二次型的正交相似标准型
我们从你已经熟悉的二次型的基础概念出发，逐步深入到一个更精细的分类工具。
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回顾基石：二次型与矩阵表示
你已知，数域F上的一个n元二次型q(x₁, ..., xₙ)可以写成一个齐次二次多项式。它能被唯一地表示为一个对称矩阵A，使得q(x) = xᵀAx，其中x是变元列向量。矩阵A称为该二次型的矩阵。 -
核心概念：合同变换与正交相似
你已学过二次型的“合同变换”：对于一个二次型矩阵A，做可逆线性变换x = Py，会得到新的二次型矩阵B = PᵀAP。如果B是对角矩阵，这个过程就是“合同对角化”。
现在，我们引入一个更强的概念：正交相似。当我们要求变换矩阵P不仅是可逆的，还是一个正交矩阵（即满足Pᵀ = P⁻¹），那么这种合同变换A ↦ PᵀAP = P⁻¹AP，就称为正交相似变换。它同时是合同变换，也是相似变换。 -
引入新工具：正交相似标准型的定义
对于实数域ℝ上的二次型（或其对称矩阵A），正交相似标准型的目标是：寻找一个正交矩阵Q，使得QᵀAQ = Q⁻¹AQ = Λ 成为一个对角矩阵。
这个对角矩阵Λ就是二次型矩阵A在正交相似变换下的标准型。它与普通的合同对角化（只要求P可逆）的关键区别在于，所用变换Q是正交矩阵，这意味着变换是保持几何长度和角度的“旋转”或“反射”，是一种刚性变换。 -
理论核心：如何得到这个标准型？——谱定理
寻找正交相似标准型的过程，完全由一个强大的定理指导：实对称矩阵的谱定理。- 定理内容：任何实对称矩阵A，都存在一个正交矩阵Q，使得QᵀAQ为对角矩阵。这个对角矩阵的对角元，恰好就是矩阵A的全部特征值（记作λ₁, λ₂, ..., λₙ）。
- 计算步骤：
a. 求出实对称矩阵A的所有特征值 λ₁, λ₂, ..., λₙ。
b. 对每个特征值，求出对应的特征向量，并利用施密特正交化方法，将属于同一特征值的特征向量组正交化、单位化；不同特征值对应的特征向量自动正交。
c. 将所有单位正交的特征向量作为列向量，按顺序排列成一个矩阵Q。这个Q就是所需的正交矩阵。
d. 必有 QᵀAQ = diag(λ₁, λ₂, ..., λₙ)。
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几何与代数意义
- 几何意义：对于一个二次型 q(x) = xᵀAx，它可能代表一个二次曲面（如椭圆、双曲线、抛物面等）的方程。正交相似变换 QᵀAQ 相当于对坐标系进行一个旋转或反射。在新的坐标系下，二次型方程中不再有交叉项（xy, xz, yz等），其主轴恰好对齐新坐标轴。对角元（特征值）的符号决定了曲面类型（正定、负定、不定）。
- 代数意义：这同时完成了矩阵A的合同对角化和相似对角化。特征值是这个变换下的完全不变量（在正交相似意义下）。而普通的合同对角化（如配方法得到的对角矩阵），其对角元不是不变量，可以通过进一步的可逆变换缩放。
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与惯性定理的关系
你已学过西尔维斯特惯性定理：合同变换下，正特征值个数（正惯性指数p）、负特征值个数（负惯性指数q）和零特征值个数是保持不变的。
正交相似标准型是惯性定理的一个“强化实现”。它不仅告诉我们(p, q, r)这组不变量，还通过特征值具体给出了这些正、负数值的大小（而不仅仅是符号个数）。也就是说，在正交相似分类下，标准型就是 diag(λ₁, ..., λₙ)，其中λ_i是具体的实数特征值。在合同分类下，标准型通常只关心符号，如 diag(1, ..., 1, -1, ..., -1, 0, ..., 0)。
总结：二次型的正交相似标准型是在正交变换（保持几何形状不变）这一更严格条件下得到的分类标准。它由谱定理保证，其计算核心是求解实对称矩阵的特征值与单位正交的特征向量。最终得到的标准型是一个以特征值为对角元的对角矩阵，它同时揭示了二次型的度量特性（通过特征值大小）和分类特性（通过特征值符号）。这是将线性代数中特征值理论与二次型几何紧密结合的一个典范。