模的纯子模与纯正合序列

字数 3956 2025-12-10 14:49:06

模的纯子模与纯正合序列

我们先从模论的基本框架开始。设 \(R\) 是一个环（通常假设为含幺结合环），\(M\) 和 \(N\) 是右 \(R\)-模。我们的核心目标是理解“纯性”这一概念，它描述了模之间的某种嵌入关系的优良性质。

第一步：从直观想法到形式定义
在模论中，一个子模 \(A \subseteq M\) 不仅仅是包含关系，我们常常关心这个包含关系如何与“张量积”操作交互。张量积 \((-) \otimes_R N\) 是一个重要的函子，但它一般不是正合的，它只保持右正合性。这意味着对于一个正合序列 \(0 \to A \xrightarrow{i} M \xrightarrow{p} M/A \to 0\)，张量后的序列 \(A \otimes_R N \xrightarrow{i \otimes 1} M \otimes_R N \xrightarrow{p \otimes 1} (M/A) \otimes_R N \to 0\) 只在右侧保持正合（即 \(p \otimes 1\) 是满射，并且 \(\text{Im}(i \otimes 1) = \text{Ker}(p \otimes 1)\)），但 \(i \otimes 1\) 本身未必是单射。

“纯性”的定义就是为了捕捉那些使得 \(i \otimes 1_N\) 对所有模 \(N\) 都是单射的嵌入。形式化地：

定义（纯子模）：设 \(A\) 是右 \(R\)-模 \(M\) 的一个子模。如果对任意左 \(R\)-模 \(N\)，诱导的同态 \(i \otimes 1_N: A \otimes_R N \to M \otimes_R N\) 是单射，则称 \(A\) 是 \(M\) 的一个纯子模，记作 \(A \subseteq_p M\)。

由于 \(i \otimes 1_N\) 是单射等价于说序列 \(0 \to A \otimes_R N \to M \otimes_R N \to (M/A) \otimes_R N \to 0\) 是正合的，因此我们也可以给出等价定义：

定义（纯正合序列）：一个短正合序列 \(0 \to A \xrightarrow{i} M \xrightarrow{p} B \to 0\) 称为纯正合的，如果对任意左 \(R\)-模 \(N\)，张量后的序列 \(0 \to A \otimes_R N \to M \otimes_R N \to B \otimes_R N \to 0\) 仍然是正合的。此时也称 \(A\) 是 \(M\) 的纯子模，且 \(B \cong M/A\)。

第二步：理解定义的实质与初步例子
这个定义的核心在于“对所有左模 \(N\) 张量后仍保持左正合性”。普通的子模嵌入（即通常的正合序列）张量后可能会“丢失”单性，产生额外的挠元或混淆。纯子模的嵌入则足够“强壮”，能抵抗这种退化。

平凡例子：

直和项：如果 \(A\) 是 \(M\) 的直和项（即存在子模 \(C\) 使得 \(M = A \oplus C\)），那么 \(A\) 是 \(M\) 的纯子模。因为张量积与直和交换，序列分裂，从而对任何 \(N\) 张量后仍是分裂正合的。
自由模与投射模的子模：并非总是纯的。例如，考虑 \(R = \mathbb{Z}\)， \(M = \mathbb{Z}\)， \(A = 2\mathbb{Z}\)。取 \(N = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)，则 \(A \otimes N = 2\mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \cong 0\)，但 \(M \otimes N = \mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)，映射 \(i \otimes 1\) 是零映射到非零模，虽是单射，但这里实际是 \(A\otimes N=0\) 到 \(M\otimes N\) 的映射，是单射。让我们看另一个经典反例：序列 \(0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{\times 2} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to 0\) 是正合的，但取 \(N=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) 张量后，得到 \(0 \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \xrightarrow{0} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \xrightarrow{\cong} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to 0\)，第一个映射不再是单射，所以这个序列不是纯正合的。这表明即使在大模是自由模的情况下，子模也未必是纯的。

第三步：纯性的等价刻画
为了更深入地理解和应用纯性，数学家们发展了许多等价刻画，其中最关键的一个与“有限方程组”的可解性有关，这提供了纯性一个更具体、更代数的描述。

定理（纯性的方程刻画）：设 \(A\) 是右 \(R\)-模 \(M\) 的子模。则 \(A \subseteq_p M\) 当且仅当：对任意正整数 \(n\)，任意有限方程组

\[ > \sum_{j=1}^{m} a_{ij} \lambda_j = x_i \quad (i=1,\dots, n; \quad x_i \in A, \quad a_{ij} \in R) > \]

如果在 \(M\) 中有解 \(\lambda_j \in M\)，那么该方程组在 \(A\) 中就已经有解（即存在 \(\lambda’_j \in A\) 使得 \(\sum_{j=1}^{m} a_{ij} \lambda’_j = x_i\)）。

这个定理非常重要，它将“对所有模张量保持单射”这个范畴论性质，转化为了一个关于系数在 \(A\) 中、变量在 \(R\) 上的线性方程组在 \(M\) 中和在 \(A\) 中可解性的关系。直观上，它说任何能被 \(M\) 中元素“线性表示”的、以 \(A\) 中元素为右端项的有限线性方程组，其解其实可以在 \(A\) 内部找到。

第四步：与模的局部有限呈现性的关联
纯性与模的“有限性条件”紧密相连。一个关键的结论是：

定理：设 \(0 \to A \to M \to B \to 0\) 是纯正合序列。如果 \(B\) 是有限表现模（即存在正合序列 \(R^m \to R^n \to B \to 0\)），那么这个短正合序列是分裂的（从而 \(A\) 是 \(M\) 的直和项）。

这个定理意味着，对于有限表现模 \(B\)，纯嵌入到另一个模中实际上必须是“平凡”的（即分裂的）。这揭示了纯性是一种在无限生成模理论中更为有趣和微妙的性质。

第五步：纯内射模与纯投射模
基于纯正合序列的概念，我们可以像定义通常的内射模和投射模那样，定义“纯”版本。

定义（纯内射模）：一个右 \(R\)-模 \(E\) 称为纯内射模（也称为代数紧模），如果对任何纯正合序列 \(0 \to A \to M \to B \to 0\)，诱导的同态序列

\[ > 0 \to \text{Hom}_R(B, E) \to \text{Hom}_R(M, E) \to \text{Hom}_R(A, E) \to 0 > \]

是正合的。换句话说，任何从纯子模 \(A\) 到 \(E\) 的同态，都可以延拓到整个大模 \(M\) 上。

定义（纯投射模）：一个右 \(R\)-模 \(P\) 称为纯投射模，如果对任何纯正合序列 \(0 \to A \to M \to B \to 0\)，诱导的同态序列

\[ > 0 \to \text{Hom}_R(P, A) \to \text{Hom}_R(P, M) \to \text{Hom}_R(P, B) \to 0 > \]

是正合的。换句话说，任何从 \(P\) 到 \(B\) 的同态，都可以通过纯满态射 \(M \to B\) 提升。

纯内射模和纯投射模是模范畴中重要的类，它们比通常的内射模和投射模更多，性质也不同于那些由分裂正合序列定义的、更严格的“内射模”和“投射模”。

第六步：纯子模与直极限的交换性
纯性还有一个非常优雅的范畴论刻画，它与模的直极限（正向极限）操作可交换。

定理：设 \(A\) 是 \(M\) 的子模。则 \(A \subseteq_p M\) 当且仅当对任意有限生成的左 \(R\)-模 \(N\)，同态 \(i \otimes 1_N: A \otimes_R N \to M \otimes_R N\) 是单射。更进一步，这等价于：对任意有限表现的左 \(R\)-模 \(N\)，同态 \(i \otimes 1_N\) 是单射。

这个定理将验证纯性的条件从“所有左模”减弱到“所有有限表现左模”，这在实际检验中非常有用。因为有限表现模的结构相对更可控。

总结来说，模的纯子模与纯正合序列是模论中研究模结构、同调维数以及范畴性质的重要工具。它们刻画了那些在张量积操作下表现特别“友好”的嵌入关系，并通过方程组可解性建立了与具体计算的桥梁，同时与模的有限表现性质、直极限以及纯内射/投射模的理论深刻地联系在一起。

模的纯子模与纯正合序列我们先从模论的基本框架开始。设 \(R\) 是一个环（通常假设为含幺结合环），\(M\) 和 \(N\) 是右 \(R\)-模。我们的核心目标是理解“纯性”这一概念，它描述了模之间的某种嵌入关系的优良性质。第一步：从直观想法到形式定义在模论中，一个子模 \(A \subseteq M\) 不仅仅是包含关系，我们常常关心这个包含关系如何与“张量积”操作交互。张量积 \((-) \otimes_ R N\) 是一个重要的函子，但它一般不是正合的，它只保持右正合性。这意味着对于一个正合序列 \(0 \to A \xrightarrow{i} M \xrightarrow{p} M/A \to 0\)，张量后的序列 \(A \otimes_ R N \xrightarrow{i \otimes 1} M \otimes_ R N \xrightarrow{p \otimes 1} (M/A) \otimes_ R N \to 0\) 只在右侧保持正合（即 \(p \otimes 1\) 是满射，并且 \(\text{Im}(i \otimes 1) = \text{Ker}(p \otimes 1)\)），但 \(i \otimes 1\) 本身未必是单射。 “纯性”的定义就是为了捕捉那些使得 \(i \otimes 1_ N\) 对所有模 \(N\) 都是单射的嵌入。形式化地：定义（纯子模）：设 \(A\) 是右 \(R\)-模 \(M\) 的一个子模。如果对任意左 \(R\)-模 \(N\)，诱导的同态 \(i \otimes 1_ N: A \otimes_ R N \to M \otimes_ R N\) 是单射，则称 \(A\) 是 \(M\) 的一个纯子模，记作 \(A \subseteq_ p M\)。由于 \(i \otimes 1_ N\) 是单射等价于说序列 \(0 \to A \otimes_ R N \to M \otimes_ R N \to (M/A) \otimes_ R N \to 0\) 是正合的，因此我们也可以给出等价定义：定义（纯正合序列）：一个短正合序列 \(0 \to A \xrightarrow{i} M \xrightarrow{p} B \to 0\) 称为纯正合的，如果对任意左 \(R\)-模 \(N\)，张量后的序列 \(0 \to A \otimes_ R N \to M \otimes_ R N \to B \otimes_ R N \to 0\) 仍然是正合的。此时也称 \(A\) 是 \(M\) 的纯子模，且 \(B \cong M/A\)。第二步：理解定义的实质与初步例子这个定义的核心在于“对所有左模 \(N\) 张量后仍保持左正合性”。普通的子模嵌入（即通常的正合序列）张量后可能会“丢失”单性，产生额外的挠元或混淆。纯子模的嵌入则足够“强壮”，能抵抗这种退化。平凡例子：直和项：如果 \(A\) 是 \(M\) 的直和项（即存在子模 \(C\) 使得 \(M = A \oplus C\)），那么 \(A\) 是 \(M\) 的纯子模。因为张量积与直和交换，序列分裂，从而对任何 \(N\) 张量后仍是分裂正合的。自由模与投射模的子模：并非总是纯的。例如，考虑 \(R = \mathbb{Z}\)， \(M = \mathbb{Z}\)， \(A = 2\mathbb{Z}\)。取 \(N = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)，则 \(A \otimes N = 2\mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \cong 0\)，但 \(M \otimes N = \mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)，映射 \(i \otimes 1\) 是零映射到非零模，虽是单射，但这里实际是 \(A\otimes N=0\) 到 \(M\otimes N\) 的映射，是单射。让我们看另一个经典反例：序列 \(0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{\times 2} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to 0\) 是正合的，但取 \(N=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) 张量后，得到 \(0 \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \xrightarrow{0} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \xrightarrow{\cong} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to 0\)，第一个映射不再是单射，所以这个序列不是纯正合的。这表明即使在大模是自由模的情况下，子模也未必是纯的。第三步：纯性的等价刻画为了更深入地理解和应用纯性，数学家们发展了许多等价刻画，其中最关键的一个与“有限方程组”的可解性有关，这提供了纯性一个更具体、更代数的描述。定理（纯性的方程刻画）：设 \(A\) 是右 \(R\)-模 \(M\) 的子模。则 \(A \subseteq_ p M\) 当且仅当：对任意正整数 \(n\)，任意有限方程组 \[ \sum_ {j=1}^{m} a_ {ij} \lambda_ j = x_ i \quad (i=1,\dots, n; \quad x_ i \in A, \quad a_ {ij} \in R) \] 如果在 \(M\) 中有解 \(\lambda_ j \in M\)，那么该方程组在 \(A\) 中就已经有解（即存在 \(\lambda’ j \in A\) 使得 \(\sum {j=1}^{m} a_ {ij} \lambda’_ j = x_ i\)）。这个定理非常重要，它将“对所有模张量保持单射”这个范畴论性质，转化为了一个关于系数在 \(A\) 中、变量在 \(R\) 上的线性方程组在 \(M\) 中和在 \(A\) 中可解性的关系。直观上，它说任何能被 \(M\) 中元素“线性表示”的、以 \(A\) 中元素为右端项的有限线性方程组，其解其实可以在 \(A\) 内部找到。第四步：与模的局部有限呈现性的关联纯性与模的“有限性条件”紧密相连。一个关键的结论是：定理：设 \(0 \to A \to M \to B \to 0\) 是纯正合序列。如果 \(B\) 是有限表现模（即存在正合序列 \(R^m \to R^n \to B \to 0\)），那么这个短正合序列是分裂的（从而 \(A\) 是 \(M\) 的直和项）。这个定理意味着，对于有限表现模 \(B\)，纯嵌入到另一个模中实际上必须是“平凡”的（即分裂的）。这揭示了纯性是一种在无限生成模理论中更为有趣和微妙的性质。第五步：纯内射模与纯投射模基于纯正合序列的概念，我们可以像定义通常的内射模和投射模那样，定义“纯”版本。定义（纯内射模）：一个右 \(R\)-模 \(E\) 称为纯内射模（也称为代数紧模），如果对任何纯正合序列 \(0 \to A \to M \to B \to 0\)，诱导的同态序列 \[ 0 \to \text{Hom}_ R(B, E) \to \text{Hom}_ R(M, E) \to \text{Hom}_ R(A, E) \to 0 \] 是正合的。换句话说，任何从纯子模 \(A\) 到 \(E\) 的同态，都可以延拓到整个大模 \(M\) 上。定义（纯投射模）：一个右 \(R\)-模 \(P\) 称为纯投射模，如果对任何纯正合序列 \(0 \to A \to M \to B \to 0\)，诱导的同态序列 \[ 0 \to \text{Hom}_ R(P, A) \to \text{Hom}_ R(P, M) \to \text{Hom}_ R(P, B) \to 0 \] 是正合的。换句话说，任何从 \(P\) 到 \(B\) 的同态，都可以通过纯满态射 \(M \to B\) 提升。纯内射模和纯投射模是模范畴中重要的类，它们比通常的内射模和投射模更多，性质也不同于那些由分裂正合序列定义的、更严格的“内射模”和“投射模”。第六步：纯子模与直极限的交换性纯性还有一个非常优雅的范畴论刻画，它与模的直极限（正向极限）操作可交换。定理：设 \(A\) 是 \(M\) 的子模。则 \(A \subseteq_ p M\) 当且仅当对任意有限生成的左 \(R\)-模 \(N\)，同态 \(i \otimes 1_ N: A \otimes_ R N \to M \otimes_ R N\) 是单射。更进一步，这等价于：对任意有限表现的左 \(R\)-模 \(N\)，同态 \(i \otimes 1_ N\) 是单射。这个定理将验证纯性的条件从“所有左模”减弱到“所有有限表现左模”，这在实际检验中非常有用。因为有限表现模的结构相对更可控。总结来说，模的纯子模与纯正合序列是模论中研究模结构、同调维数以及范畴性质的重要工具。它们刻画了那些在张量积操作下表现特别“友好”的嵌入关系，并通过方程组可解性建立了与具体计算的桥梁，同时与模的有限表现性质、直极限以及纯内射/投射模的理论深刻地联系在一起。