无理数的发现 无理数的发现是数学史上的一个重要转折点，它标志着人们从对“数”的直观的、离散的理解，向抽象的、连续的概念的深刻转变。 背景：毕达哥拉斯学派的信条 在公元前6世纪的古希腊，毕达哥拉斯学派是一个极具影响力的数学与哲学团体。他们的核心哲学是“万物皆数”，这里的“数”特指整数（1, 2, 3, ...）以及它们的比（即分数，或称有理数）。他们认为，宇宙间的任何事物和现象都可以通过整数之间的和谐比例关系来解释。例如，弹奏一根琴弦，如果将其长度按简单的整数比（如1:2, 2:3）分割，就能产生和谐的音符。这种对整数的崇拜使得他们坚信，任何两个线段的长度之比，都可以用两个整数的比来表示。 危机的出现：等腰直角三角形的斜边 这个看似完美的信条在一个基本的几何图形面前遇到了挑战——正方形或其对角线。考虑一个边长为1（单位长度）的正方形。根据毕达哥拉斯定理（勾股定理），其对角线的长度c应满足方程：c² = 1² + 1² = 2。那么，c是多少呢？ 学派内的成员希帕索斯（Hippasus）首先深入研究了这个问题。他试图找到一个整数或分数，其平方等于2。也就是说，寻找两个互质的整数p和q，使得 (p/q)² = 2，即 p² = 2q²。 关键的证明：√2的无理性 希帕索斯运用反证法，成功地证明了这样的整数p和q不可能存在。这个证明是数学史上第一个不朽的成就之一，其逻辑链条如下： 假设相反 ：假设存在两个互质的正整数p和q（即p和q没有大于1的公因数），使得 (p/q)² = 2，也就是 p² = 2q²。 推导出p是偶数 ：从 p² = 2q² 可知，p² 是一个偶数（因为它是2的倍数）。而一个整数的平方是偶数的唯一可能是这个整数本身也是偶数。所以，p是偶数。 设p=2k ：因为p是偶数，可以设 p = 2k（k是某个整数）。 代入原式 ：将p=2k代入 p² = 2q²，得到 (2k)² = 2q²，即 4k² = 2q²。两边同时除以2，得到 2k² = q²。 推导出q是偶数 ：从 2k² = q² 可知，q² 是偶数，因此q也必然是偶数。 矛盾出现 ：现在，我们得出p和q都是偶数。这意味着p和q有公因数2，这与我们最初的假设“p和q互质”相矛盾。 结论 ：因此，最初的假设“存在两个互质的整数p和q使得 (p/q)²=2”是错误的。也就是说，不存在任何分数其平方等于2。边长1的正方形的对角线长度，是一个无法用整数比表示的数。 深远的影响与意义 第一次数学危机 ：这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的根本信条，被称为数学的“第一次危机”。传说希帕索斯因泄露这个发现而受到了严厉的惩罚。 几何与代数的分离 ：由于无法用已有的“数”来处理像√2这样的量，希腊数学家转而大力发展几何学。他们用线段来表示这些量，所有的运算都通过几何作图来完成（例如，用线段的比例中项来表示平方根）。这导致了几何学在随后很长一段时间内成为希腊数学的中心，而代数的进展相对迟缓。 数系的扩张 ：无理数的发现迫使数学家们承认，有理数并不能填满整个数轴。像√2, √3, π这样的“不可公度量”是确实存在的。这为后来实数系的严格定义埋下了种子。实数系由有理数和无理数共同构成，它们连续地、没有缝隙地布满了整个数轴。 简而言之，无理数的发现始于一个简单的几何问题，却引发了一场深刻的数学哲学危机，并最终极大地推动了数学基础理论的完善和发展。