( N \)，张量积 \( M \otimes_ R N \) 是一个阿贝尔群。对于固定的右 \( R \)-模 \( M \)，张量积函子 \( M \otimes_ R - \) 是一个从左 \( R \)-模范畴到阿贝尔群范畴的函子。这个函子是右正合的：对于一个左 \( R \)-模的正合列 \( A \xrightarrow{\alpha} B \xrightarrow{\beta} C \to 0 \)，张量后的序列 \( M \otimes_ R A \xrightarrow{id_ M \otimes \alpha} M \otimes_ R B \xrightarrow{id_ M \otimes \beta} M \otimes_ R C \to 0 \) 仍然是正合的。但左边的映射 \( id_ M \otimes \alpha \) 不一定是单射，所以函子不一定是左正合的。如果对所有右 \( R \)-模 \( M \)，函子 \( M \otimes_ R - \) 都将某个正合列 \( 0 \to A \to B \to C \to 0 \) 变成正合列 \( 0 \to M \otimes A \to M \otimes B \to M \otimes C \to 0 \)，那么这个正合列就是分裂的。但“纯性”考虑的是另一种情况。步骤2：纯正合序列的定义我们反转视角。对于一个左 \( R \)-模的正合列 \( \mathcal{E}: 0 \to A \xrightarrow{i} B \xrightarrow{p} C \to 0 \)，我们问：如果用一个固定的右 \( R \)-模 \( M \) 去张量它，什么时候能保持正合性？更具体地，我们什么时候有 \( 0 \to M \otimes_ R A \xrightarrow{id_ M \otimes i} M \otimes_ R B \xrightarrow{id_ M \otimes p} M \otimes_ R C \to 0 \) 是正合的？因为右正合性自动保证后两部分正合，所以关键在于：对所有的右 \( R \)-模 \( M \)，映射 \( id_ M \otimes i \) 是否总是单射？如果不是对所有 \( M \)，而只对某一类特殊的 \( M \) 成立，就引出了纯性的相对概念。纯正合序列的标准定义是：一个左 \( R \)-模的短正合列 \( \mathcal{E}: 0 \to A \to B \to C \to 0 \) 称为纯正合的，如果对任意有限表现的右 \( R \)-模 \( F \)，函子 \( F \otimes_ R - \) 作用在 \( \mathcal{E} \) 上得到的序列仍然是正合的（即 \( id_ F \otimes i \) 是单射）。注：有限表现模是指存在正合列 \( R^m \to R^n \to F \to 0 \)，即能被有限生成且具有有限展示的模。直观上，这意味着这个正合列不仅在通常意义下正合，而且在“有限”信息的检测下（用有限表现模去“探测”），它表现得像分裂正合列一样（因为分裂正合列用任何函子作用后都保持分裂）。因此，纯正合序列是分裂正合序列的一种弱化版本。任何分裂正合序列都是纯正合的，反之则不然。步骤3：纯投射模与纯内射模的引入在模论中，我们有标准的投射模和内射模，它们分别由“所有正合列的可裂性”来定义（Hom函子的正合性）。纯投射模和纯内射模是类似的概念，但针对的是纯正合列。纯投射模：一个左 \( R \)-模 \( P \) 称为纯投射模，如果对于任何纯正合序列 \( 0 \to A \to B \to C \to 0 \) 和任意模同态 \( f: P \to C \)，都存在一个提升同态 \( h: P \to B \)，使得下图交换：即，从纯投射模 \( P \) 出发到纯正合序列的末端 \( C \) 的映射，总可以提升到中间项 \( B \)。比较：普通投射模要求对所有正合序列都成立。所以，每个投射模都是纯投射模，但反之不真。纯内射模：一个左 \( R \)-模 \( E \) 称为纯内射模，如果对于任何纯正合序列 \( 0 \to A \to B \to C \to 0 \) 和任意模同态 \( f: A \to E \)，都存在一个扩张同态 \( h: B \to E \)，使得下图交换：即，从纯正合序列的首项 \( A \) 到纯内射模 \( E \) 的映射，总可以扩张到中间项 \( B \)。每个内射模都是纯内射模，但反之不真。步骤4：等价刻画与性质纯投射模和纯内射模有一些深刻的等价刻画：纯投射模等价于投射模的纯子模。更具体地，一个模是纯投射的，当且仅当它是某个自由模（或投射模）在纯正合序列下的直和项。纯内射模有一个著名的刻画（Warfield, 1969; Gruson-Jensen, 1973）：一个模 \( E \) 是纯内射的，当且仅当对于任意直积 \( \prod_ {i} M_ i \) 到 \( E \) 的同态，都可以通过某个有限直积 \( \prod_ {i \in F} M_ i \) （\( F \) 有限）分解。这体现了某种“有限性”或“紧性”（相对于纯子模）。这也意味着，每个模都可以嵌入到一个纯内射模中（纯内射包络），类似于内射包络。步骤5：与平坦模的关系你已经学过“模的平坦性”。平坦模 \( F \) 的定义是：函子 \( - \otimes_ R F \) 是正合的。这与纯性有紧密联系：一个左 \( R \)-模 \( F \) 是平坦的，当且仅当每个形如 \( 0 \to A \to B \to C \to 0 \) 的短正合列，在张量 \( F \) 后保持正合，等价于所有形如 \( 0 \to I \to R \to R/I \to 0 \) （\( I \) 是右理想）的正合列在张量 \( F \) 后保持正合。这是一个“绝对”性质。纯正合序列的定义，可以重新表述为：序列 \( 0 \to A \to B \to C \to 0 \) 纯正合，当且仅当对任意有限表现右模 \( F \)，序列 \( 0 \to F\otimes A \to F\otimes B \to F\otimes C \to 0 \) 正合。由于有限表现模是“有限信息”的载体，纯正合性是一种“有限检测下的分裂性”。一个重要结论是：任何有限表现的平坦模是投射模。而纯投射模可以看作是投射模在“有限表现”世界之外的推广。纯投射模总是平坦的，但平坦模不一定是纯投射的。总结来说，纯投射模和纯内射模是通过将经典的投射/内射性质中的“所有正合序列”弱化为“所有纯正合序列”而得到的。它们与平坦性、有限表现性、直积/直和极限等概念紧密相连，是同调代数和模论中研究模的精细结构（特别是非有限生成模）的重要工具。