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量子力学中的Bose-Einstein凝聚的数学描述
第一步：从物理现象到模型的建立
Bose-Einstein凝聚（BEC）是一种发生在玻色子气体中的宏观量子现象。当一团玻色子气体的温度降低到某个临界温度以下时，有宏观数量（即占总粒子数有限比例）的粒子会“凝聚”到系统的单粒子基态上，导致该量子态被宏观占据。从数学建模的角度，我们首先需要一个框架来描述这个由大量全同玻色子组成的系统。最自然的起点是二次量子化的Fock空间表述，特别是对称子空间（玻色子Fock空间）。系统的哈密顿量通常写作：
\[\hat{H} = \int d^3x \, \hat{\Psi}^\dagger(\mathbf{x}) \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V_{\text{ext}}(\mathbf{x}) \right) \hat{\Psi}(\mathbf{x}) + \frac{1}{2} \int d^3x \, d^3x' \, \hat{\Psi}^\dagger(\mathbf{x})\hat{\Psi}^\dagger(\mathbf{x}') U(\mathbf{x}-\mathbf{x}') \hat{\Psi}(\mathbf{x}')\hat{\Psi}(\mathbf{x}) \]
其中 \(\hat{\Psi}(\mathbf{x})\) 和 \(\hat{\Psi}^\dagger(\mathbf{x})\) 是满足玻色对易关系 \([\hat{\Psi}(\mathbf{x}), \hat{\Psi}^\dagger(\mathbf{x}')] = \delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}')\) 的场算符，\(V_{\text{ext}}\) 是外势（如磁阱），\(U\) 是两粒子相互作用势。
第二步：凝聚的序参量与对称性破缺
BEC的核心特征是U(1)规范对称性的自发破缺。在热力学极限下，当系统发生BEC时，场算符的期望值（在某一“破缺”的态下）不再为零：\(\langle \hat{\Psi}(\mathbf{x}) \rangle = \psi(\mathbf{x}) \neq 0\)。这个复数函数 \(\psi(\mathbf{x})\) 就是宏观波函数或序参量，它扮演了类似于经典波函数的角色，但其模方 \(|\psi(\mathbf{x})|^2\) 给出的是凝聚体在空间中的粒子数密度分布。这一非零期望值打破了哈密顿量所具有的全局相位不变性（\(\hat{\Psi} \rightarrow e^{i\theta}\hat{\Psi}\)），标志着系统进入了一个有序相。
第三步：平均场近似与Gross-Pitaevskii方程
为了获得序参量 \(\psi(\mathbf{x})\) 的具体方程，最常用的方法是平均场近似（或玻戈留波夫近似）。其基本思想是：由于基态被宏观占据，我们可以将场算符分解为凝聚部分（c数，即序参量）和非凝聚部分（涨落算符）：
\[\hat{\Psi}(\mathbf{x}) = \psi(\mathbf{x}) + \hat{\phi}(\mathbf{x}) \]
其中 \(\psi(\mathbf{x}) = \langle \hat{\Psi}(\mathbf{x}) \rangle\)，而 \(\hat{\phi}(\mathbf{x})\) 描述的是非凝聚粒子的涨落。在最低阶近似下，我们忽略涨落算符 \(\hat{\phi}(\mathbf{x})\) 的影响。假设粒子间相互作用是短程的，可以用接触势 \(U(\mathbf{x}-\mathbf{x}') = g \delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}')\) 来近似，其中 \(g = 4\pi\hbar^2 a_s/m\)，\(a_s\) 是s波散射长度。将分解代入海森堡运动方程，并取平均，忽略涨落的关联，我们得到序参量 \(\psi\) 所满足的Gross-Pitaevskii方程：
\[i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\mathbf{x}, t) = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V_{\text{ext}}(\mathbf{x}) + g |\psi(\mathbf{x}, t)|^2 \right] \psi(\mathbf{x}, t) \]
这是一个非线性薛定谔方程，非线性项 \(g|\psi|^2\psi\) 来源于平均场相互作用。静态凝聚体的波函数由定态方程 \(\mu \psi(\mathbf{x}) = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V_{\text{ext}}(\mathbf{x}) + g |\psi(\mathbf{x})|^2 \right] \psi(\mathbf{x})\) 给出，其中 \(\mu\) 是化学势。
第四步：涨落理论与准粒子谱（玻戈留波夫理论）
平均场近似描述了凝聚体的主体行为。要理解其动力学稳定性、激发谱和热力学性质，必须考虑涨落 \(\hat{\phi}(\mathbf{x})\)。这就是玻戈留波夫理论。我们将分解式 \(\hat{\Psi} = \psi + \hat{\phi}\) 代入哈密顿量，并保留到涨落算符的二次项（线性项在GP方程解下为零）。经过一番代数运算，哈密顿量可以化为对角形式：
\[\hat{H} \approx E_{\text{GP}} + \sum_i \hbar\omega_i \hat{b}_i^\dagger \hat{b}_i \]
其中 \(E_{\text{GP}}\) 是Gross-Pitaevskii能量，\(\hat{b}_i^\dagger\) 和 \(\hat{b}_i\) 是新的玻色子产生湮灭算符，满足 \([\hat{b}_i， \hat{b}_j^\dagger] = \delta_{ij}\)。系数 \(\omega_i\) 就是系统的准粒子激发能量谱。它们是通过求解玻戈留波夫-de Gennes方程（与BdG方程同源）得到的：
\[\begin{pmatrix} \mathcal{L} & -g \psi^2 \\ g (\psi^*)^2 & -\mathcal{L}^* \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_i(\mathbf{x}) \\ v_i(\mathbf{x}) \end{pmatrix} = \hbar\omega_i \begin{pmatrix} u_i(\mathbf{x}) \\ v_i(\mathbf{x}) \end{pmatrix} \]
其中 \(\mathcal{L} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V_{\text{ext}} + 2g|\psi|^2 - \mu\)。函数 \(u_i, v_i\) 描述了准粒子激发的模式。这个本征值问题保证了系统的动力学稳定性（所有 \(\omega_i\) 为实数）并给出了声子谱等关键特征。
第五步：超越平均场：量子涨落与耗尽
玻戈留波夫理论虽然是微扰性的，但它提供了一个估算凝聚体耗尽（即不在基态的粒子比例）的框架。非凝聚部分的粒子数算符为 \(\hat{N}_{\text{ex}} = \int d^3x \, \hat{\phi}^\dagger(\mathbf{x})\hat{\phi}(\mathbf{x})\)。在玻戈留波夫基下，它的期望值为：
\[\langle \hat{N}_{\text{ex}} \rangle = \sum_i \int d^3x \, |v_i(\mathbf{x})|^2 \]
这表明，即使在绝对零度，由于相互作用，也不是所有粒子都在凝聚态 \(\psi\) 中。\(v_i\) 函数的存在体现了相互作用导致的量子关联。对于均匀气体，可以解析得到著名的耗尽公式：\(N_{\text{ex}}/N \propto (na_s^3)^{1/2}\)，其中 \(n\) 是密度。
第六步：数学结构与推广
从数学角度看，BEC的研究涉及到：
- 非线性偏微分方程：Gross-Pitaevskii方程的存在性、唯一性、稳定性分析和数值求解。
- 线性算子的谱理论：玻戈留波夫-de Gennes方程是一个非自伴的线性本征值问题，其谱性质（特别是零模和基态）的分析至关重要。
- 泛函分析：在适当的函数空间（如Sobolev空间）中讨论解的性质。
- 无穷维动力学系统：将GP方程视为一个无穷维哈密顿系统或梯度流进行研究。
- 量子场论方法：使用路径积分和有效作用量（如Popov近似、2PI有效作用量）对BEC进行非微扰描述，处理强相互作用和临界现象。
这个理论框架不仅描述了超冷原子气体中的BEC，也是理解超流性、超导性（对于带电玻色子或库珀对）等宏观量子现象的基础数学模型。