微积分的诞生

1. 背景：17世纪的数学需求
   在17世纪，天文学、物理学的发展提出了许多动态问题需求，例如：

   • 求曲线在某点的切线（光学中光线折射角度计算需要）
   • 求曲线围成的面积（行星运动轨迹与时间关系需要）
   • 求变量的最大值/最小值（抛体运动射程问题需要）
     这些问题的共同特点是涉及"无穷小量"的分析，传统几何与代数方法难以解决。

2. 先驱者的积累

   • 开普勒：在《测量酒桶体积的新科学》（1615）中，用无限多个微小三角形面积求和计算旋转体体积。
   • 卡瓦列里：提出"不可分量法"（1635），将面积看作无限多个平行线段的和，体积看作无限多个平行截面的和。
   • 费马：通过代入"近似为零"的量求函数极值点（1629），已接近微分思想。
   • 巴罗：发现切线问题是面积问题的逆运算（1668），但未抽象出普遍理论。

3. 牛顿的流数法（1665-1666年）

   • 称变量为"流动量"（fluent），变化率为"流数"（fluxion），用点记号表示（如 \(\dot{x}\)）。
   • 核心思想：给变量 \(x\) 一个无穷小增量"瞬"（moment \(o\)），展开函数后忽略高阶无穷小项。
   • 例子：对 \(y=x^n\)，计算 \(\frac{(x+o)^n-x^n}{o}\) 取极限得 \(nx^{n-1}\)。
   • 成果记载于《流数法》（1671年写成，1736年出版），系统解决微分与积分问题。

4. 莱布尼茨的微分法（1675-1684年）

   • 独立创立符号体系：引入微分符号 \(dx, dy\) 和积分符号 \(\int\)（1684年发表）。
   • 明确给出微分法则：如 \(d(xy)=xdy+ydx\)，以及积分与微分互逆的"微积分基本定理"。
   • 优势：符号设计极具操作性，促进微积分在欧洲的传播。

5. 理论完善与争议

   • 贝克莱悖论（1734）：批评无穷小量是"已死量的幽灵"，揭示早期微积分基础不严谨。
   • 柯西与魏尔斯特拉斯的回应：19世纪建立极限的 \(\varepsilon-\delta\) 定义，彻底严格描述微积分核心概念。

6. 历史意义
   微积分将"动态变化"数学化，成为描述自然科学的通用语言，推动微分方程、变分法等新分支诞生，标志着现代数学的开端。