随机变量的变换的Pitman渐近相对效率 我们开始讲解随机变量的变换的Pitman渐近相对效率。这是一个用于比较两个统计检验在局部备择假设下相对效能的经典理论工具。让我们从最基础的概念逐步构建理解。 第一步：统计假设检验的基本回顾 我们需要首先理解比较的对象。在假设检验中，我们通常有一个原假设 H0 和一个备择假设 H1。一个检验的“效能”是指当H1为真时，该检验正确拒绝H0的概率。我们希望比较两个检验（比如检验A和检验B）在同样的显著性水平下，哪个效能更高。然而，效能依赖于H1与H0的“距离”。Pitman效率关注的是当H1无限接近H0，但样本量n趋向于无穷时，两者的相对表现。这种“局部”比较使得分析具有普适性。 第二步：检验的局部备择框架 为了使分析可行，Pitman方法采用了一个特定的备择假设序列。假设我们检验 H0: θ = θ0。我们考虑一个依赖于样本量n的备择假设序列 H1n: θn = θ0 + δ/√n，其中δ是一个固定的非零常数。这里的δ/√n是关键：它让备择假设以1/√n的速率逼近原假设，这个速率正好是典型估计量（如MLE）的收敛速率。在这种设定下，一个好的检验的拒绝概率会收敛到一个介于显著性水平α和1之间的数。这为比较提供了“舞台”。 第三步：检验统计量的渐近分布 考虑两个用于检验H0的检验统计量T1n和T2n。在Pitman框架下，我们通常假设在原假设H0下，它们都依分布收敛到某个标准分布（如标准正态分布）。而在局部备择假设H1n下，它们通常具有“渐近正态性”： √n (Tin - μi) 依分布收敛到 N(δ * τi, σi^2)，其中i=1,2。 这里，τi被称为检验的“斜率”或“效参数”，它衡量了检验统计量对参数θ偏离的敏感度。σi是其渐近标准差。一个检验对局部偏离越敏感（τi/σi 越大），其效能越高。 第四步：Pitman渐近相对效率的定义 Pitman渐近相对效率（ARE）正式定义为：为了使两个检验达到相同的渐近效能（即相同的极限拒绝概率），它们所需样本量之比的极限。具体地，设检验A达到给定效能需要样本量n_ A，检验B需要n_ B。则检验B相对于检验A的Pitman ARE为： ARE(B, A) = lim_ {效能固定} (n_ A / n_ B)，当备择假设趋于原假设时。 可以证明，在很一般的正则条件下，这个比值等于两个检验的“渐近有效性”之比的平方。更具体地，如果两个检验在原假设下都渐近服从标准正态分布，在局部备择下都具有渐近正态性，则有： ARE(T2, T1) = ( (τ1/σ1) / (τ2/σ2) )^2 其中比值 (τ/σ) 被称为检验的“效”，衡量了信号（对偏离的敏感度τ）与噪声（标准差σ）之比。ARE > 1 意味着检验T1比T2更有效（用更少的样本达到相同效能）。 第五步：经典例子：符号检验 vs. t检验 这是阐明Pitman ARE的一个经典案例。考虑检验总体中位数θ=0。 符号检验：统计量是正观测值的个数。其斜率τ_ sign与总体密度在0处的值f(0)成正比，渐近方差σ_ sign^2是常数。 t检验：统计量是样本均值除以标准误。其斜率τ_ t与总体标准差σ成反比，渐近方差σ_ t^2是常数。 在总体为正态分布的假设下，可以计算出： ARE(符号检验, t检验) = 4 [ f(0) ]^2 σ^2 = 2/π ≈ 0.637。 这意味着，在正态总体下针对均值的局部偏移，符号检验需要大约1/0.637≈1.57倍的样本量才能达到与t检验相同的渐近效能。t检验更优。然而，如果总体是重尾分布（如柯西分布），符号检验的ARE可能大于1，即符号检验更有效。这体现了ARE如何量化不同检验对不同分布假设的敏感性。 第六步：与其它效率概念的联系与总结 Pitman ARE是“局部”效率。它不同于比较固定备择假设的“Bahadur效率”或比较大偏差行为的“Hodges-Lehmann效率”。Pitman效率的优势在于其计算相对简单，且通常能给出一个有启发性的、代表中等偏离程度下检验表现的指标。它严格依赖于之前提到的局部备择假设序列设定。其核心思想是将两个检验的渐近分布“标准化”到同一尺度下，然后比较其中心漂移与离散程度的相对大小。通过这个工具，我们可以在理论上判断和选择在轻微偏离原假设时更敏感的检验程序。 至此，您应该对 随机变量的变换的Pitman渐近相对效率 的基本思想、定义框架、计算方法和应用意义有了一个循序渐进的系统性理解。