勒贝格-斯蒂尔杰斯测度的分布函数

字数 2524 2025-12-11 15:49:04

勒贝格-斯蒂尔杰斯测度的分布函数

首先，我们来理解“勒贝格-斯蒂尔杰斯测度”本身。它是在实数轴R上，定义在博雷尔σ-代数B(R)上的一种测度。与标准的勒贝格测度（衡量区间长度）不同，它允许我们以一种更一般、更灵活的方式在实轴上“分配质量”。其最一般的定义是通过一个右连续、单调不减的函数F: R → R，我们称之为分布函数。

现在，我们一步一步地建立从分布函数到测度的整个理论。

起点：分布函数
设 F: R → R 是一个函数，它满足两个核心性质：
- 单调不减：对于任何实数 x ≤ y，有 F(x) ≤ F(y)。
- 右连续：对于任何点 a ∈ R，有 F(a+) = F(a)，其中 F(a+) 表示在a点的右极限，即 lim_{x→a+} F(x) = F(a)。
  这样的函数F就称为一个分布函数。直观上，你可以想象F(x)代表了“累积”到点x（包括x点以左）的某种“质量”或“总量”。单调性保证了累积量不会减少，右连续性是一个技术性要求，它保证了由F生成的测度是良好定义的。
从函数到区间上的“质量”
有了分布函数F，我们可以首先定义它对区间分配的“质量”。对于R上的任意区间 I（无论开、闭、左开右闭、左闭右开），我们通过F在端点处的值来定义它的“长度”或“F-长度”。
- 核心定义：对于任意 a, b ∈ R 且 a < b，定义：
  μ_F((a, b]) = F(b) - F(a)。
  注意，这里定义的是左开右闭区间(a, b]上的“F-长度”。这是构造测度的基石。之所以选择这种区间，是因为右连续性使得这个集函数在定义半环上具有良好的可加性。
- 其他区间：我们可以自然地推广到其他类型的区间。例如：
  - μ_F([a, b]) = F(b) - F(a-)，其中F(a-)是左极限。
  - μ_F([a, b)) = F(b-) - F(a-)。
  - μ_F((a, b)) = F(b-) - F(a)。
    特别地，对于一个单点集 {a}，其“质量”为：μ_F({a}) = F(a) - F(a-)。如果F在a点连续，则该点质量为0；如果F在a点有一个跳跃（不连续），则该点质量等于跳跃的幅度。这是勒贝格-斯蒂尔杰斯测度与勒贝格测度（所有单点质量均为0）的关键区别之一。
从区间到测度：测度扩张定理
上一步我们只是在所有左开右闭区间构成的集合类（这构成一个“半环”）上定义了一个集函数μ_F。这个集函数具有以下良好性质：
- 非负性：因为F单调不减，所以对于a < b，F(b)-F(a) ≥ 0。
- 有限可加性：对有限个互不相交的左开右闭区间，其并的μ_F值等于各区间μ_F值之和。
- 可数可加性（在半环上）：对可数多个互不相交的左开右闭区间，如果它们的并仍然是一个左开右闭区间，那么μ_F在这个并上的值等于各区间μ_F值的和。
  满足这些性质后，我们就可以应用卡拉西奥多里延拓定理。这个定理告诉我们，存在唯一的一个测度（仍记为μ_F），定义在由所有左开右闭区间生成的σ-代数（即整个博雷尔σ-代数B(R)）上，使得该测度在左开右闭区间上的取值与我们最初的定义一致。这个测度μ_F就是由分布函数F诱导出的勒贝格-斯蒂尔杰斯测度。
标准例子与直观
- 勒贝格测度：取分布函数F(x) = x。此时，对于区间(a, b]，有μ_F((a, b]) = b - a，这就是标准的长度。诱导出的测度就是勒贝格测度。此时F是连续的，单点质量为0。
- 计数测度：考虑整数集Z。定义F(x) = ⌊x⌋（向下取整）。F是一个右连续的阶梯函数，在所有整数点处跳跃1。此时，μ_F((a, b])就等于区间(a, b]中包含的整数个数。特别地，对于任何单点集{n}（n为整数），μ_F({n}) = 1。这个测度称为计数测度。
- 混合型：一个更一般的分布函数F，可能有一部分是连续的（对应类似勒贝格测度的“连续质量分布”），有一部分是跳跃的（对应集中在离散点上的“点质量”）。例如，F(x) = x + Σ_{n: q_n ≤ x} (1/2^n)，其中{q_n}是全体有理数的枚举。这个F既是严格递增的（故连续部分存在），又在每个有理点有跳跃（故离散部分也存在），其诱导的测度是一个奇特的混合。
勒贝格-斯蒂尔杰斯积分
一旦有了测度μ_F，我们就可以像定义勒贝格积分一样，定义关于这个测度的积分，称为勒贝格-斯蒂尔杰斯积分。对于一个博雷尔可测函数g，其积分记为：
∫_R g dμ_F 或 ∫_R g(x) dF(x)（后者是更常见的记号，称为黎曼-斯蒂尔杰斯积分在勒贝格框架下的推广）。
这个积分衡量了函数g相对于“质量分布”F的加权平均。当F(x)=x时，它就退化回标准的勒贝格积分。
分布函数与测度的一一对应
上述构造过程是可逆的。给定R上的一个博雷尔测度μ，如果它对有限区间赋予有限测度（即μ是所谓的“Radon测度”或“Borel测度”），那么我们可以通过固定一个参考点（通常取F(0)=0）来定义一个右连续单调不减的函数F_μ：
F_μ(x) = {
μ((0, x]), 如果 x > 0,
0, 如果 x = 0,
-μ((x, 0]), 如果 x < 0.
}
可以证明，由这个F_μ诱导出的勒贝格-斯蒂尔杰斯测度，正好就是原来的测度μ。因此，在右连续单调不减函数（分布函数）与满足局部有限条件的博雷尔测度之间，存在一个一一对应（在相差一个常数意义下）。这使得我们可以用分析工具（函数F）来研究测度，也可以用测度论工具来研究函数。

总结来说，勒贝格-斯蒂尔杰斯测度的分布函数是沟通实分析中函数论与测度论的核心桥梁。它从一个满足右连续和单调条件的点函数F出发，通过定义区间上的“F-长度”，并利用测度扩张定理，唯一地生成了实数轴上的一个博雷尔测度。这个测度可以同时涵盖连续质量分布、离散点质量以及两者的混合，极大地推广了勒贝格测度的概念，并为概率论（其中F就是累积分布函数）、随机过程及调和分析等领域提供了基础。

勒贝格-斯蒂尔杰斯测度的分布函数首先，我们来理解“勒贝格-斯蒂尔杰斯测度”本身。它是在实数轴R上，定义在博雷尔σ-代数B(R)上的一种测度。与标准的勒贝格测度（衡量区间长度）不同，它允许我们以一种更一般、更灵活的方式在实轴上“分配质量”。其最一般的定义是通过一个右连续、单调不减的函数F: R → R，我们称之为分布函数。现在，我们一步一步地建立从分布函数到测度的整个理论。起点：分布函数设 F: R → R 是一个函数，它满足两个核心性质：单调不减：对于任何实数 x ≤ y，有 F(x) ≤ F(y)。右连续：对于任何点 a ∈ R，有 F(a+) = F(a)，其中 F(a+) 表示在a点的右极限，即 lim_ {x→a+} F(x) = F(a)。这样的函数F就称为一个分布函数。直观上，你可以想象F(x)代表了“累积”到点x（包括x点以左）的某种“质量”或“总量”。单调性保证了累积量不会减少，右连续性是一个技术性要求，它保证了由F生成的测度是良好定义的。从函数到区间上的“质量” 有了分布函数F，我们可以首先定义它对区间分配的“质量”。对于R上的任意区间 I（无论开、闭、左开右闭、左闭右开），我们通过F在端点处的值来定义它的“长度”或“F-长度”。核心定义：对于任意 a, b ∈ R 且 a < b，定义： μ_ F((a, b ]) = F(b) - F(a)。注意，这里定义的是左开右闭区间(a, b ]上的“F-长度”。这是构造测度的基石。之所以选择这种区间，是因为右连续性使得这个集函数在定义半环上具有良好的可加性。其他区间：我们可以自然地推广到其他类型的区间。例如： μ_ F([ a, b ]) = F(b) - F(a-)，其中F(a-)是左极限。 μ_ F( [ a, b)) = F(b-) - F(a-)。 μ_ F((a, b)) = F(b-) - F(a)。特别地，对于一个单点集 {a}，其“质量”为：μ_ F({a}) = F(a) - F(a-)。如果F在a点连续，则该点质量为0；如果F在a点有一个跳跃（不连续），则该点质量等于跳跃的幅度。这是勒贝格-斯蒂尔杰斯测度与勒贝格测度（所有单点质量均为0）的关键区别之一。从区间到测度：测度扩张定理上一步我们只是在所有左开右闭区间构成的集合类（这构成一个“半环”）上定义了一个集函数μ_ F。这个集函数具有以下良好性质：非负性：因为F单调不减，所以对于a < b，F(b)-F(a) ≥ 0。有限可加性：对有限个互不相交的左开右闭区间，其并的μ_ F值等于各区间μ_ F值之和。可数可加性（在半环上）：对可数多个互不相交的左开右闭区间，如果它们的并仍然是一个左开右闭区间，那么μ_ F在这个并上的值等于各区间μ_ F值的和。满足这些性质后，我们就可以应用卡拉西奥多里延拓定理。这个定理告诉我们，存在唯一的一个测度（仍记为μ_ F），定义在由所有左开右闭区间生成的σ-代数（即整个博雷尔σ-代数B(R) ）上，使得该测度在左开右闭区间上的取值与我们最初的定义一致。这个测度μ_ F就是由分布函数F诱导出的勒贝格-斯蒂尔杰斯测度。标准例子与直观勒贝格测度：取分布函数F(x) = x。此时，对于区间(a, b]，有μ_ F((a, b ]) = b - a，这就是标准的长度。诱导出的测度就是勒贝格测度。此时F是连续的，单点质量为0。计数测度：考虑整数集Z。定义F(x) = ⌊x⌋（向下取整）。F是一个右连续的阶梯函数，在所有整数点处跳跃1。此时，μ_ F((a, b])就等于区间(a, b]中包含的整数个数。特别地，对于任何单点集{n}（n为整数），μ_ F({n}) = 1。这个测度称为计数测度。混合型：一个更一般的分布函数F，可能有一部分是连续的（对应类似勒贝格测度的“连续质量分布”），有一部分是跳跃的（对应集中在离散点上的“点质量”）。例如，F(x) = x + Σ_ {n: q_ n ≤ x} (1/2^n)，其中{q_ n}是全体有理数的枚举。这个F既是严格递增的（故连续部分存在），又在每个有理点有跳跃（故离散部分也存在），其诱导的测度是一个奇特的混合。勒贝格-斯蒂尔杰斯积分一旦有了测度μ_ F，我们就可以像定义勒贝格积分一样，定义关于这个测度的积分，称为勒贝格-斯蒂尔杰斯积分。对于一个博雷尔可测函数g，其积分记为： ∫_ R g dμ_ F 或 ∫_ R g(x) dF(x)（后者是更常见的记号，称为黎曼-斯蒂尔杰斯积分在勒贝格框架下的推广）。这个积分衡量了函数g相对于“质量分布”F的加权平均。当F(x)=x时，它就退化回标准的勒贝格积分。分布函数与测度的一一对应上述构造过程是可逆的。给定R上的一个博雷尔测度μ，如果它对有限区间赋予有限测度（即μ是所谓的“Radon测度”或“Borel测度”），那么我们可以通过固定一个参考点（通常取F(0)=0）来定义一个右连续单调不减的函数F_ μ： F_ μ(x) = { μ((0, x ]), 如果 x > 0, 0, 如果 x = 0, -μ((x, 0]), 如果 x < 0. } 可以证明，由这个F_ μ诱导出的勒贝格-斯蒂尔杰斯测度，正好就是原来的测度μ。因此，在右连续单调不减函数（分布函数）与满足局部有限条件的博雷尔测度之间，存在一个一一对应（在相差一个常数意义下）。这使得我们可以用分析工具（函数F）来研究测度，也可以用测度论工具来研究函数。总结来说，勒贝格-斯蒂尔杰斯测度的分布函数是沟通实分析中函数论与测度论的核心桥梁。它从一个满足右连续和单调条件的点函数F出发，通过定义区间上的“F-长度”，并利用测度扩张定理，唯一地生成了实数轴上的一个博雷尔测度。这个测度可以同时涵盖连续质量分布、离散点质量以及两者的混合，极大地推广了勒贝格测度的概念，并为概率论（其中F就是累积分布函数）、随机过程及调和分析等领域提供了基础。