随机微分方程

1. 基础概念：从常微分方程到随机微分方程

   • 常微分方程（ODE）描述确定性系统的演化，例如 dy/dt = 2y 表示变量 y 随时间 t 呈指数增长。
   • 在金融中，资产价格受随机因素（如市场波动）影响，需引入随机项。随机微分方程（SDE）的形式为：
     dXₜ = μ(t, Xₜ)dt + σ(t, Xₜ)dWₜ
     其中：
     • Xₜ 是随机过程（如股票价格）；
     • μ(t, Xₜ) 是漂移项，表示确定性趋势（如平均收益率）；
     • σ(t, Xₜ) 是扩散项，表示随机波动强度；
     • dWₜ 是维纳过程（布朗运动）的增量，模拟随机扰动。

2. 核心组件：维纳过程与伊藤积分

   • 维纳过程（布朗运动） 的性质：
     • 初始值 W₀ = 0；
     • 增量 ΔWₜ = W_{t+Δt} - Wₜ 服从正态分布 N(0, Δt)；
     • 增量相互独立（如不同时间的波动无关）。
   • 伊藤积分 定义了随机项的积分规则：
     ∫₀ᵗ σ(s, Xₛ)dWₛ 是一个随机变量，其计算需考虑 dWₜ 的无限变差特性。伊藤引理（后续展开）是求解 SDE 的关键工具。

3. 伊藤引理：随机微积分的链式法则

   • 对于函数 F(t, Xₜ)，若 Xₜ 满足 SDE dXₜ = μdt + σdWₜ，则伊藤引理给出：
     dF = (∂F/∂t + μ∂F/∂x + ½σ²∂F/∂x²)dt + σ∂F/∂x dWₜ
     与经典微积分的区别在于多出 ½σ²∂²F/∂x² 项，源于 dWₜ 的二次变差非零。
   • 示例：在布莱克-舒尔斯模型中，伊藤引理用于推导期权价格的偏微分方程。

4. 金融应用：几何布朗运动与均值回归过程

   • 几何布朗运动（GBM）：
     股价 Sₜ 的 SDE 为 dSₜ = μSₜdt + σSₜdWₜ，其解为 Sₜ = S₀exp((μ - ½σ²)t + σWₜ)，符合对数正态分布。
   • 均值回归过程（如Vasicek模型）：
     利率模型 drₜ = a(b - rₜ)dt + σdWₜ，其中 b 是长期均值，a 控制回归速度，模拟利率围绕均值波动。

5. 数值方法：欧拉-丸山离散化

   • 多数 SDE 无解析解，需数值逼近。欧拉-丸山格式将连续 SDE 离散为：
     X_{t+Δt} = Xₜ + μ(t, Xₜ)Δt + σ(t, Xₜ)ΔWₜ，
     其中 ΔWₜ ∼ √Δt N(0,1)。该方法用于蒙特卡洛模拟定价复杂衍生品。

6. 扩展：随机波动率模型

   • 为改进常数波动率的局限（如波动率微笑），引入随机波动率 SDE：
     • dSₜ = μSₜdt + √vₜ SₜdWₜ¹（价格过程）
     • dvₜ = κ(θ - vₜ)dt + ξ√vₜdWₜ²（波动率过程，如Heston模型）
       其中 Wₜ¹ 与 Wₜ² 可能相关，更贴合市场实证。