随机规划中的自适应采样（Adaptive Sampling in Stochastic Programming） 核心概念引入 随机规划旨在求解含有随机参数的优化问题，其一般形式为 min_ {x ∈ X} E_ P[ F(x, ξ)]，其中 ξ 为随机变量，服从概率分布 P。当 P 未知或期望难以精确计算时，常采用 样本平均近似 ，即用有限样本的经验均值代替期望。然而，固定样本量可能造成计算浪费（样本过多）或精度不足（样本过少）。自适应采样是一种动态决定样本量的策略，其目标是以较高概率保证所得解满足一定的精度要求，同时尽可能节省样本成本。 基本思想与流程 自适应采样的核心是在优化过程中 迭代地增加样本量 ，并利用当前样本信息判断是否已达到预设的精度标准。一个典型流程为： （1）从初始较小样本集开始，求解当前样本平均近似问题，得到一个候选解。 （2）基于统计方法（如置信区间、方差估计）评估该候选解最优性间隙的估计值。 （3）若评估结果满足预设容差，则停止并输出当前解；否则，增加一批新样本，合并后重新求解，并重复评估步骤。 这种方法将“采样”与“优化”交织，使样本量适应问题的随机特性。 关键技术与收敛依据 实现自适应采样的关键在于如何可靠地评估当前解的质量。常用方法包括： 最优性间隙的置信区间估计 ：在每次迭代中，分别构造目标函数值上界和下界的置信区间。若上界与下界之差小于容差，则停止。这常利用样本方差和中心极限定理。 方差缩减技术的结合 ：为减少评估所需样本，可嵌入控制变量、重要性抽样等方差缩减方法，以更快收缩置信区间。 理论保证 ：在适当假设下（如函数的光滑性、矩条件），这类算法能几乎必然收敛到真实最优解，且样本量增长是可控的。 与固定样本方法的对比优势 相比固定的大样本方法，自适应采样的优势在于： 计算效率 ：对“简单”问题（方差小、函数平坦）会自动使用较少样本；仅对“困难”问题才投入更多样本。 可靠性 ：提供明确的停止准则，确保输出解满足预设置信水平下的精度，而固定样本量则无法在求解前预知精度。 灵活性 ：可方便地与各种随机优化算法（如随机梯度法、Benders分解）结合，在每次迭代中自适应地决定子问题的采样精度。 典型应用场景与扩展 自适应采样特别适用于： 两阶段带补偿的随机规划 ：其中第二阶段问题需反复求解，自适应采样可动态调整每次求解时的情景数量。 机会约束规划 ：用于估计概率约束的满足程度，动态增加样本以使概率估计更准确。 随机梯度类算法 ：在每次迭代中自适应地确定梯度估计的批量大小，以平衡偏差和方差。 当前研究扩展包括处理高维随机变量、非凸问题，以及与分布式计算框架的结合，以进一步提升大规模随机优化的求解效率。