曲面的高斯映射与魏因加滕映射的几何意义
好的，我们开始一个新的词条。这次我们将深入探讨曲面微分几何中两个紧密相关且极为重要的概念：高斯映射和魏因加滕映射。它们从不同的角度刻画了曲面是如何“弯曲”的，是理解曲面局部形状的核心工具。
第一步：回顾基础概念——曲面的单位法向量场
想象一个光滑曲面 \(S\)，比如一个球面或一个马鞍面。在曲面上的每一点 \(p\)，我们都可以定义一个切平面 \(T_pS\)。与这个切平面垂直的方向，有且仅有两个单位向量。我们通常按照一个一致的规则（例如，对于封闭曲面，选择指向外侧的法向量）来选定其中一个，记为 \(N(p)\)。这个将曲面上每一点 \(p\) 对应到该点单位法向量 \(N(p)\) 的规则，就称为曲面的单位法向量场。
第二步：高斯映射的直观定义
现在，我们把所有可能的单位向量的“住所”想象成一个单位球面 \(S^2\)（即以原点为球心，半径为1的球面）。这个球面被称为高斯球面。
高斯映射 \(G: S \rightarrow S^2\) 是一个非常自然的几何操作：它将曲面 \(S\) 上的一点 \(p\)，映射到高斯球面 \(S^2\) 上的一个点，这个点正是 \(p\) 点处的单位法向量 \(N(p)\) 的末端。
- 操作： 从原点出发，沿着 \(N(p)\) 的方向画一条射线，这条射线会与单位球面 \(S^2\) 相交于唯一点 \(G(p)\)。
- 几何意义： 高斯映射记录了曲面在每一点是“朝向”哪个方向的。它把曲面的“法向信息”收集起来，投影到了单位球面上。
例子：
- 平面：平面上所有点的法向量都指向同一个方向。因此，高斯映射将整个平面映射为高斯球面上的一个点。
- 球面（半径为 \(R\) 的球面）：其单位法向量 \(N(p)\) 就是从球心指向点 \(p\) 的单位向量。高斯映射 \(G(p) = p / R\) 将整个球面“缩小”到了单位球面上。如果 \(R=1\)，高斯映射就是恒等映射。
- 圆柱面：圆柱面上任一点的法向量都垂直于其轴线，并指向外侧。所有这些法向量都位于与轴线垂直的一个平面内。因此，高斯映射将整个圆柱面映射到高斯球面的一个大圆（赤道）上。
第三步：高斯映射的微分与魏因加滕映射
高斯映射本身是一个从曲面 \(S\) 到球面 \(S^2\) 的映射。在微分几何中，我们关心映射如何“线性地”变化，这由微分（或称切映射）来描述。
考虑高斯映射 \(G\) 在点 \(p\) 处的微分：
\[dG_p: T_pS \rightarrow T_{G(p)}S^2 \]
这是一个线性变换，它将曲面在 \(p\) 点的一个切向量 \(v\)（代表在曲面 \(S\) 上沿某个方向的无穷小移动），映射为高斯球面在 \(G(p)\) 点的一个切向量 \(dG_p(v)\)（代表了法向量 \(N\) 当点沿 \(v\) 方向移动时的变化率）。
关键观察： 由于 \(G(p) = N(p)\)，并且 \(N(p)\) 本身也是一个从 \(S\) 到三维空间 \(\mathbb{R}^3\) 的映射，其微分 \(dN_p\) 将 \(v \in T_pS\) 映射到三维空间的一个向量 \(dN_p(v)\)。但注意到 \(N(p)\) 始终是单位长，所以它的微分变化 \(dN_p(v)\) 必然垂直于 \(N(p)\) 本身（因为长度不变，变化方向只能垂直）。这意味着 \(dN_p(v)\) 实际上落在 \(T_pS\) 内！因为 \(T_pS\) 正是垂直于 \(N(p)\) 的平面。
因此，我们得到一个至关重要的线性映射：
\[dN_p: T_pS \rightarrow T_pS \]
这个从曲面在 \(p\) 点的切空间到自身的线性映射，就被称为魏因加滕映射（或称形状算子、第二基本形式算子）。它是高斯映射的微分在切空间上的体现。
第四步：魏因加滕映射的几何解释与矩阵表示
魏因加滕映射 \(dN_p\) 是理解曲面局部形状的核心。它量化了法向量沿着切方向的变化率。
- 直观： 如果你在曲面上沿着方向 \(v\) 行走，法向量 \(N\) 会如何变化？如果曲面弯曲得很厉害（如一个小球），法向量方向变化很快，\(dN_p(v)\) 的模长就大。如果曲面是平的，法向量不变，\(dN_p(v) = 0\)。如果曲面像圆柱面一样，在某些方向上弯曲，某些方向平直，\(dN_p\) 的作用也会随之不同。
在切平面 \(T_pS\) 上选取一组基底 \(\{ e_1, e_2 \}\)，魏因加滕映射 \(dN_p\) 可以用一个 \(2 \times 2\) 的矩阵 \(W\) 来表示。这个矩阵与曲面的第一基本形式 \(I\)（度量内积）和第二基本形式 \(II\)（弯曲的度量）有深刻联系。事实上，对于任意切向量 \(u, v\) 有：
\[II(u, v) = -\langle dN_p(u), v \rangle = \langle u, dN_p(v) \rangle \]
这里的负号是约定俗成（保证主曲率为正时曲面凸向法向量方向）。这个等式揭示了第二基本形式是魏因加滕映射诱导的对称双线性型。
第五步：魏因加滕映射的特征值与主曲率
因为 \(dN_p\) 是一个对称线性算子（从 \(II\) 的对称性可得），根据线性代数，它存在两个实的特征值 \(k_1\) 和 \(k_2\)，以及对应的相互垂直的特征方向 \(v_1\) 和 \(v_2\)。
这两个特征值 \(k_1, k_2\) 不是别的，正是我们熟知的主曲率！而特征方向 \(v_1, v_2\) 就是主方向。
为什么？
- 特征方程 \(dN_p(v) = k v\) 意味着：沿着主方向 \(v\)，法向量的变化率 \(dN_p(v)\) 恰好与该方向 \(v\) 本身平行。也就是说，法向量在这个方向上的变化，纯粹是长度的缩放（由 \(k\) 决定），方向没有偏转。这个缩放系数 \(k\) 正是曲面沿该方向的法曲率，并且由于是极值，所以是主曲率。
第六步：高斯映射、魏因加滕映射与高斯曲率、平均曲率的关系
最后，我们来看这两个映射如何给出曲面的核心不变量。
- 高斯曲率 \(K\)： 定义为两个主曲率的乘积 \(K = k_1 k_2\)。
- 从线性代数可知，线性变换 \(dN_p\) 的行列式等于其特征值的乘积。因此：
\[ K(p) = \det(dN_p) = k_1 k_2 \]
- 另一方面，高斯映射 \(G\) 的微分 \(dG_p\) 就是 \(dN_p\)（因为切空间相同）。\(dG_p\) 的雅可比行列式的绝对值，衡量了 \(G\) 在 \(p\) 点附近将一小块曲面面积“拉伸”到高斯球面上面积的比率。高斯曲率的绝对值恰好等于这个面积比的极限。即，高斯曲率衡量了高斯映射的“局部面积扭曲程度”。这是高斯著名的“绝妙定理”的一个体现：高斯曲率是内蕴的。
- 平均曲率 \(H\)： 定义为两个主曲率的算术平均 \(H = (k_1 + k_2)/2\)。
- 同样，线性变换 \(dN_p\) 的迹等于其特征值之和。因此：
\[ H(p) = -\frac{1}{2} \text{trace}(dN_p) \]
（这里的负号同样是约定，使得平均曲率符号与法向量选取一致。）
总结：
- 高斯映射 \(G\) 是一个全局几何操作，将曲面的“朝向”信息记录到单位球面上。
- 它的微分 \(dG_p = dN_p\) 在切空间上的限制，就是魏因加滕映射。这是一个强大的局部线性工具。
- 魏因加滕映射的特征值和特征向量直接给出了主曲率和主方向。
- 它的行列式和迹分别给出了曲面的两个最根本的弯曲度量：高斯曲率 \(K\) 和平均曲率 \(H\)。
因此，高斯映射和魏因加滕架起了一座桥梁，连接了曲面法向变化的几何直观（高斯映射）与精确的局部弯曲分析（主曲率、高斯曲率等），是曲面微分几何理论体系的基石之一。