康托尔三分集（Cantor Ternary Set） 我将从最直观的几何构造开始，逐步深入其测度、拓扑、以及更抽象的性质。 第一步：几何构造与基本定义 康托尔三分集（通常简称“康托尔集”）是一个通过不断“挖掉”线段中间部分而构造出来的点集。我们从一个闭区间开始，最标准的是从单位区间 [0, 1] 出发。 构造过程： 初始阶段（第0步）： 令 C₀ = [0, 1] 。 第一步： 将 [0, 1] 三等分，去掉中间的开区间 (1/3, 2/3) 。剩下的是两个闭区间： [0, 1/3] 和 [2/3, 1] 。令 C₁ = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1] 。 第二步： 将 C₁ 中的每个闭区间各自三等分，并去掉各自中间的开区间 (1/9, 2/9) 和 (7/9, 8/9) 。剩下四个闭区间。令 C₂ = [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1] 。 递归进行： 在每一步 n ， Cₙ 由 2ⁿ 个长度均为 (1/3)^n 的闭区间组成。从 Cₙ 到 Cₙ₊₁ ，我们去掉每个小闭区间中间的三分之一开区间。 最终定义： 康托尔集 C 是所有构造阶段剩下的点的交集： C = ∩_{n=0}^{∞} Cₙ 。 这意味着一个点 x 属于康托尔集 C ，当且仅当在每一步的剔除过程中，它都 没有被去掉 ，即它属于所有的 Cₙ 。 第二步：一个等价的算术刻画（三进制展开） 这是理解康托尔集本质的关键一步。我们知道区间 [0, 1] 中的实数可以写成三进制小数： x = 0.a₁a₂a₃... （以3为底），其中每个数字 aᵢ ∈ {0, 1, 2} 。 回顾构造过程： 第一步去掉的区间 (1/3, 2/3) 中的点，其第一位三进制数字 a₁ 必须是 1 ，并且不是 0.1000... 或 0.1222... 这样的端点（端点有双重表示）。 更精确地说，在第一步被去掉的点，其 标准三进制表示 （即不包含无穷连续的 2 ）中， a₁ = 1 。 第二步，在剩下的每个小区间里，我们去掉中间三分之一。例如在 [0, 1/3] 中，去掉 (1/9, 2/9) 。这些点的前两位三进制是 0.01... （即 1/9 = 0.00111...₃ 和 2/9 = 0.00222...₃ 之间， 0.01 中的 1 是第二位数字）。类似地，在 [2/3, 1] 中去掉的是第二位为 1 的点。 归纳结论： 一个点 x ∈ [0, 1] 属于康托尔集 C ， 当且仅当 它可以表示为只包含数字 0 和 2 的三进制展开式（即每个 aᵢ ∈ {0, 2} ）。 例如： 0 = 0.000...₃ ， 1 = 0.222...₃ ， 1/3 = 0.0222...₃ ， 2/3 = 0.2000...₃ 。注意这些端点都有等价的、只含0和2的表示。 这个刻画非常重要，因为它将几何构造转化为了一个清晰的算术性质。 第三步：拓扑性质 康托尔集具有一系列深刻且看似矛盾的拓扑性质： 闭集： 因为每一步的 Cₙ 都是有限个闭区间的并集，从而是闭集。任意多个闭集的交集仍是闭集，所以 C 是闭集。 无处稠密集： 这意味着 C 的内部是空的。直观上，无论你取 C 中哪个点，任何包含该点的开区间都不可能完全在 C 中，因为构造过程不断挖洞，使得 C 的点之间没有“连续的线段”。严格证明：对任何开区间 (a, b) ，由于 C 不包含任何长度大于0的区间， (a, b) 不可能被包含在 C 中，所以 C 的内部为空。 完全集： 康托尔集是 完备 的，即它没有孤立点。 C 中任意一点 x 都是 C 中其他点的极限点。证明思路：给定 x ∈ C 及其三进制展开 0.a₁a₂... （只含0和2），我们可以构造一个序列：例如，将第 n 位数字 aₙ 从0变为2或从2变为0，得到一个新的、只含0和2的三进制数，它属于 C 且无限逼近 x 。 紧致集： 作为 [0,1] 的闭子集，且 [0,1] 是紧致的，所以 C 也是紧致的。 完全不连通集： C 中任意两个不同点 x 和 y ，总可以被分成两个不相交的闭子集，分别包含 x 和 y 。这是因为在某个构造步骤 n ， x 和 y 会落在 Cₙ 中两个不同的小闭区间里，这两个小闭区间在 C 中的部分就是分离的。 第四步：测度性质（勒贝格测度） 这是康托尔集最著名的特性之一：它是一个“很大”的集合（有无穷多个点，甚至是不可数无穷），但在勒贝格测度意义下却“很小”。 计算测度：在第 n 步，集合 Cₙ 由 2ⁿ 个长度各为 (1/3)^n 的区间组成，所以其总长度为 (2/3)^n 。 因为 C ⊆ Cₙ 对所有 n 成立，所以 C 的勒贝格测度 m(C) ≤ (2/3)^n 对所有 n 成立。令 n → ∞ ，得到 m(C) = 0 。 结论：康托尔集是勒贝格零测集。 这是一个 无处稠密、完全、紧致、但测度为零 的经典例子。它常被用来构造各种反例。 第五步：基数（大小）与拓扑同构 不可数性： 利用三进制展开，我们可以建立一个从康托尔集 C 到整个区间 [0,1] 的单射。方法：对于 x ∈ C ，其展开式为 0.a₁a₂a₃... （ aᵢ ∈ {0, 2} ）。将每个数字 aᵢ 除以2，映射为 bᵢ = aᵢ / 2 ∈ {0, 1} 。那么 0.b₁b₂b₃... 就是一个标准的二进制展开，对应 [0,1] 中的一个唯一实数。这是一个单射，所以 C 的基数至少和 [0,1] 一样大，即为连续统的势 c 。因此， 康托尔集是不可数的 。 “康托尔集是同胚意义下的标准型”： 在拓扑学中，任何 紧致、完全、无处稠密、且不包含孤立点的度量空间 （称为“康托尔空间”），都与标准的康托尔三分集 同胚 。这意味着在拓扑学家眼中，康托尔集是这类空间的唯一模型（在拓扑等价的意义下）。 第六步：推广与应用意义 康托尔三分集可以推广： 广义康托尔集 ：不一定是三等分，可以改变去掉区间的比例（例如，每一步去掉中间长度的 1/4 ）。这样可以构造出 测度大于零 的康托尔型集合（称为“肥康托尔集”）。这种集合仍然是无处稠密、完全、紧致的，但具有正测度，是勒贝格测度理论中一个重要的反例（例如，说明一个正测度集不一定包含任何区间）。 分形性质 ：康托尔集是经典的自相似分形，其豪斯多夫维数为 log 2 / log 3 ≈ 0.6309 。 总结： 康托尔三分集是一个通过简单递归规则构造出的、具有极其丰富和看似矛盾性质的集合。它同时是： 零测的 （勒贝格测度为0）， 不可数的 （与 [0,1] 等势）， 无处稠密的 （内部为空）， 完全的 （没有孤立点且闭）， 紧致的 。 它完美地诠释了在实分析中，点的“多少”（基数）、“大小”（测度）和“分布方式”（拓扑）是三个完全不同的概念。它是构造更复杂数学对象（如奇异函数、反例）的基本工具，也是理解实变函数论深刻思想的一个关键范例。