域论 域是具备两种运算（加法与乘法）的代数结构，满足以下性质： 加法群 ：对加法构成交换群（结合律、单位元0、逆元存在、交换律）。 乘法群（除零外） ：非零元素对乘法构成交换群（单位元1、每个非零元有乘法逆元）。 分配律 ：乘法对加法满足分配律。 第一步：域的基本例子 常见数域：有理数集ℚ、实数集ℝ、复数集ℂ均满足域的定义（加减乘除封闭，且除法分母非零时有效）。 有限域例子：ℤₚ（p为素数）表示模p的剩余类，其非零元存在乘法逆元（由素数性质保证）。 第二步：域的子结构与扩张 子域 ：若域F的子集E对原有运算仍成域，则E是F的子域（如ℚ是ℝ的子域）。 域扩张 ：若E是F的子域，称F是E的扩张域，记作F/E。例如ℂ是ℝ的扩张。 扩张次数 ：将F视为E上的线性空间，其维数记为[ F:E]（如[ ℂ:ℝ ]=2）。 第三步：代数扩张与超越扩张 代数元 ：若域扩张F/E中元素α是E上某个非零多项式的根，则α称为E上的代数元（如√2是ℚ上的代数元，满足x²-2=0）。 超越元 ：若α不是任何E上多项式的根，则称超越元（如圆周率π是ℝ/ℚ中的超越元）。 若F中所有元素均为E上的代数元，则称F/E为代数扩张。 第四步：有限域的结构 有限域的元素个数必为pⁿ（p为素数，n≥1），记作GF(pⁿ)。 例如GF(4)包含4个元素{0,1,α,α+1}，其中α满足α²+α+1=0（在模2运算下）。 任意有限域乘法群是循环群，存在本原元（生成元）。 第五步：应用与推广 伽罗瓦理论 ：通过域扩张的自同构群研究多项式求根公式的存在性。 编码与密码学 ：有限域用于纠错码（如Reed-Solomon码）和椭圆曲线加密。 函数域 ：定义在域上的有理函数集合也可构成域（如ℚ(x)）。 域论通过抽象运算规则统一了数系与结构，成为现代代数的核心工具之一。