群表示的特征标表
我们从一个你已经熟悉的概念开始：在“群表示论”和“特征标”这两个已讲过的词条中，你知道了群表示是将群元素对应到线性变换，而特征标则是这些变换的迹。现在，我们要系统地研究一个有限群的所有不可约表示的特征标，并将其汇总成一张强大的表格。
第一步：回顾与设定基础
- 有限群 G：设 \(G\) 是一个有限群，其单位元为 \(e\)，阶为 \(|G|\)。
- 表示与特征标：一个（有限维、复）表示是群同态 \(\rho: G \rightarrow \text{GL}(V)\)，其中 \(V\) 是复向量空间。其特征标 \(\chi_\rho: G \rightarrow \mathbb{C}\) 定义为 \(\chi_\rho(g) = \text{Tr}(\rho(g))\)。
- 不可约表示：如果表示 \((V, \rho)\) 除了 \(\{0\}\) 和 \(V\) 自身外没有其他不变子空间，则称其为不可约的。这是表示的基本构件。
- 关键定理（已涉及）：有限群的不可约复表示的个数等于群的共轭类数。这是构建特征标表维度的核心依据。
第二步：构建特征标表的框架
特征标表是一个二维表格，其行和列分别对应两种重要的分类：
- 列——共轭类：表格的列标题是群 \(G\) 的所有共轭类 \([g_1], [g_2], \dots, [g_k]\)。通常取每个类的一个代表元 \(g_i\)。一列的顶部常会标明该代表元和该共轭类的大小 \(|[g_i]|\)。
- 行——不可约特征标：表格的行对应于群 \(G\) 的所有不可约特征标 \(\chi_1, \chi_2, \dots, \chi_k\)（恰好也是 \(k\) 个，与共轭类数相同）。其中 \(\chi_1\) 总是平凡特征标（对应1维平凡表示），满足 \(\chi_1(g) = 1\) 对所有 \(g \in G\)。
- 表格内容：表格第 \(i\) 行、第 \(j\) 列的条目就是不可约特征标 \(\chi_i\) 在共轭类代表元 \(g_j\) 上的取值 \(\chi_i(g_j) \in \mathbb{C}\)。
第三步：填充表格的核心原理与计算工具
要计算或推导出表中的具体数值，我们依赖以下正交关系定理（这是特征标理论的核心）：
- 第一正交关系（对行的正交性）：
\[ \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \chi_i(g) \overline{\chi_j(g)} = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{如果 } i=j \\ 0 & \text{如果 } i \neq j \end{cases} \]
这个和是对所有群元素求和。由于同一共轭类中特征标值相同，它可以重写为对共轭类的求和：
\[ \frac{1}{|G|} \sum_{m=1}^{k} |[g_m]| \cdot \chi_i(g_m) \overline{\chi_j(g_m)} = \delta_{ij} \]
这告诉我们，**不同的不可约特征标作为函数，在赋予权重的意义下是正交的**。
- 第二正交关系（对列的正交性）：
\[ \sum_{i=1}^{k} \chi_i(g_m) \overline{\chi_i(g_n)} = \frac{|G|}{|[g_m]|} \delta_{mn} = \begin{cases} |G|/|[g_m]| & \text{如果 } m=n \\ 0 & \text{如果 } m \neq n \end{cases} \]
这个和是对所有不可约特征标求和。它告诉我们，**特征标表的列向量（在考虑复数共轭后）也是正交的**。
- 其他关键约束：
- 维数：特征标在单位元处的值等于表示的维数：\(\chi_i(e) = \dim(V_i)\)。
- 酉性质：复表示的特征标值在酉变换下是单位根之和，因此 \(\chi(g^{-1}) = \overline{\chi(g)}\)。
- 整除性：不可约表示的维数 \(\chi_i(e)\) 整除群阶 \(|G|\)。
第四步：通过一个简单例子——对称群 \(S_3\) ——来实践
让我们构造阶为6的对称群 \(S_3\) 的特征标表。
- 共轭类：\(S_3\) 有3个共轭类。
- \(C_1\): 恒等元 \(e\)，大小 \(|C_1|=1\)。
- \(C_2\): 对换，例如 \((12)\)，大小 \(|C_2|=3\)。
- \(C_3\): 三元轮换，例如 \((123)\)，大小 \(|C_3|=2\)。
所以表格将有3列。
- 行数：不可约特征标数 = 共轭类数 = 3。
- 已知的第一行（平凡特征标）：\(\chi_1(e)=1, \chi_1((12))=1, \chi_1((123))=1\)。
- 符号表示：存在一个1维非平凡表示，即“符号表示”，它将置换映射到其符号（奇置换为-1，偶置换为1）。其特征标 \(\chi_2\) 为：\(\chi_2(e)=1, \chi_2((12))=-1, \chi_2((123))=1\)（因为三元轮换是偶置换）。
- 寻找第三个不可约特征标 \(\chi_3\)：
- 由维数定理：\(|G| = 6 = 1^2 + 1^2 + d_3^2\)，解得第三个表示的维数 \(d_3 = \chi_3(e) = 2\)。
- 设 \(\chi_3((12)) = a\)， \(\chi_3((123)) = b\)。
- 应用第一正交关系，令 \(\chi_3\) 与平凡特征标 \(\chi_1\) 正交：
\[ \frac{1}{6}[1*2*1 + 3*a*1 + 2*b*1] = 0 \implies 2 + 3a + 2b = 0 \quad (1) \]
- 应用第一正交关系，令 \(\chi_3\) 与符号特征标 \(\chi_2\) 正交：
\[ \frac{1}{6}[1*2*1 + 3*a*(-1) + 2*b*1] = 0 \implies 2 - 3a + 2b = 0 \quad (2) \]
- 解方程组 (1) 和 (2)：由 (1)-(2) 得 \(6a = 0 \Rightarrow a = 0\)。代入 (1) 得 \(2 + 0 + 2b = 0 \Rightarrow b = -1\)。
- 验证与自身的正交性（应为1）：\(\frac{1}{6}[1*2^2 + 3*0^2 + 2*(-1)^2] = \frac{1}{6}(4+0+2)=1\)，正确。
于是，我们得到 \(S_3\) 的特征标表：
| \(S_3\) | \(|C|=1\) (e) | \(|C|=3\) ((12)) | \(|C|=2\) ((123)) |
| :--- | :---: | :---: | :---: |
| \(\chi_1\) (平凡) | 1 | 1 | 1 |
| \(\chi_2\) (符号) | 1 | -1 | 1 |
| \(\chi_3\) (标准) | 2 | 0 | -1 |
第五步：特征标表的深远应用
这张表格封装了群的表示信息，其用途极其广泛：
- 分解任意表示：给定任一表示的特征标 \(\chi\)，可以通过计算它与各不可约特征标的内积 \(\langle \chi, \chi_i \rangle = \frac{1}{|G|}\sum_g \chi(g)\overline{\chi_i(g)}\) 来得到该表示分解为不可约表示时，\(\chi_i\) 出现的重数。
- 确定核与像：表示的核是满足 \(\chi(g) = \chi(e)\) 的所有元素 \(g\)。像的性质也可从特征标值推断。
- 计算子表示空间维数：给定一个在 \(G\) 作用下的向量空间 \(V\)，固定子空间 \(V^G\)（在所有 \(g\) 作用下不变的元素）的维数等于 \(\langle \chi, \chi_1 \rangle\)，即特征标与平凡特征标的内积。
- 在化学与物理中的应用：在分子轨道理论、晶体场理论和粒子物理中，特征标表被用来确定原子轨道或粒子态如何按照分子的对称群或内部对称群进行变换和分裂，从而预测光谱、选择定则等。
- 群论自身性质：特征标表蕴含了群的许多深层信息，例如可以通过特征标表判断一个群是否为单群、可解群等。
总而言之，特征标表是将抽象的群表示论转化为具体可计算数据的枢纽。它通过一个简洁的复数矩阵，将群的共轭类结构与全部不可约表示完美地对应起来，并提供了强大的正交性工具进行分析和计算，是连接有限群结构与线性表示的核心桥梁。