哈尔测度的模与离散性（Modulus and Discreteness of Haar Measure）
字数 3134 2025-12-10 13:32:17

哈尔测度的模与离散性（Modulus and Discreteness of Haar Measure）

我将为您讲解哈尔测度中关于“模”的一个重要概念及其与局部紧群离散性的联系。这个概念是调和分析与拓扑群理论中的重要工具。

第一步：回顾哈尔测度的基本设定

首先，我们需要明确讨论的框架：

  1. 设 \(G\) 是一个局部紧豪斯多夫拓扑群。这意味着：
    • \(G\) 是一个群（具有乘法运算和单位元 \(e\) \)）。
    • \(G\) 上有一个拓扑，使得群运算（乘法和取逆）是连续的。
    • 这个拓扑是局部紧的（每点有紧邻域）和豪斯多夫的（满足分离性）。
  2. 在 \(G\) 上存在一个哈尔测度 \(\mu\)，它是正则的博雷尔测度，且在左平移下不变：

\[ \mu( gB ) = \mu(B) \quad \text{对所有 } g \in G, \ B \subseteq G \text{ 博雷尔集}. \]

第二步：引入哈尔测度的“模函数”

哈尔测度的关键特征之一是“左不变性”，但若考虑右平移，情况就不同了：

  • 对固定的 \(g \in G\)，定义右平移变换 \(R_g: G \to G\) 为 \(R_g(x) = xg\)。
  • 将测度 \(\mu\) 用右平移拉回：定义新测度 \(\mu_g(B) = \mu(Bg) = \mu(R_g(B))\)。
  • 可以验证 \(\mu_g\) 也是一个左不变的哈尔测度（因为左平移与右平移可交换）。
  • 由哈尔测度的唯一性（相差一个正常数因子），存在一个正数 \(\Delta(g) > 0\) 使得：

\[ \mu_g = \Delta(g) \cdot \mu, \quad \text{即 } \mu(Bg) = \Delta(g) \, \mu(B) \ \text{对所有博雷尔集 } B. \]

这个函数 \(\Delta: G \to (0, \infty)\) 称为模函数（modular function）。

第三步：模函数的基本性质

  1. 同态性：\(\Delta\) 是 \(G\) 到乘法群 \((0, \infty)\) 的连续群同态，即：

\[ \Delta(gh) = \Delta(g) \Delta(h), \quad \Delta(e)=1, \quad \Delta(g^{-1}) = \Delta(g)^{-1}. \]

  1. 计算公式：对任意可积函数 \(f\) 有：

\[ \int_G f(xg^{-1}) \, d\mu(x) = \Delta(g) \int_G f(x) \, d\mu(x). \]

  1. 右哈尔测度：若定义右哈尔测度 \(\nu(B) = \mu(B^{-1})\)，则它与左哈尔测度的关系为：

\[ d\nu(x) = \Delta(x^{-1}) \, d\mu(x). \]

第四步：幺模群（Unimodular Groups）

  • 如果 \(\Delta(g) \equiv 1\) 对一切 \(g \in G\) 成立，则称 \(G\) 是幺模的（unimodular）。此时左哈尔测度也是右哈尔测度的。
  • 例子：
    • 交换局部紧群（如 \(\mathbb{R}^n\)、环面、有限群）。
    • 紧群（因为 \(\Delta(G)\) 是紧的乘法子群，只能是 \(\{1\}\) ）。
    • 离散群（见下）。
    • 半单李群。

第五步：离散群的哈尔测度与模

现在进入核心：考虑 \(G\) 是离散群的情况。

  1. 离散拓扑：离散群是指群 \(G\) 装备了离散拓扑（每个子集都是开集）。显然它是局部紧的（每点是开集，因此是紧邻域）。
  2. 离散群的哈尔测度：在离散拓扑下，计数测度 \(\mu_{\text{count}}(A) = |A|\)（集合的基数）是 \(G\) 上的哈尔测度：
    • 它是左不变的：\(|gA| = |A|\)。
    • 它也是右不变的：\(|Ag| = |A|\)。
  3. 离散群的幺模性：由上述左右不变性，立即得到 \(\Delta(g) \equiv 1\)。因此所有离散群都是幺模的。
  4. 离散性与模的关系：
    • 更一般地，若拓扑群 \(G\) 是不连通的（特别是完全断开连接的群），其模函数在包含单位元的连通分支上为 1。离散群是完全断开连接的特例。
    • 对于局部紧群，紧生成且具有多项式体积增长的群是幺模的。离散群若满足这些条件（如有限生成且多项式增长的离散群，例如 \(\mathbb{Z}^n\) ），自然也是幺模的。

第六步：模与群的结构

  1. 闭正规子群与商群：若 \(H \triangleleft G\) 是闭正规子群，则 \(G/H\) 的模函数与 \(G\) 的模函数相关：

\[ \Delta_{G/H}(gH) = \frac{\Delta_G(g)}{\Delta_H(g)}. \]

对于离散群 \(H\)，由于 \(\Delta_H \equiv 1\)，所以 \(\Delta_{G/H}(gH) = \Delta_G(g)\)。
2. 半直积的模：若 \(G = N \rtimes H\)，则 \(\Delta_G(n, h) = \Delta_N(n) \cdot \Delta_H(h) \cdot \delta(h)\)，其中 \(\delta(h)\) 是 \(h\) 在 \(N\) 上诱导的自同构的模。当 \(N\) 离散时，\(\Delta_N \equiv 1\)，公式简化。

第七步：应用：离散群的调和分析

由于离散群是幺模的，其调和分析更为简单：

  • 在离散群上，左正则表示与右正则表示在 \(L^2(G)\) 上是酉等价的。
  • 对于离散群，哈尔测度（计数测度）使得 \(L^p\) 空间具有简单结构，特别是 \(L^2(G)\) 是序列空间 \(\ell^2(G)\)。
  • 傅里叶分析在离散群（如整数群 \(\mathbb{Z}\)、有限群）上成为离散傅里叶变换的基础。

第八步：更深层的联系：离散性与非幺模性

虽然离散群本身总是幺模的，但我们可以考虑离散子群（离散拓扑子群）在非离散的父群中的性质：

  • 若 \(H\) 是 \(G\) 的离散子群，则 \(H\) 在 \(G\) 中可能有有限不变测度当且仅当 \(\Delta_G|_H \equiv 1\)。这联系到西格尔区域和格（lattice）理论。
  • 例如，\(SL(2,\mathbb{R})\) 不是幺模的，但其离散子群如 \(SL(2,\mathbb{Z})\) 在 \(SL(2,\mathbb{R})\) 上的商空间可以具有有限不变测度，因为 \(SL(2,\mathbb{Z})\) 是离散的（但注意 \(SL(2,\mathbb{Z})\) 本身作为离散群是幺模的，而 \(SL(2,\mathbb{R})\) 的模函数限制在 \(SL(2,\mathbb{Z})\) 上是平凡的）。

总结：
哈尔测度的模函数衡量了左哈尔测度在右平移下的失真程度。离散群因其计数测度既是左不变也是右不变的，所以其模函数恒为 1，即离散群是幺模的。这一性质简化了离散群上的调和分析，并在研究离散子群与连续群的相互作用中扮演关键角色。

哈尔测度的模与离散性（Modulus and Discreteness of Haar Measure） 我将为您讲解哈尔测度中关于“模”的一个重要概念及其与局部紧群离散性的联系。这个概念是调和分析与拓扑群理论中的重要工具。 第一步：回顾哈尔测度的基本设定 首先，我们需要明确讨论的框架： 设 \( G \) 是一个 局部紧豪斯多夫拓扑群 。这意味着： \( G \) 是一个群（具有乘法运算和单位元 \( e \) \)）。 \( G \) 上有一个拓扑，使得群运算（乘法和取逆）是连续的。 这个拓扑是局部紧的（每点有紧邻域）和豪斯多夫的（满足分离性）。 在 \( G \) 上存在一个 哈尔测度 \( \mu \)，它是正则的博雷尔测度，且在左平移下不变： \[ \mu( gB ) = \mu(B) \quad \text{对所有 } g \in G, \ B \subseteq G \text{ 博雷尔集}. \] 第二步：引入哈尔测度的“模函数” 哈尔测度的关键特征之一是“左不变性”，但若考虑 右平移 ，情况就不同了： 对固定的 \( g \in G \)，定义右平移变换 \( R_ g: G \to G \) 为 \( R_ g(x) = xg \)。 将测度 \( \mu \) 用右平移拉回：定义新测度 \( \mu_ g(B) = \mu(Bg) = \mu(R_ g(B)) \)。 可以验证 \( \mu_ g \) 也是一个左不变的哈尔测度（因为左平移与右平移可交换）。 由哈尔测度的 唯一性 （相差一个正常数因子），存在一个正数 \( \Delta(g) > 0 \) 使得： \[ \mu_ g = \Delta(g) \cdot \mu, \quad \text{即 } \mu(Bg) = \Delta(g) \, \mu(B) \ \text{对所有博雷尔集 } B. \] 这个函数 \( \Delta: G \to (0, \infty) \) 称为 模函数 （modular function）。 第三步：模函数的基本性质 同态性 ：\( \Delta \) 是 \( G \) 到乘法群 \( (0, \infty) \) 的连续群同态，即： \[ \Delta(gh) = \Delta(g) \Delta(h), \quad \Delta(e)=1, \quad \Delta(g^{-1}) = \Delta(g)^{-1}. \] 计算公式 ：对任意可积函数 \( f \) 有： \[ \int_ G f(xg^{-1}) \, d\mu(x) = \Delta(g) \int_ G f(x) \, d\mu(x). \] 右哈尔测度 ：若定义右哈尔测度 \( \nu(B) = \mu(B^{-1}) \)，则它与左哈尔测度的关系为： \[ d\nu(x) = \Delta(x^{-1}) \, d\mu(x). \] 第四步：幺模群（Unimodular Groups） 如果 \( \Delta(g) \equiv 1 \) 对一切 \( g \in G \) 成立，则称 \( G \) 是 幺模的 （unimodular）。此时左哈尔测度也是右哈尔测度的。 例子： 交换局部紧群（如 \( \mathbb{R}^n \)、环面、有限群）。 紧群（因为 \( \Delta(G) \) 是紧的乘法子群，只能是 \( \{1\} \) ）。 离散群（见下）。 半单李群。 第五步：离散群的哈尔测度与模 现在进入核心：考虑 \( G \) 是 离散群 的情况。 离散拓扑 ：离散群是指群 \( G \) 装备了离散拓扑（每个子集都是开集）。显然它是局部紧的（每点是开集，因此是紧邻域）。 离散群的哈尔测度 ：在离散拓扑下，计数测度 \( \mu_ {\text{count}}(A) = |A| \)（集合的基数）是 \( G \) 上的哈尔测度： 它是左不变的：\( |gA| = |A| \)。 它也是右不变的：\( |Ag| = |A| \)。 离散群的幺模性 ：由上述左右不变性，立即得到 \( \Delta(g) \equiv 1 \)。因此 所有离散群都是幺模的 。 离散性与模的关系 ： 更一般地，若拓扑群 \( G \) 是 不连通的 （特别是完全断开连接的群），其模函数在包含单位元的连通分支上为 1。离散群是完全断开连接的特例。 对于局部紧群， 紧生成且具有多项式体积增长的群是幺模的 。离散群若满足这些条件（如有限生成且多项式增长的离散群，例如 \( \mathbb{Z}^n \) ），自然也是幺模的。 第六步：模与群的结构 闭正规子群与商群 ：若 \( H \triangleleft G \) 是闭正规子群，则 \( G/H \) 的模函数与 \( G \) 的模函数相关： \[ \Delta_ {G/H}(gH) = \frac{\Delta_ G(g)}{\Delta_ H(g)}. \] 对于离散群 \( H \)，由于 \( \Delta_ H \equiv 1 \)，所以 \( \Delta_ {G/H}(gH) = \Delta_ G(g) \)。 半直积的模 ：若 \( G = N \rtimes H \)，则 \( \Delta_ G(n, h) = \Delta_ N(n) \cdot \Delta_ H(h) \cdot \delta(h) \)，其中 \( \delta(h) \) 是 \( h \) 在 \( N \) 上诱导的自同构的模。当 \( N \) 离散时，\( \Delta_ N \equiv 1 \)，公式简化。 第七步：应用：离散群的调和分析 由于离散群是幺模的，其调和分析更为简单： 在离散群上，左正则表示与右正则表示在 \( L^2(G) \) 上是酉等价的。 对于离散群，哈尔测度（计数测度）使得 \( L^p \) 空间具有简单结构，特别是 \( L^2(G) \) 是序列空间 \( \ell^2(G) \)。 傅里叶分析在离散群（如整数群 \( \mathbb{Z} \)、有限群）上成为离散傅里叶变换的基础。 第八步：更深层的联系：离散性与非幺模性 虽然离散群本身总是幺模的，但我们可以考虑 离散子群 （离散拓扑子群）在非离散的父群中的性质： 若 \( H \) 是 \( G \) 的离散子群，则 \( H \) 在 \( G \) 中可能有 有限不变测度 当且仅当 \( \Delta_ G|_ H \equiv 1 \)。这联系到 西格尔区域 和 格 （lattice）理论。 例如，\( SL(2,\mathbb{R}) \) 不是幺模的，但其离散子群如 \( SL(2,\mathbb{Z}) \) 在 \( SL(2,\mathbb{R}) \) 上的商空间可以具有有限不变测度，因为 \( SL(2,\mathbb{Z}) \) 是离散的（但注意 \( SL(2,\mathbb{Z}) \) 本身作为离散群是幺模的，而 \( SL(2,\mathbb{R}) \) 的模函数限制在 \( SL(2,\mathbb{Z}) \) 上是平凡的）。 总结 ： 哈尔测度的 模函数 衡量了左哈尔测度在右平移下的失真程度。 离散群 因其计数测度既是左不变也是右不变的，所以其模函数恒为 1，即离散群是 幺模的 。这一性质简化了离散群上的调和分析，并在研究离散子群与连续群的相互作用中扮演关键角色。