泊松过程的随机时间变换
我们来学习泊松过程的随机时间变换。
首先，我们从最基础的概念开始。假设你已经理解了什么是泊松过程。一个强度（或速率）为 λ 的齐次泊松过程 {N(t), t ≥ 0}，其核心性质是：在任意长度为 t 的时间区间内，事件发生的次数 N(t) 服从参数为 λt 的泊松分布，且不相交区间内的事件发生次数相互独立。
现在，我们引入“随机时间变换”的想法。在最简单的确定性的时间变换中，如果我们对时间轴进行一个单调递增的变换，比如令 s = c*t（c > 0 是常数），那么新的过程 M(s) = N(s/c) 就是一个强度为 λ/c 的泊松过程。这很直观，只是改变了时间尺度。
但“随机”的时间变换是什么意思呢？它的核心思想是：我们不再用匀速的“时钟”来观察过程，而是用一个随机的、加速或减速的“时钟”。这个随机时钟本身是一个随机过程。最常见、最重要的一种随机时间变换，是使用一个非负的、非递减的随机过程 Λ(t) 作为“累积强度”或“累积时钟”。
具体来说，我们定义一个累积强度函数 Λ(t)，它通常是一个随机过程，满足 Λ(0)=0，且几乎所有的样本路径都是非递减的。然后，我们构造一个新的计数过程：
\[N^*(t) = N(\Lambda(t)) \]
这里，内层的 N(·) 是一个强度为1的标准泊松过程（通过时间尺度变换，任何齐次泊松过程都可以化为强度1的过程）。这个新过程 N*(t) 就被称为一个随机时间变换的泊松过程，更常见且更广泛的名字是非齐次泊松过程（当Λ(t)是确定性的非递减函数时）或Cox过程（当Λ(t)是一个随机过程时）。
为了让理解更循序渐进，我们分两步走：
第一步：确定性时间变换（非齐次泊松过程）
假设 Λ(t) 是一个确定的、连续可微的、严格递增的函数。令 λ(t) = Λ'(t) ≥ 0 为强度函数。那么，过程 N*(t) = N(Λ(t)) 具有以下性质：
- 在区间 (t1, t2] 内的事件数 N*(t2) - N*(t1) 服从参数为 ∫_{t1}^{t2} λ(s) ds 的泊松分布。
- 不相交区间内的事件数相互独立。
这就是经典的非齐次泊松过程。随机时间变换的思想在这里表现为：我们在物理时间 t 上观察过程，但过程的“内在时钟”走得快慢不一，由强度函数 λ(t) 控制。在 λ(t) 大的时段，事件更密集；在 λ(t) 小的时段，事件更稀疏。变换的关键是，通过函数 Λ(t) 将物理时间 t 映射到一个新的“操作时间” u = Λ(t) 上，在这个新时间尺度下，过程又变成了齐次的（强度为1）。
第二步：随机时间变换（Cox过程，或双重随机泊松过程）
现在，让 Λ(t) 成为一个随机过程。通常，我们假设给定 Λ(t) 的一条样本路径（即知道了整个随机时钟的运行方式），那么 N*(t) = N(Λ(t)) 就是一个强度函数为 λ(t) = Λ‘(t)（如果可微）的非齐次泊松过程。但关键在于，Λ(t) 本身是随机的。
例如，Λ(t) 可以取为 Λ(t) = ∫_{0}^{t} λ(s) ds，其中强度过程 {λ(t), t≥0} 是一个非负的随机过程（如从某个分布中抽样的随机变量，或另一个随机过程，如伽马过程、对数高斯过程等）。这种构造出来的过程 N*(t) 称为 Cox过程 或 双重随机泊松过程。其“双重随机”体现在：
- 第一重随机性：强度过程 λ(t) 是随机的。
- 第二重随机性：在给定了强度过程的整个轨迹后，事件的发生又服从一个（非齐次）泊松过程。
其数学描述为：存在一个随机强度过程 {λ(t)}，使得在给定 {λ(s): 0≤s≤t} 的条件下，计数过程 N*(t) 是一个强度函数为 λ(t) 的非齐次泊松过程。
性质与推论：
由于随机时间变换，Cox过程的性质与标准泊松过程有所不同。一个关键性质是其过度离散性：Cox过程的方差大于均值。
\[\mathbb{E}[N^*(t)] = \mathbb{E}[\Lambda(t)], \quad \text{Var}[N^*(t)] = \mathbb{E}[\Lambda(t)] + \text{Var}[\Lambda(t)] \]
方差表达式中多出了一项 Var[Λ(t)]，这反映了强度随机性带来的额外波动。而标准泊松过程的方差等于均值。
应用与意义：
随机时间变换的泊松过程（Cox过程）是极其强大的建模工具，因为它能刻画事件发生率本身具有随机动态变化的情景。例如：
- 保险与风险：保单的索赔过程，其强度可能受随机经济环境、天气变化影响。
- 电信网络：数据包到达率可能随时间随机波动。
- 神经科学：神经元脉冲发放的速率可能受随机输入调制。
- 空间统计学：用于建模空间点模式，其中空间强度是随机的。
理解这个过程的关键，在于清晰区分“操作时间”（或“内在时间”）Λ(t) 和“物理时间” t。随机时间变换的思想将复杂的依赖结构（通过 Λ(t) 的随机性来建模）与简单的泊松点过程（在操作时间尺度上）分离开来，极大地简化了模型的构建和分析。这体现了概率论中一个深刻的思路：通过恰当的变换，将复杂问题转化为熟悉的问题。