二次型的Hasse不变量（Hasse invariant of a quadratic form）
字数 3007 2025-12-11 06:46:28

二次型的Hasse不变量（Hasse invariant of a quadratic form）

我们先从二次型的局部理论背景开始。对于一个定义在某个域上的二次型，其“不变量”用于分类和区分不同的二次型。Hasse不变量是其中一个精细的局部不变量，它依赖于域上二次型的局部性质。

1. 二次型的经典不变量回顾

设 \(Q(x_1,\dots,x_n)\) 是域 \(F\)（特征不为 2）上的非退化二次型。可将其写成对称矩阵 \(A\)，行列式 \(d(Q) \in F^\times / (F^\times)^2\) 称为判别式（或行列式类），是第一个基本不变量。在实数域上，符号 \((r,s)\)（正负惯性指数）是另一个不变量；在 \(p\)-进域或数域上，需要更精细的不变量。

2. 局部域上的二次型与Hilbert符号

设 \(F\) 是局部域（例如 \(\mathbb{R}\)、\(\mathbb{C}\) 或有限扩展 \(\mathbb{Q}_p\)），对于 \(a,b \in F^\times\)，定义 Hilbert符号

\[(a,b)_F = \begin{cases} +1 & \text{如果方程 } ax^2 + by^2 = 1 \text{ 在 } F \text{ 中有解},\\ -1 & \text{否则}. \end{cases} \]

它的性质：

  • \((a,b)_F = (b,a)_F\)，
  • \((a,-a)_F = 1\)，
  • 若 \(F=\mathbb{R}\)，\((a,b)_\mathbb{R} = -1\) 当且仅当 \(a<0\) 且 \(b<0\)。
  • 若 \(F=\mathbb{C}\)，总是 \(+1\)。
  • 若 \(F=\mathbb{Q}_p\)，可通过公式用 Legendre 符号和 p-adic 估值计算。

3. Hasse不变量的定义

给定 \(F\) 上二次型 \(Q\) 的对角化形式

\[Q \cong a_1 x_1^2 + \dots + a_n x_n^2, \quad a_i \in F^\times. \]

定义 Hasse不变量（有时称 Hasse-Witt 不变量）为

\[s_F(Q) = \prod_{i < j} (a_i, a_j)_F \quad \in \{ \pm 1 \}. \]

这里乘积按顺序 \(1 \le i < j \le n\) 进行。由于 Hilbert 符号的双线性性质（在 Brauer 群意义下），对角化顺序改变不影响乘积，且在同构变换下不变量不变，因此 \(s_F(Q)\) 是良定义的。

对于非对角化的情况，可通过二次型的 Clifford 代数来定义，但在特征非 2 时与上述对角化定义一致。

4. 例子：实数域和复数域的情况

  • \(F = \mathbb{C}\)：所有 Hilbert 符号为 \(+1\)，因此 \(s_{\mathbb{C}}(Q) = +1\) 恒成立。
  • \(F = \mathbb{R}\)：符号为 \((r,s)\)，对角化可取 \(a_1,\dots,a_r > 0\)，\(a_{r+1},\dots,a_n < 0\)。计算 \((a_i,a_j)_\mathbb{R}\)：
    • 若 \(a_i, a_j\) 同号，\((a_i,a_j)_\mathbb{R}=+1\)；
    • 若异号，则为 \(-1\)。
      因此异号对数目为 \(r \cdot s\)，于是

\[ s_{\mathbb{R}}(Q) = (-1)^{r \cdot s}. \]

可见当 \(r,s\) 均为奇数时，\(s_{\mathbb{R}} = -1\)，否则为 \(+1\)。

5. p-adic域的情况

对 \(F = \mathbb{Q}_p\)，Hilbert 符号 \((a,b)_p\) 可显式计算。常用公式（对 \(p\) 奇素数）：
设 \( a = p^{\alpha} u\)，\( b = p^{\beta} v\)，\(u,v \in \mathbb{Z}_p^\times\)，则

\[(a,b)_p = (-1)^{\alpha \beta \frac{p-1}{2}} \left( \frac{u}{p} \right)^\beta \left( \frac{v}{p} \right)^\alpha \cdot \text{（Legendre符号）} \]

还需考虑 \(p=2\) 的特殊公式。由此可计算任何对角二次型的 Hasse 不变量。

关键事实（局部分类定理）：在局部域 \(F\)（特征非 2）上，非退化二次型由以下三样完全分类：

  • 维数 \(n\)，
  • 判别式 \(d(Q) \in F^\times/(F^\times)^2\)，
  • Hasse 不变量 \(s_F(Q) \in \{\pm 1\}\)。

6. 整体域（数域）上的Hasse不变量与Hasse-Minkowski定理

设 \(F\) 是数域（如 \(\mathbb{Q}\)），\(Q\) 是 \(F\) 上二次型。对每个位 \(v\)（包括实位和素理想位），在完备化 \(F_v\) 上可得 \(s_{F_v}(Q_v)\)。整体 Hasse 不变量定义为所有局部 Hasse 不变量的集合 \(\{s_{F_v}(Q_v)\}_v\)。

Hasse-Minkowski 定理说：\(Q\) 在 \(F\) 上表示 0（即 \(Q(x)=0\) 有非平凡解）当且仅当在每个 \(F_v\) 上表示 0。这等价于：若对所有 \(v\) 有 \(s_{F_v}(Q_v)\) 与另一二次型 \(Q'\) 的相同，则 \(Q\) 与 \(Q'\) 在 \(F\) 上等价。换言之，二次型的整体等价类由所有局部不变量决定，并且这些局部不变量满足一定的乘积公式（来自 Hilbert 符号的乘积公式 \(\prod_v (a,b)_{F_v} = 1\)），因此它们不是独立的。

7. Hasse不变量与自守形式的关系

在自守形式的理论中，Hasse 不变量对应着二次型对应的自守表示的局部 epsilon 因子的符号信息。具体来说，二次型的 Hasse 不变量可以表达为局部 Weil 指数的特殊值，这为二次型的 L-函数函数方程中的常数因子提供了局部数据。在朗兰兹纲领的框架下，Hasse 不变量可视为正交群表示的局部根数（root number）在二维表示下的具体实现。

8. 总结

Hasse 不变量是二次型在局部域上的精细不变量，依赖于 Hilbert 符号。它在局部分类、整体上的 Hasse 原理、以及 L-函数的局部因子计算中都有重要应用，是连接二次型算术与自守表示局部理论的一个基本桥梁。

二次型的Hasse不变量（Hasse invariant of a quadratic form） 我们先从二次型的局部理论背景开始。对于一个定义在某个域上的二次型，其“不变量”用于分类和区分不同的二次型。Hasse不变量是其中一个精细的局部不变量，它依赖于域上二次型的局部性质。 1. 二次型的经典不变量回顾 设 \( Q(x_ 1,\dots,x_ n) \) 是域 \( F \)（特征不为 2）上的非退化二次型。可将其写成对称矩阵 \( A \)，行列式 \( d(Q) \in F^\times / (F^\times)^2 \) 称为 判别式 （或行列式类），是第一个基本不变量。在实数域上，符号 \((r,s)\)（正负惯性指数）是另一个不变量；在 \( p \)-进域或数域上，需要更精细的不变量。 2. 局部域上的二次型与Hilbert符号 设 \( F \) 是局部域（例如 \( \mathbb{R} \)、\( \mathbb{C} \) 或有限扩展 \( \mathbb{Q}_ p \)），对于 \( a,b \in F^\times \)，定义 Hilbert符号 \[ (a,b)_ F = \begin{cases} +1 & \text{如果方程 } ax^2 + by^2 = 1 \text{ 在 } F \text{ 中有解},\\ -1 & \text{否则}. \end{cases} \] 它的性质： \((a,b)_ F = (b,a)_ F\)， \((a,-a)_ F = 1\)， 若 \( F=\mathbb{R} \)，\((a,b)_ \mathbb{R} = -1\) 当且仅当 \( a<0 \) 且 \( b <0 \)。 若 \( F=\mathbb{C} \)，总是 \( +1 \)。 若 \( F=\mathbb{Q}_ p \)，可通过公式用 Legendre 符号和 p-adic 估值计算。 3. Hasse不变量的定义 给定 \( F \) 上二次型 \( Q \) 的对角化形式 \[ Q \cong a_ 1 x_ 1^2 + \dots + a_ n x_ n^2, \quad a_ i \in F^\times. \] 定义 Hasse不变量 （有时称 Hasse-Witt 不变量）为 \[ s_ F(Q) = \prod_ {i < j} (a_ i, a_ j)_ F \quad \in \{ \pm 1 \}. \] 这里乘积按顺序 \( 1 \le i < j \le n \) 进行。由于 Hilbert 符号的双线性性质（在 Brauer 群意义下），对角化顺序改变不影响乘积，且在同构变换下不变量不变，因此 \( s_ F(Q) \) 是良定义的。 对于非对角化的情况，可通过二次型的 Clifford 代数来定义，但在特征非 2 时与上述对角化定义一致。 4. 例子：实数域和复数域的情况 \( F = \mathbb{C} \)：所有 Hilbert 符号为 \( +1 \)，因此 \( s_ {\mathbb{C}}(Q) = +1 \) 恒成立。 \( F = \mathbb{R} \)：符号为 \((r,s)\)，对角化可取 \( a_ 1,\dots,a_ r > 0 \)，\( a_ {r+1},\dots,a_ n < 0 \)。计算 \((a_ i,a_ j)_ \mathbb{R}\)： 若 \( a_ i, a_ j \) 同号，\((a_ i,a_ j)_ \mathbb{R}=+1\)； 若异号，则为 \(-1\)。 因此异号对数目为 \( r \cdot s \)，于是 \[ s_ {\mathbb{R}}(Q) = (-1)^{r \cdot s}. \] 可见当 \( r,s \) 均为奇数时，\( s_ {\mathbb{R}} = -1 \)，否则为 \( +1 \)。 5. p-adic域的情况 对 \( F = \mathbb{Q}_ p \)，Hilbert 符号 \((a,b)_ p\) 可显式计算。常用公式（对 \( p \) 奇素数）： 设 \( a = p^{\alpha} u\)，\( b = p^{\beta} v\)，\( u,v \in \mathbb{Z}_ p^\times \)，则 \[ (a,b)_ p = (-1)^{\alpha \beta \frac{p-1}{2}} \left( \frac{u}{p} \right)^\beta \left( \frac{v}{p} \right)^\alpha \cdot \text{（Legendre符号）} \] 还需考虑 \( p=2 \) 的特殊公式。由此可计算任何对角二次型的 Hasse 不变量。 关键事实 （局部分类定理）：在局部域 \( F \)（特征非 2）上，非退化二次型由以下三样完全分类： 维数 \( n \)， 判别式 \( d(Q) \in F^\times/(F^\times)^2 \)， Hasse 不变量 \( s_ F(Q) \in \{\pm 1\} \)。 6. 整体域（数域）上的Hasse不变量与Hasse-Minkowski定理 设 \( F \) 是数域（如 \( \mathbb{Q} \)），\( Q \) 是 \( F \) 上二次型。对每个位 \( v \)（包括实位和素理想位），在完备化 \( F_ v \) 上可得 \( s_ {F_ v}(Q_ v) \)。整体 Hasse 不变量定义为所有局部 Hasse 不变量的集合 \(\{s_ {F_ v}(Q_ v)\}_ v\)。 Hasse-Minkowski 定理说：\( Q \) 在 \( F \) 上表示 0（即 \( Q(x)=0 \) 有非平凡解）当且仅当在每个 \( F_ v \) 上表示 0。这等价于：若对所有 \( v \) 有 \( s_ {F_ v}(Q_ v) \) 与另一二次型 \( Q' \) 的相同，则 \( Q \) 与 \( Q' \) 在 \( F \) 上等价。换言之，二次型的整体等价类由所有局部不变量决定，并且这些局部不变量满足一定的乘积公式（来自 Hilbert 符号的乘积公式 \(\prod_ v (a,b)_ {F_ v} = 1\)），因此它们不是独立的。 7. Hasse不变量与自守形式的关系 在自守形式的理论中，Hasse 不变量对应着二次型对应的自守表示的局部 epsilon 因子的符号信息。具体来说，二次型的 Hasse 不变量可以表达为局部 Weil 指数的特殊值，这为二次型的 L-函数函数方程中的常数因子提供了局部数据。在朗兰兹纲领的框架下，Hasse 不变量可视为正交群表示的局部根数（root number）在二维表示下的具体实现。 8. 总结 Hasse 不变量是二次型在局部域上的精细不变量，依赖于 Hilbert 符号。它在局部分类、整体上的 Hasse 原理、以及 L-函数的局部因子计算中都有重要应用，是连接二次型算术与自守表示局部理论的一个基本桥梁。