高阶逻辑中的广义量词

1. 一阶逻辑的局限与动机
   一阶逻辑（First-Order Logic, FOL）的量词仅限于全称量词（∀）和存在量词（∃），它们分别表示“所有”和“存在”。但在自然语言或数学陈述中，常出现更复杂的量化表达，例如：“大多数学生通过了考试”“恰好有五个元素满足性质P”或“无穷多个自然数具有性质Q”。这些无法用∀或∃直接定义，因此需要扩展量词系统，引入广义量词（Generalized Quantifiers）。

2. 广义量词的形式定义
   广义量词是对一阶逻辑的语法和语义的扩充：

   • 语法：在逻辑语言中添加新的量词符号（如Q），并规定其形成规则。例如，若φ(x)是一个公式，则(Qx)φ(x)也是一个公式。
   • 语义：给定一个论域（domain）D，一阶量词∀和∃可解释为D上子集的特定性质（如“非空”“等于D”）。广义量词则对应更一般的集合关系。形式化地，一个广义量词Q关联于每个非空论域D的一个子集族Q_D ⊆ ℘(D)，满足在同构下保持不变（即同构闭包）。例如：
     • 全称量词∀对应Q_D = {D}（仅含整个论域）。
     • 存在量词∃对应Q_D = {A ⊆ D | A ≠ ∅}。
     • “大多数”量词（More than half）可定义为：Q_D = {A ⊆ D | |A| > |D \ A|}（在有限论域中要求A的元素超过一半）。

3. 常见类型与例子
   广义量词可分为多种类型，最常见的是一元广义量词（绑定一个变量）和二元广义量词（如“更多...比...”）。例如：

   • 基数量词：
     • (∃_{≥5}x)φ(x) 表示“至少5个x满足φ”。
     • (∃_{=3}x)φ(x) 表示“恰好3个x满足φ”。
   • 比例量词：
     • (Most x)(φ(x), ψ(x)) 表示“大多数满足φ的x也满足ψ”。
   • 逻辑量词：
     • 哈特ig量词（Härtig quantifier）Ixy(φ(x), ψ(y)) 表示“满足φ和ψ的元素数量相等”。

4. 高阶逻辑中的嵌入
   在高阶逻辑（Higher-Order Logic, HOL）中，广义量词可以更自然地表达。高阶逻辑允许量化谓词和函数，因此广义量词可视为高阶谓词。例如：“大多数A是B”可写为：

\[ \text{Most}(A, B) := \exists f: A \setminus B \to B \setminus A \text{（单射且非满射）} \]

或用量化超过集合的表达式：

\[ \text{Most} \, x (A(x), B(x)) \equiv |\{x \mid A(x) \land B(x)\}| > |\{x \mid A(x) \land \neg B(x)\}|. \]

在高阶逻辑中，此类定义可以直接在语义模型中解释（需假设基数比较的可定义性）。

5. 表达力与模型论性质
   添加广义量词会改变逻辑的表达能力：

   • 某些广义量词（如“大多数”）在有限模型上无法用一阶逻辑定义（由埃弗特（E. V. Ehrenfeucht）和法托维奇（A. Mostowski）等人的结果可知）。
   • 广义量词可能影响紧致性、洛文海姆-斯科伦定理等模型论性质。例如，带有“存在不可数多个”量词的逻辑不满足向下洛文海姆-斯科伦定理。
   • 研究重点包括：广义量词的公理化、完全性、可判定性，以及它们与复杂性类的关系（如Lindström定理的推广）。

6. 在语言学与计算机科学中的应用

   • 语言学：广义量词用于形式语义学，模拟自然语言中的限定词（如“一些”“所有”“大多数”“很少”）。
   • 计算机科学：在数据库查询语言（如SQL中的“HAVING COUNT(*) > 5”）和知识表示中，广义量词提供更丰富的查询表达能力。在形式验证中，它们可用于描述资源比例性质（如“90%的请求得到响应”）。

7. 重要定理与研究方向

   • 林德斯特伦定理（Lindström's Theorem） 的广义版本：刻画一阶逻辑的极大性条件可推广到含广义量词的逻辑。
   • 可定义性理论：研究哪些广义量词可由其他量词定义，或与基数、拓扑性质的关系。
   • 有限模型论中的：广义量词在有限结构上的表达力与复杂性（如连接Fagin定理描述的存在二阶逻辑与NP类）。

通过以上步骤，你已了解广义量词从基本动机到形式定义、类型示例、高阶逻辑嵌入、理论性质及应用的完整脉络。