黎曼积分
字数 922 2025-10-25 20:03:33

黎曼积分

  1. 问题背景：曲线下面积的计算
    在分析学中，我们常需要计算由连续曲线 \(y = f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上（设 \(f(x) \geq 0\)）与 x 轴围成的图形面积。黎曼积分通过“分割区间、近似求和、取极限”的思想，将这一几何问题转化为数学上的极限问题。

  2. 区间分割与黎曼和
    将区间 \([a, b]\) 分割为 \(n\) 个子区间，分点为：

\[ a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b. \]

每个子区间长度为 \(\Delta x_i = x_i - x_{i-1}\)。在子区间 \([x_{i-1}, x_i]\) 上任选一点 \(\xi_i\)，用矩形面积 \(f(\xi_i) \Delta x_i\) 近似该区间的曲线下面积。所有矩形面积之和称为黎曼和：

\[ S_n = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i. \]

  1. 黎曼可积的定义
    若当分割越来越细（即最大子区间长度 \(\lambda = \max \Delta x_i \to 0\)）时，黎曼和的极限存在且与分点选择、\(\xi_i\) 的选取无关，则称 \(f\) 在 \([a, b]\) 上黎曼可积，该极限值为黎曼积分：

\[ \int_a^b f(x) \, dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i. \]

  1. 可积的充分条件

    • 若 \(f\) 在 \([a, b]\) 上连续，则必黎曼可积。
    • 若 \(f\) 有有限个间断点且有界，则仍可积。
    • 关键反例：狄利克雷函数（在有理点取 1、无理点取 0）不可积，因为无论分割多细，黎曼和震荡不收敛。

  2. 几何意义与推广
    黎曼积分直观表示曲线下面积（若 \(f \geq 0\)）。对于变号函数，积分值为 x 轴上方面积减去下方面积。该定义可推广到高维（重积分）和更一般的积分（如勒贝格积分），但黎曼积分仍是分析学中理解积分概念的基础。

黎曼积分 问题背景：曲线下面积的计算 在分析学中，我们常需要计算由连续曲线 \( y = f(x) \) 在区间 \([ a, b ]\) 上（设 \( f(x) \geq 0 \)）与 x 轴围成的图形面积。黎曼积分通过“分割区间、近似求和、取极限”的思想，将这一几何问题转化为数学上的极限问题。 区间分割与黎曼和 将区间 \([ a, b ]\) 分割为 \( n \) 个子区间，分点为： \[ a = x_ 0 < x_ 1 < \cdots < x_ n = b. \] 每个子区间长度为 \( \Delta x_ i = x_ i - x_ {i-1} \)。在子区间 \([ x_ {i-1}, x_ i]\) 上任选一点 \( \xi_ i \)，用矩形面积 \( f(\xi_ i) \Delta x_ i \) 近似该区间的曲线下面积。所有矩形面积之和称为 黎曼和 ： \[ S_ n = \sum_ {i=1}^n f(\xi_ i) \Delta x_ i. \] 黎曼可积的定义 若当分割越来越细（即最大子区间长度 \( \lambda = \max \Delta x_ i \to 0 \)）时，黎曼和的极限存在且与分点选择、\( \xi_ i \) 的选取无关，则称 \( f \) 在 \([ a, b]\) 上黎曼可积，该极限值为 黎曼积分 ： \[ \int_ a^b f(x) \, dx = \lim_ {\lambda \to 0} \sum_ {i=1}^n f(\xi_ i) \Delta x_ i. \] 可积的充分条件 若 \( f \) 在 \([ a, b ]\) 上连续，则必黎曼可积。 若 \( f \) 有有限个间断点且有界，则仍可积。 关键反例：狄利克雷函数（在有理点取 1、无理点取 0）不可积，因为无论分割多细，黎曼和震荡不收敛。 几何意义与推广 黎曼积分直观表示曲线下面积（若 \( f \geq 0 \)）。对于变号函数，积分值为 x 轴上方面积减去下方面积。该定义可推广到高维（重积分）和更一般的积分（如勒贝格积分），但黎曼积分仍是分析学中理解积分概念的基础。