幂等元的Peirce分解
字数 2400 2025-12-11 12:03:21

幂等元的Peirce分解

  1. 幂等元的基本概念
    首先，我们明确“幂等元”的定义。设 \(R\) 是一个环（通常我们考虑有单位元 \(1 \neq 0\) 的结合环）。一个元素 \(e \in R\) 被称为幂等元，如果它满足 \(e^2 = e\)。最简单的例子是环中的乘法单位元 \(1\) 和零元 \(0\)。在矩阵环 \(M_n(\mathbb{C})\) 中，所有满足 \(P^2 = P\) 的矩阵（投影矩阵）都是幂等元。幂等元的核心性质是“自我重复相乘结果不变”，这使其在分解结构中扮演关键角色。

  2. 正交幂等元
    为了进行分解，我们需要多个幂等元协同工作。一组幂等元 \(e_1, e_2, \dots, e_n \in R\) 被称为正交的，如果对于任意 \(i \neq j\)，都有 \(e_i e_j = 0\)。如果这组正交幂等元还满足 \(e_1 + e_2 + \dots + e_n = 1\)（环的单位元），则称它们构成了一组完备的正交幂等元集。这是将环的结构拆分成更小、更简单部分的基础。

  3. Peirce分解的初步：由单个幂等元诱导
    现在，我们看一个幂等元 \(e\) 如何“切割”环 \(R\)。我们可以将 \(R\) 视为其自身的左 \(R\)-模（记为 \(_R R\)）。幂等元 \(e\) 定义了环的一个左理想 \(Re = \{ re \mid r \in R \}\)。由于 \(e\) 是幂等元，容易验证 \(Re = \{ x \in R \mid x = xe \}\)。类似地，我们可以考虑右理想 \(eR\) 和集合 \((1-e)R\)。
    更系统地，我们考虑 \(e\) 和 \((1-e)\) 这一对正交幂等元（因为 \(e(1-e) = e - e^2 = 0\)，且 \(e + (1-e) = 1\)）。利用它们，我们可以将环 \(R\) 分解为四个加法子群的直和：

\[ R = eRe \oplus eR(1-e) \oplus (1-e)Re \oplus (1-e)R(1-e) \]

这个分解称为由幂等元 \(e\) 诱导的 Peirce 分解。其中：

  • \(eRe\) 是一个子环（以 \(e\) 为单位元），称为与 \(e\) 对应的角环。
  • \((1-e)R(1-e)\) 也是一个子环（以 \(1-e\) 为单位元）。
  • \(eR(1-e)\) 是 \((eRe, (1-e)R(1-e))\)-双模。
  • \((1-e)Re\) 是 \(((1-e)R(1-e), eRe)\)-双模。
    这个分解反映了环的乘法结构：不同分量间的乘法遵循明确的模式（例如，\((eRe) \cdot (eR(1-e)) \subseteq eR(1-e)\)）。
  1. 完备正交幂等元集诱导的Peirce分解
    将上述思想推广，设 \(e_1, e_2, \dots, e_n\) 是环 \(R\) 中的一组完备正交幂等元集。那么，环 \(R\) 可以分解为 \(n^2\) 个加法子群的直和：

\[ R = \bigoplus_{i=1}^{n} \bigoplus_{j=1}^{n} e_i R e_j \]

这个分解就是**（经典的）Peirce分解**。其中，每个 \(e_i R e_i\) 都是一个以 \(e_i\) 为单位元的子环。而 \(e_i R e_j\)（当 \(i \neq j\) 时）是 \((e_i R e_i, e_j R e_j)\)-双模。环的乘法可以“分块”表示：对于 \(a_{ij} \in e_i R e_j\) 和 \(b_{jk} \in e_j R e_k\)，它们的乘积 \(a_{ij} b_{jk}\) 落在 \(e_i R e_k\) 中。这强烈地暗示了矩阵环的结构。

  1. 与矩阵环的联系及结构意义
    上述Peirce分解最深刻的应用在于描述环的结构。设 \(P_1 = Re_1, P_2 = Re_2, \dots, P_n = Re_n\) 是由这些幂等元生成的主左理想。它们都是投射左 \(R\)-模。可以证明，存在环同构：

\[ R \cong \text{End}_R(R) \cong \text{End}_R(\bigoplus_{i=1}^{n} P_i) \cong M_n(\text{End}_R(P_i)) \quad \text{(在适当意义下)} \]

更精确地，如果我们记 \(A_{ij} = \text{Hom}_R(P_j, P_i) \cong e_i R e_j\)（作为加法群），那么环 \(R\) 的元素可以形式上对应于一个“广义矩阵” \((a_{ij})\)，其中 \(a_{ij} \in A_{ij}\)，乘法规则模仿矩阵乘法。当所有 \(P_i\) 都同构时，结构会进一步简化。
特别地，如果 \(e_i R e_j = 0\) 对所有 \(i \neq j\) 成立（即分解只有对角项），那么 \(R\) 同构于子环 \(e_1 R e_1, \dots, e_n R e_n\) 的直积。Peirce分解因此是将任意环的结构，通过与一组完备正交幂等元的联系，化归为更小的角环和连接它们的双模来研究的有力工具，是表示论和代数结构理论中的基本技术。

幂等元的Peirce分解 幂等元的基本概念 首先，我们明确“幂等元”的定义。设 \( R \) 是一个环（通常我们考虑有单位元 \( 1 \neq 0 \) 的结合环）。一个元素 \( e \in R \) 被称为 幂等元 ，如果它满足 \( e^2 = e \)。最简单的例子是环中的乘法单位元 \( 1 \) 和零元 \( 0 \)。在矩阵环 \( M_ n(\mathbb{C}) \) 中，所有满足 \( P^2 = P \) 的矩阵（投影矩阵）都是幂等元。幂等元的核心性质是“自我重复相乘结果不变”，这使其在分解结构中扮演关键角色。 正交幂等元 为了进行分解，我们需要多个幂等元协同工作。一组幂等元 \( e_ 1, e_ 2, \dots, e_ n \in R \) 被称为 正交的 ，如果对于任意 \( i \neq j \)，都有 \( e_ i e_ j = 0 \)。如果这组正交幂等元还满足 \( e_ 1 + e_ 2 + \dots + e_ n = 1 \)（环的单位元），则称它们构成了一组 完备的正交幂等元集 。这是将环的结构拆分成更小、更简单部分的基础。 Peirce分解的初步：由单个幂等元诱导 现在，我们看一个幂等元 \( e \) 如何“切割”环 \( R \)。我们可以将 \( R \) 视为其自身的左 \( R \)-模（记为 \( _ R R \)）。幂等元 \( e \) 定义了环的一个左理想 \( Re = \{ re \mid r \in R \} \)。由于 \( e \) 是幂等元，容易验证 \( Re = \{ x \in R \mid x = xe \} \)。类似地，我们可以考虑右理想 \( eR \) 和集合 \( (1-e)R \)。 更系统地，我们考虑 \( e \) 和 \( (1-e) \) 这一对正交幂等元（因为 \( e(1-e) = e - e^2 = 0 \)，且 \( e + (1-e) = 1 \)）。利用它们，我们可以将环 \( R \) 分解为四个加法子群的直和： \[ R = eRe \oplus eR(1-e) \oplus (1-e)Re \oplus (1-e)R(1-e) \] 这个分解称为 由幂等元 \( e \) 诱导的 Peirce 分解 。其中： \( eRe \) 是一个子环（以 \( e \) 为单位元），称为与 \( e \) 对应的 角环 。 \( (1-e)R(1-e) \) 也是一个子环（以 \( 1-e \) 为单位元）。 \( eR(1-e) \) 是 \( (eRe, (1-e)R(1-e)) \)-双模。 \( (1-e)Re \) 是 \( ((1-e)R(1-e), eRe) \)-双模。 这个分解反映了环的乘法结构：不同分量间的乘法遵循明确的模式（例如，\( (eRe) \cdot (eR(1-e)) \subseteq eR(1-e) \)）。 完备正交幂等元集诱导的Peirce分解 将上述思想推广，设 \( e_ 1, e_ 2, \dots, e_ n \) 是环 \( R \) 中的一组完备正交幂等元集。那么，环 \( R \) 可以分解为 \( n^2 \) 个加法子群的直和： \[ R = \bigoplus_ {i=1}^{n} \bigoplus_ {j=1}^{n} e_ i R e_ j \] 这个分解就是** （经典的）Peirce分解** 。其中，每个 \( e_ i R e_ i \) 都是一个以 \( e_ i \) 为单位元的子环。而 \( e_ i R e_ j \)（当 \( i \neq j \) 时）是 \( (e_ i R e_ i, e_ j R e_ j) \)-双模。环的乘法可以“分块”表示：对于 \( a_ {ij} \in e_ i R e_ j \) 和 \( b_ {jk} \in e_ j R e_ k \)，它们的乘积 \( a_ {ij} b_ {jk} \) 落在 \( e_ i R e_ k \) 中。这强烈地暗示了矩阵环的结构。 与矩阵环的联系及结构意义 上述Peirce分解最深刻的应用在于描述环的结构。设 \( P_ 1 = Re_ 1, P_ 2 = Re_ 2, \dots, P_ n = Re_ n \) 是由这些幂等元生成的主左理想。它们都是投射左 \( R \)-模。可以证明，存在环同构： \[ R \cong \text{End} R(R) \cong \text{End} R(\bigoplus {i=1}^{n} P_ i) \cong M_ n(\text{End} R(P_ i)) \quad \text{(在适当意义下)} \] 更精确地，如果我们记 \( A {ij} = \text{Hom} R(P_ j, P_ i) \cong e_ i R e_ j \)（作为加法群），那么环 \( R \) 的元素可以形式上对应于一个“广义矩阵” \( (a {ij}) \)，其中 \( a {ij} \in A_ {ij} \)，乘法规则模仿矩阵乘法。当所有 \( P_ i \) 都同构时，结构会进一步简化。 特别地，如果 \( e_ i R e_ j = 0 \) 对所有 \( i \neq j \) 成立（即分解只有对角项），那么 \( R \) 同构于子环 \( e_ 1 R e_ 1, \dots, e_ n R e_ n \) 的直积。Peirce分解因此是将任意环的结构，通过与一组完备正交幂等元的联系，化归为更小的角环和连接它们的双模来研究的有力工具，是表示论和代数结构理论中的基本技术。