量子力学中的Wigner-Eisenbud函数

字数 2884 2025-12-11 11:24:30

量子力学中的Wigner-Eisenbud函数

我们来循序渐进地学习量子力学中与散射和共振态密切相关的数学概念——Wigner-Eisenbud函数。

第一步：从量子散射的“内部区域”问题出发

在量子散射理论中，特别是处理核反应等问题时，物理学家常用“R矩阵理论”。这个理论的核心思想是将整个空间划分为两个区域：

内部区域：在某个有限半径 \(r = a\) 的球内，粒子感受到一个复杂的、非微扰的势（如原子核内部的短程强相互作用）。
外部区域：在半径 \(a\) 之外，势是简单的、可精确求解的（如库仑势或零势）。

Wigner-Eisenbud函数正是描述这个“内部区域”量子态的完备正交基函数集。它们不依赖于入射粒子的能量，这是其关键特性。

第二步：定义Wigner-Eisenbud函数

Wigner和Eisenbud提出，内部区域的波函数可以用一组特定的、能量无关的基函数 \(\phi_{\lambda}(\mathbf{r})\) 展开。这组函数由以下边界条件定义的本征值问题确定：

对于一个给定的内部区域（半径为 \(a\) 的球），我们求解定态薛定谔方程：

\[\left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}) - E_{\lambda} \right] \phi_{\lambda}(\mathbf{r}) = 0, \quad \text{对于} \ |\mathbf{r}| < a \]

其中，势能 \(V(\mathbf{r})\) 是内部区域的真实势。关键点在于边界条件。我们要求在边界 \(r=a\) 的球面上，其对数导数（或径向波函数的导数）是一个常数：

\[a \frac{d\phi_{\lambda}}{dr}\bigg|_{r=a} = b \phi_{\lambda}(a) \]

通常，为了方便，选择 \(b = 0\)，即诺伊曼边界条件：在边界上函数的径向导数为零。这被称为齐次边界条件。

求解这个本征值问题，我们得到一组离散的、实数本征值 \(E_{\lambda}\) 和对应的实值本征函数 \(\phi_{\lambda}(\mathbf{r})\)。这组函数 \(\{\phi_{\lambda}\}\) 就是Wigner-Eisenbud函数。它们在内部区域构成一个完备正交归一集：

\[\int_{r < a} \phi_{\lambda}^{*}(\mathbf{r}) \phi_{\lambda‘}(\mathbf{r}) d^3r = \delta_{\lambda \lambda’} \]

第三步：理解其核心数学与物理意义

能量无关性：这是最重要的特性。函数集 \(\{\phi_{\lambda}\}\) 完全由内部势 \(V\) 和选定的边界条件（\(b\) 的值）决定，与散射粒子的入射能量 \(E\) 无关。这就像为“房间”（内部区域）定义了一组固定的“振动模式”，无论外部“声音”（入射粒子）的频率（能量）如何，房间的固有模式是固定的。
完备性：任何定义在内部区域 \(r < a\) 的波函数 \(\psi(\mathbf{r})\)（满足薛定谔方程）都可以用这组基展开：

\[ \psi(\mathbf{r}) = \sum_{\lambda} c_{\lambda} \phi_{\lambda}(\mathbf{r}), \quad r < a \]

展开系数 \(c_{\lambda}\) 才与能量 \(E\) 相关。

物理诠释：Wigner-Eisenbud函数可以理解为“被禁锢”在内部区域的共振态或准束缚态的波函数。齐次边界条件（如 \(b=0\)）模拟了一种“硬墙反射”，使得这些态是纯实数本征值的驻波，不涉及向外的能流。它们是系统在不考虑与外部世界耦合时的“本征模式”。

第四步：与R矩阵和散射矩阵（S矩阵）的联系

Wigner-Eisenbud函数是计算R矩阵的基石。R矩阵在边界 \(r=a\) 上定义为：

\[R_{cc‘}(E) = \sum_{\lambda} \frac{\gamma_{\lambda c} \gamma_{\lambda c’}}{E_{\lambda} - E} \]

其中：

\(c, c‘\) 代表不同的反应道（如不同的角动量、自旋组合）。
\(E_{\lambda}\) 和 \(\phi_{\lambda}\) 是Wigner-Eisenbud函数的本征值和本征函数。
\(\gamma_{\lambda c}\) 称为约化宽度振幅，其平方是约化宽度。它定量地描述了Wigner-Eisenbud函数 \(\phi_{\lambda}\) 与第 \(c\) 个反应道在边界 \(r=a\) 处的耦合强度：

\[ \gamma_{\lambda c} = \sqrt{\frac{\hbar^2}{2m a}} \int d\Omega\ \phi_{\lambda}(a, \theta, \phi) Y_{c}^{*}(\theta, \phi) \]

（这里 \(Y_c\) 是相应反应道的角向部分）。

R矩阵就像一个广义的“阻抗”，它完全由能量无关的Wigner-Eisenbud参数集 \(\{E_{\lambda}, \gamma_{\lambda c}\}\) 所决定。一旦知道了R矩阵，就可以通过匹配边界 \(r=a\) 处的内部波函数和外部已知的散射波函数，推导出整个系统的散射矩阵（S矩阵），从而得到散射截面、共振位置和宽度等所有可观测信息。

第五步：总结与重要性

数学角色：Wigner-Eisenbud函数是一组在有限域上、由齐次边界条件定义的薛定谔算子的完备正交本征函数集。它们将复杂的内部相互作用“对角化”，为内部波函数提供了一个与能量无关的、方便的展开基。
物理角色：它们是连接封闭系统（束缚态/共振模式）的离散谱与开放系统（散射态）的连续谱的桥梁。通过它们定义的R矩阵，可以将内部复杂的多体相互作用信息（包含在 \(E_{\lambda}, \gamma_{\lambda c}\) 中）参数化，并系统地、精确地计算散射观测量。
应用领域：该方法在核物理（低能核反应、中子共振）、原子物理（电子-原子碰撞）、介观物理（量子点中的电子输运）等领域是分析和计算共振现象的标准工具。它将一个依赖于连续能量 \(E\) 的散射问题，转化为一个由离散参数集 \(\{E_{\lambda}, \gamma_{\lambda c}\}\) 描述的代数问题，极大地简化了计算和分析。

量子力学中的Wigner-Eisenbud函数我们来循序渐进地学习量子力学中与散射和共振态密切相关的数学概念——Wigner-Eisenbud函数。第一步：从量子散射的“内部区域”问题出发在量子散射理论中，特别是处理核反应等问题时，物理学家常用“R矩阵理论”。这个理论的核心思想是将整个空间划分为两个区域：内部区域：在某个有限半径 \( r = a \) 的球内，粒子感受到一个复杂的、非微扰的势（如原子核内部的短程强相互作用）。外部区域：在半径 \( a \) 之外，势是简单的、可精确求解的（如库仑势或零势）。 Wigner-Eisenbud函数正是描述这个“内部区域”量子态的完备正交基函数集。它们不依赖于入射粒子的能量，这是其关键特性。第二步：定义Wigner-Eisenbud函数 Wigner和Eisenbud提出，内部区域的波函数可以用一组特定的、能量无关的基函数 \(\phi_ {\lambda}(\mathbf{r})\) 展开。这组函数由以下边界条件定义的本征值问题确定：对于一个给定的内部区域（半径为 \( a \) 的球），我们求解定态薛定谔方程： \[ \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}) - E_ {\lambda} \right] \phi_ {\lambda}(\mathbf{r}) = 0, \quad \text{对于} \ |\mathbf{r}| < a \] 其中，势能 \( V(\mathbf{r}) \) 是内部区域的真实势。关键点在于边界条件。我们要求在边界 \( r=a \) 的球面上，其对数导数（或径向波函数的导数）是一个常数： \[ a \frac{d\phi_ {\lambda}}{dr}\bigg| {r=a} = b \phi {\lambda}(a) \] 通常，为了方便，选择 \( b = 0 \)，即诺伊曼边界条件：在边界上函数的径向导数为零。这被称为齐次边界条件。求解这个本征值问题，我们得到一组离散的、实数本征值 \( E_ {\lambda} \) 和对应的实值本征函数 \( \phi_ {\lambda}(\mathbf{r}) \)。这组函数 \(\{\phi_ {\lambda}\}\) 就是 Wigner-Eisenbud函数。它们在内部区域构成一个完备正交归一集： \[ \int_ {r < a} \phi_ {\lambda}^{* }(\mathbf{r}) \phi_ {\lambda‘}(\mathbf{r}) d^3r = \delta_ {\lambda \lambda’} \] 第三步：理解其核心数学与物理意义能量无关性：这是最重要的特性。函数集 \(\{\phi_ {\lambda}\}\) 完全由内部势 \( V \) 和选定的边界条件（\( b \) 的值）决定，与散射粒子的入射能量 \( E \) 无关。这就像为“房间”（内部区域）定义了一组固定的“振动模式”，无论外部“声音”（入射粒子）的频率（能量）如何，房间的固有模式是固定的。完备性：任何定义在内部区域 \( r < a \) 的波函数 \( \psi(\mathbf{r}) \)（满足薛定谔方程）都可以用这组基展开： \[ \psi(\mathbf{r}) = \sum_ {\lambda} c_ {\lambda} \phi_ {\lambda}(\mathbf{r}), \quad r < a \] 展开系数 \( c_ {\lambda} \) 才与能量 \( E \) 相关。物理诠释：Wigner-Eisenbud函数可以理解为“被禁锢”在内部区域的共振态或准束缚态的波函数。齐次边界条件（如 \( b=0 \)）模拟了一种“硬墙反射”，使得这些态是纯实数本征值的驻波，不涉及向外的能流。它们是系统在不考虑与外部世界耦合时的“本征模式”。第四步：与R矩阵和散射矩阵（S矩阵）的联系 Wigner-Eisenbud函数是计算R矩阵的基石。R矩阵在边界 \( r=a \) 上定义为： \[ R_ {cc‘}(E) = \sum_ {\lambda} \frac{\gamma_ {\lambda c} \gamma_ {\lambda c’}}{E_ {\lambda} - E} \] 其中： \( c, c‘ \) 代表不同的反应道（如不同的角动量、自旋组合）。 \( E_ {\lambda} \) 和 \( \phi_ {\lambda} \) 是Wigner-Eisenbud函数的本征值和本征函数。 \( \gamma_ {\lambda c} \) 称为约化宽度振幅，其平方是约化宽度。它定量地描述了Wigner-Eisenbud函数 \( \phi_ {\lambda} \) 与第 \( c \) 个反应道在边界 \( r=a \) 处的耦合强度： \[ \gamma_ {\lambda c} = \sqrt{\frac{\hbar^2}{2m a}} \int d\Omega\ \phi_ {\lambda}(a, \theta, \phi) Y_ {c}^{* }(\theta, \phi) \] （这里 \( Y_ c \) 是相应反应道的角向部分）。 R矩阵就像一个广义的“阻抗” ，它完全由能量无关的Wigner-Eisenbud参数集 \(\{E_ {\lambda}, \gamma_ {\lambda c}\}\) 所决定。一旦知道了R矩阵，就可以通过匹配边界 \( r=a \) 处的内部波函数和外部已知的散射波函数，推导出整个系统的散射矩阵（S矩阵），从而得到散射截面、共振位置和宽度等所有可观测信息。第五步：总结与重要性数学角色：Wigner-Eisenbud函数是一组在有限域上、由齐次边界条件定义的薛定谔算子的完备正交本征函数集。它们将复杂的内部相互作用“对角化”，为内部波函数提供了一个与能量无关的、方便的展开基。物理角色：它们是连接封闭系统（束缚态/共振模式）的离散谱与开放系统（散射态）的连续谱的桥梁。通过它们定义的R矩阵，可以将内部复杂的多体相互作用信息（包含在 \( E_ {\lambda}, \gamma_ {\lambda c} \) 中）参数化，并系统地、精确地计算散射观测量。应用领域：该方法在核物理（低能核反应、中子共振）、原子物理（电子-原子碰撞）、介观物理（量子点中的电子输运）等领域是分析和计算共振现象的标准工具。它将一个依赖于连续能量 \( E \) 的散射问题，转化为一个由离散参数集 \(\{E_ {\lambda}, \gamma_ {\lambda c}\}\) 描述的代数问题，极大地简化了计算和分析。