模的张量积函子的导出函子：Tor
字数 3657 2025-12-10 23:54:36

模的张量积函子的导出函子：Tor

好的，我们开始学习一个新的代数概念。这个概念是同调代数的核心工具，它从“张量积函子”出发，研究其不精确性。为了让你彻底理解，我们将循序渐进，从最基础的概念开始搭建。

第一步：回顾基石——模与张量积

  1. 模：简单理解，一个模是一个代数结构，它像向量空间，但“系数”取自一个环而非域。比如，阿贝尔群（系数取自整数环Z）就是一种模。
  2. 张量积：对于两个模（例如一个右R-模M和一个左R-模N），它们的张量积 \(M \otimes_R N\) 是一个新的阿贝尔群（甚至是模）。直观上，它形式化地处理“双线性”关系。元素形如形式符号 \(m \otimes n\)，满足诸如 \((m_1 + m_2) \otimes n = m_1 \otimes n + m_2 \otimes n\) 和 \((m r) \otimes n = m \otimes (r n)\) 等规则。

第二步：作为“机器”的函子——张量积函子

我们把张量积看作一台“机器”，它吃进一个模，吐出另一个模。更精确地说：

  • 固定一个右R-模M，我们可以定义一个操作：\(T_M(-) = M \otimes_R -\)。
  • 输入：任何一个左R-模N。
  • 输出：一个阿贝尔群 \(M \otimes_R N\)。
  • 这台机器不仅能处理模，还能处理模之间的同态。给定同态 \(f: N_1 \to N_2\)，它能输出一个新的同态 \((1_M \otimes f): M \otimes N_1 \to M \otimes N_2\)，定义为 \(m \otimes n \mapsto m \otimes f(n)\)。这台“机器” \(T_M\) 就叫做张量积函子。

第三步：函子的不精确性与正合序列

  1. 正合序列：这是模和同态组成的一个序列，比如 \(A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C\)。我们说它在B处是正合的，如果“f的像”正好等于“g的核”，即 \(\text{Im}(f) = \text{Ker}(g)\)。一个短正合序列 \(0 \to A \to B \to C \to 0\) 通常表示B是A和C的一种扩张。
  2. 右正合性：关键的观察来了！张量积函子 \(M \otimes_R -\) 是右正合函子。这意味着：
  • 如果一个序列 \(N‘ \xrightarrow{\alpha} N \xrightarrow{\beta} N'' \to 0\) 是正合的（即在N和N’’处都正合），
  • 那么经过 \(M \otimes_R -\) 这台机器作用后，得到的序列：

\[ M \otimes_R N‘ \xrightarrow{1 \otimes \alpha} M \otimes_R N \xrightarrow{1 \otimes \beta} M \otimes_R N'' \to 0 \]

  • 仍然是正合的（即在 \(M \otimes_R N''\) 处正合，且 \(\text{Im}(1 \otimes \alpha) = \text{Ker}(1 \otimes \beta)\)）。
  1. 问题的诞生：但是，左边的“0”不一定能保持。也就是说，如果原序列是 \(0 \to N‘ \to N \to N'' \to 0\) 这样完整的短正合序列，经过张量积后，序列 \(0 \to M \otimes N‘ \to M \otimes N\) 的开头不一定正合（即 \(1 \otimes \alpha\) 可能不是单射）。这表示张量积操作可能“破坏”序列的左正合性，从而不保持精确的结构信息（比如，它不一定与取核的操作交换）。

第四步：测量不精确性——引入Tor函子

为了精确测量张量积函子在“左边”破坏了多大程度的正合性，同调代数创造了 Tor函子。

  1. 核心思想：既然 \(M \otimes_R -\) 本身不“左正合”，我们就想办法把它放到一个更大的、可测的框架里。这个框架就是左导出函子。
  2. 工具：投射分解：要对一个模N进行研究，我们找一个由“好”的模（称为投射模）组成的长正合序列（称为投射分解）：

\[ \cdots \to P_2 \to P_1 \to P_0 \to N \to 0 \]

这个序列在除N以外的每一处都正合，且所有 \(P_i\) 都是投射模（性质类似自由模，是“好”的模）。
3. 定义Tor：固定模M。对模N，取它的一个投射分解（\(P_\bullet \to N\)）。然后，我们“扔掉N”，用函子 \(M \otimes_R -\) 作用在整个这个“...”部分上，得到一个新的复形：

\[ \cdots \to M \otimes_R P_2 \to M \otimes_R P_1 \to M \otimes_R P_0 \to 0 \]

（注意，我们不再继续作用到N本身，停在P0）。
  1. 取同调：这个新序列（复形）不一定正合。我们在第n个位置（n ≥ 0）取它的同调群，即“第n个核”模掉“第n+1个像”。这个同调群就被定义为：

\[ \text{Tor}_n^R(M, N) := H_n(M \otimes_R P_\bullet) = \frac{\text{Ker}(M \otimes P_n \to M \otimes P_{n-1})}{\text{Im}(M \otimes P_{n+1} \to M \otimes P_n)} \]

- 下标n表示“导出”的阶数。
- 上标R指明这是基于环R的张量积。

第五步：理解Tor的性质与含义

  1. 不依赖选择：一个关键定理指出，无论为N选择什么样的投射分解，最终计算出的Tor群都是同构的。所以Tor是一个良定义的、只依赖于M和N本身的数学对象。
  2. Tor₀ 就是张量积本身：可以证明 \(\text{Tor}_0^R(M, N) \cong M \otimes_R N\)。所以Tor函子是张量积函子向高阶的“延伸”。
  3. 测量“非平坦性”：Tor函子最重要的作用是测量模的“平坦性”。一个模M是平坦的，如果函子 \(M \otimes_R -\) 是正合的（即既右正合也左正合）。
  • 定理：M是平坦R-模，当且仅当对所有的模N和所有的n ≥ 1，都有 \(\text{Tor}_n^R(M, N) = 0\)。
  • 因此，\(\text{Tor}_1^R(M, N)\) 不为零，就精确地反映了M在张量N时破坏左正合性的“程度”。它衡量了M和N中存在的“挠”关系或“非自由”关系。
  1. 长正合序列：给定一个短正合序列 \(0 \to N‘ \to N \to N'' \to 0\)，对任何模M，存在一个长正合序列将它们所有的Tor群联系起来：

\[ \cdots \to \text{Tor}_2^R(M, N'‘) \to \text{Tor}_1^R(M, N’) \to \text{Tor}_1^R(M, N) \to \text{Tor}_1^R(M, N'‘) \to M \otimes N’ \to M \otimes N \to M \otimes N‘’ \to 0 \]

这个序列是计算Tor和进行同调论证的利器。它系统地描述了张量积破坏正合性时，丢失的信息如何在更高阶的Tor中体现出来。
  1. 对称性：一个重要且美妙的结论是 \(\text{Tor}_n^R(M, N) \cong \text{Tor}_n^R(N, M)\)。这意味着你也可以通过固定N，对M作投射分解来计算Tor，结果是一样的。

总结

模的张量积函子的导出函子：Tor 是一族定义在模对 \((M, N)\) 上的阿贝尔群 \(\text{Tor}_n^R(M, N)\)，其中n是非负整数。它的核心思想是：

  • 它延伸了张量积函子（Tor₀ 就是张量积）。
  • 它量化了张量积函子 \(M \otimes_R -\)（或等价地 \(- \otimes_R N\)）的不精确性，即它破坏正合性的程度。
  • 它为研究模的平坦性、挠性质、深度以及环的整体性质（如整体维数）提供了极其强大的同调工具。

简单来说，如果说张量积是一把有时会“磨损”信息（不保持单射）的尺子，那么Tor函子就是一套精密的测量仪器，不仅能告诉你被磨损掉的信息有多少（Tor₁），还能告诉你这种“磨损”在高阶意义上有多复杂的结构（更高阶的Tor）。

模的张量积函子的导出函子：Tor 好的，我们开始学习一个新的代数概念。这个概念是 同调代数 的核心工具，它从“张量积函子”出发，研究其不精确性。为了让你彻底理解，我们将循序渐进，从最基础的概念开始搭建。 第一步：回顾基石——模与张量积 模 ：简单理解，一个 模 是一个代数结构，它像向量空间，但“系数”取自一个 环 而非域。比如，阿贝尔群（系数取自整数环Z）就是一种模。 张量积 ：对于两个模（例如一个右R-模M和一个左R-模N），它们的 张量积 \( M \otimes_ R N \) 是一个新的阿贝尔群（甚至是模）。直观上，它形式化地处理“双线性”关系。元素形如形式符号 \( m \otimes n \)，满足诸如 \( (m_ 1 + m_ 2) \otimes n = m_ 1 \otimes n + m_ 2 \otimes n \) 和 \( (m r) \otimes n = m \otimes (r n) \) 等规则。 第二步：作为“机器”的函子——张量积函子 我们把张量积看作一台“机器”，它吃进一个模，吐出另一个模。更精确地说： 固定一个右R-模M，我们可以定义一个操作：\( T_ M(-) = M \otimes_ R - \)。 输入：任何一个左R-模N。 输出：一个阿贝尔群 \( M \otimes_ R N \)。 这台机器不仅能处理模，还能处理模之间的 同态 。给定同态 \( f: N_ 1 \to N_ 2 \)，它能输出一个新的同态 \( (1_ M \otimes f): M \otimes N_ 1 \to M \otimes N_ 2 \)，定义为 \( m \otimes n \mapsto m \otimes f(n) \)。这台“机器” \( T_ M \) 就叫做 张量积函子 。 第三步：函子的不精确性与正合序列 正合序列 ：这是模和同态组成的一个序列，比如 \( A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \)。我们说它在B处是 正合 的，如果“f的像”正好等于“g的核”，即 \( \text{Im}(f) = \text{Ker}(g) \)。一个短正合序列 \( 0 \to A \to B \to C \to 0 \) 通常表示B是A和C的一种扩张。 右正合性 ：关键的观察来了！ 张量积函子 \( M \otimes_ R - \) 是右正合函子 。这意味着： 如果一个序列 \( N‘ \xrightarrow{\alpha} N \xrightarrow{\beta} N'' \to 0 \) 是正合的（即在N和N’’处都正合）， 那么经过 \( M \otimes_ R - \) 这台机器作用后，得到的序列： \[ M \otimes_ R N‘ \xrightarrow{1 \otimes \alpha} M \otimes_ R N \xrightarrow{1 \otimes \beta} M \otimes_ R N'' \to 0 \] 仍然是正合的（即在 \( M \otimes_ R N'' \) 处正合，且 \( \text{Im}(1 \otimes \alpha) = \text{Ker}(1 \otimes \beta) \)）。 问题的诞生 ：但是，左边的“0”不一定能保持。也就是说，如果原序列是 \( 0 \to N‘ \to N \to N'' \to 0 \) 这样完整的短正合序列，经过张量积后，序列 \( 0 \to M \otimes N‘ \to M \otimes N \) 的开头不一定正合（即 \( 1 \otimes \alpha \) 可能不是单射）。这表示张量积操作可能“破坏”序列的 左正合性 ，从而不保持精确的结构信息（比如，它不一定与取核的操作交换）。 第四步：测量不精确性——引入Tor函子 为了精确测量张量积函子在“左边”破坏了多大程度的正合性，同调代数创造了 Tor函子 。 核心思想 ：既然 \( M \otimes_ R - \) 本身不“左正合”，我们就想办法把它放到一个更大的、可测的框架里。这个框架就是 左导出函子 。 工具：投射分解 ：要对一个模N进行研究，我们找一个由“好”的模（称为 投射模 ）组成的 长正合序列 （称为投射分解）： \[ \cdots \to P_ 2 \to P_ 1 \to P_ 0 \to N \to 0 \] 这个序列在除N以外的每一处都正合，且所有 \( P_ i \) 都是投射模（性质类似自由模，是“好”的模）。 定义Tor ：固定模M。对模N，取它的一个投射分解（\( P_ \bullet \to N \)）。然后，我们“扔掉N”，用函子 \( M \otimes_ R - \) 作用在整个这个“...”部分上，得到一个新的复形： \[ \cdots \to M \otimes_ R P_ 2 \to M \otimes_ R P_ 1 \to M \otimes_ R P_ 0 \to 0 \] （注意，我们不再继续作用到N本身，停在P0）。 取同调 ：这个新序列（复形）不一定正合。我们在第n个位置（n ≥ 0）取它的 同调群 ，即“第n个核”模掉“第n+1个像”。这个同调群就被定义为： \[ \text{Tor} n^R(M, N) := H_ n(M \otimes_ R P \bullet) = \frac{\text{Ker}(M \otimes P_ n \to M \otimes P_ {n-1})}{\text{Im}(M \otimes P_ {n+1} \to M \otimes P_ n)} \] 下标n表示“导出”的阶数。 上标R指明这是基于环R的张量积。 第五步：理解Tor的性质与含义 不依赖选择 ：一个关键定理指出，无论为N选择什么样的投射分解，最终计算出的Tor群都是 同构 的。所以Tor是一个良定义的、只依赖于M和N本身的数学对象。 Tor₀ 就是张量积本身 ：可以证明 \( \text{Tor}_ 0^R(M, N) \cong M \otimes_ R N \)。所以Tor函子是张量积函子向高阶的“延伸”。 测量“非平坦性” ：Tor函子最重要的作用是测量模的“ 平坦性 ”。一个模M是 平坦 的，如果函子 \( M \otimes_ R - \) 是 正合 的（即既右正合也左正合）。 定理 ：M是平坦R-模，当且仅当对 所有 的模N和 所有 的n ≥ 1，都有 \( \text{Tor}_ n^R(M, N) = 0 \)。 因此，\( \text{Tor}_ 1^R(M, N) \) 不为零，就精确地反映了M在张量N时破坏左正合性的“程度”。它衡量了M和N中存在的“挠”关系或“非自由”关系。 长正合序列 ：给定一个短正合序列 \( 0 \to N‘ \to N \to N'' \to 0 \)，对任何模M，存在一个 长正合序列 将它们所有的Tor群联系起来： \[ \cdots \to \text{Tor}_ 2^R(M, N'‘) \to \text{Tor}_ 1^R(M, N’) \to \text{Tor}_ 1^R(M, N) \to \text{Tor}_ 1^R(M, N'‘) \to M \otimes N’ \to M \otimes N \to M \otimes N‘’ \to 0 \] 这个序列是计算Tor和进行同调论证的利器。它系统地描述了张量积破坏正合性时，丢失的信息如何在更高阶的Tor中体现出来。 对称性 ：一个重要且美妙的结论是 \( \text{Tor}_ n^R(M, N) \cong \text{Tor}_ n^R(N, M) \)。这意味着你也可以通过固定N，对M作投射分解来计算Tor，结果是一样的。 总结 模的张量积函子的导出函子：Tor 是一族定义在模对 \( (M, N) \) 上的阿贝尔群 \( \text{Tor}_ n^R(M, N) \)，其中n是非负整数。它的核心思想是： 它 延伸 了张量积函子（Tor₀ 就是张量积）。 它 量化 了张量积函子 \( M \otimes_ R - \)（或等价地 \( - \otimes_ R N \)）的 不精确性 ，即它破坏正合性的程度。 它为研究模的 平坦性 、 挠性质 、 深度 以及 环的整体性质 （如整体维数）提供了极其强大的同调工具。 简单来说，如果说张量积是一把有时会“磨损”信息（不保持单射）的尺子，那么Tor函子就是一套精密的测量仪器，不仅能告诉你被磨损掉的信息有多少（Tor₁），还能告诉你这种“磨损”在高阶意义上有多复杂的结构（更高阶的Tor）。