可测集 首先，可测集是实变函数论中的一个基本概念，它是我们能够进行“测量”的集合。为了理解它，我们需要从更基础的概念开始。 外测度 我们首先希望用一种统一的方式来衡量实数轴上任意一个集合的“大小”或“长度”。对于最简单的集合，比如开区间 (a, b)，我们很自然地认为它的长度是 b - a。对于一个有限个互不相交的开区间的并集，我们认为它的长度就是这些区间长度之和。 但是，对于更复杂的集合（比如有理数集），我们如何定义其长度呢？这就引出了 外测度 的概念。集合 E 的外测度 m* (E) 的直观思想是：我们用一列开区间去“覆盖”这个集合 E，这些开区间的总长度应该至少等于 E 的“长度”。我们取所有可能的覆盖方式中，总长度的下确界（即最大的下界）作为 E 的外测度。 用数学语言精确定义：对于实数轴 R 上的任一子集 E，其勒贝格外测度定义为： \( m^ (E) = \inf \left\{ \sum_ {k=1}^{\infty} l(I_ k) : E \subset \bigcup_ {k=1}^{\infty} I_ k \right\} \) 其中，{I_ k} 是一列开区间，l(I_ k) 是区间 I_ k 的长度。 外测度对所有集合都有定义，并且具有次可加性：\( m^ (\bigcup_ {k=1}^{\infty} A_ k) \leq \sum_ {k=1}^{\infty} m^* (A_ k) \)。 外测度的局限性 虽然外测度定义很广泛，但它有一个关键缺陷：它不满足可数可加性。也就是说，可能存在一列两两不相交的集合 {A_ k}，使得 \( m^ (\bigcup_ {k=1}^{\infty} A_ k) < \sum_ {k=1}^{\infty} m^ (A_ k) \)。这意味着如果我们用外测度来定义“长度”，那么当我们把一个集合分割成无数个互不相交的小部分时，整体的“长度”可能不等于各部分“长度”之和。这违背了我们对“测量”的基本直觉。 可测集的定义（Carathéodory 条件） 为了解决上述问题，我们需要挑选出一类“性质良好”的集合，对这类集合，外测度能够满足可数可加性。这类集合就是 可测集 。 康斯坦丁·卡拉西奥多里给出了一个非常精妙的定义：一个集合 E 被称为（勒贝格）可测的，如果对于实数轴 R 的任意子集 A（通常称为测试集），都满足以下条件： \( m^ (A) = m^ (A \cap E) + m^* (A \cap E^c) \) 其中 E^c 是 E 的补集。 这个条件的直观理解是：集合 E 将任意一个测试集 A 清晰地分成了两部分——在 E 内部的 A ∩ E 和在 E 外部的 A ∩ E^c。如果 E 的边界是“规整”的，那么这种分割不会导致“重叠”或“丢失”任何长度，即 A 的总“外长度”恰好等于它被 E 分割后的两部分的“外长度”之和。 可测集的性质 所有满足上述条件的集合 E 构成的集族（称为可测集类，记作 M 或 L）具有非常好的性质： 可数可加性 ：如果 {E_ k} 是一列两两不相交的可测集，那么它们的并集也是可测的，并且 \( m(\bigcup_ {k=1}^{\infty} E_ k) = \sum_ {k=1}^{\infty} m(E_ k) \)。这里 m(E) 就是 E 的外测度 m* (E)，因为对于可测集，我们直接称其外测度为 测度 。 运算封闭性 ：可测集类对可数并、可数交、差集和取补集运算都是封闭的。也就是说，可测集经过这些运算后仍然可测。 常见集合的可测性 ：所有的开集、闭集、Borel集（由开集通过可数次并、交、差运算生成的集合）都是可测集。 重要性 可测集是构建勒贝格积分理论的基石。我们之后定义函数的积分，首先是定义在可测集上，对可测函数进行积分。可测集的性质保证了积分运算具有良好的极限性质（如勒贝格控制收敛定理）。可以说，实变函数论的核心内容就是在可测集和可测函数的框架下展开的。