高斯映射的微分与魏因加滕映射
字数 4647 2025-12-10 13:15:52

高斯映射的微分与魏因加滕映射

我们先从曲面的定向和法向量回顾开始。

  1. 曲面的定向与单位法向量场
  • 考虑三维空间 \(\mathbb{R}^3\) 中一张光滑的参数化曲面 \(S: \mathbf{r}(u, v)\)。假设曲面是可定向的，这意味着我们可以在整个曲面上连续、一致地指定一个单位法向量。
  • 单位法向量 \(\mathbf{N}\) 可以通过曲面的偏导向量叉积得到并归一化：

\[ \mathbf{N} = \frac{\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v}{\|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\|} \]

其中 \(\mathbf{r}_u = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}, \mathbf{r}_v = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\)。

  • 这个映射 \(\mathbf{N}: S \to \mathbb{R}^3\) 将曲面 \(S\) 上的每一点 \(p\)，映射到该点处的单位法向量。注意到 \(\mathbf{N}(p)\) 的终点总是落在单位球面 \(\mathbb{S}^2\) 上。
  1. 高斯映射的定义
    • 基于上述，我们可以定义高斯映射（Gauss map）：

\[ G: S \to \mathbb{S}^2, \quad G(p) = \mathbf{N}(p). \]

  • 几何上，高斯映射将曲面 \(S\) 上每一点的法向量“平移”到单位球面的球心，使其起点都在球心，终点落在球面上。这样，曲面 \(S\) 的“弯曲信息”或“法向变化信息”就被编码到球面 \(\mathbb{S}^2\) 上的点集 \(G(S)\) 中。
    • 例如，对于平面，所有法向量都平行，其高斯映射将整个平面映为球面上的一个点。对于圆柱面，所有法向量都与轴线垂直，其高斯映射将圆柱面映为球面上的一个大圆。
  1. 高斯映射的微分（几何意义）
  • 高斯映射 \(G\) 本身是一个光滑映射。我们可以考虑它在某点 \(p \in S\) 的微分（或称切映射）：

\[ dG_p: T_p S \to T_{G(p)} \mathbb{S}^2. \]

这里 \(T_p S\) 是曲面 \(S\) 在点 \(p\) 的切空间，\(T_{G(p)} \mathbb{S}^2\) 是单位球面在点 \(G(p) = \mathbf{N}(p)\) 的切空间。

  • 关键观察：由于 \(\mathbf{N}(p)\) 本身是单位向量，且与切空间 \(T_p S\) 垂直，而 \(T_{G(p)} \mathbb{S}^2\) 是垂直于向量 \(\mathbf{N}(p)\) 的平面。因此，这两个切空间是平行的：

\[ T_p S \parallel T_{G(p)} \mathbb{S}^2. \]

实际上，它们可以自然地被等同起来。所以，微分 \(dG_p\) 可以看作一个从切空间 \(T_p S\) 到它自身的线性变换：

\[ dG_p: T_p S \to T_p S. \]

  1. 魏因加滕映射（Weingarten Map）的定义与计算
  • 这个从切空间到自身的线性变换 \(dG_p\) 有一个专门的名字，叫做曲面在点 \(p\) 的魏因加滕映射（或称形状算子）。
  • 我们如何具体计算它呢？考虑切空间中的一个切向量 \(\mathbf{v} \in T_p S\)。我们可以用曲线来刻画：设 \(\alpha(t)\) 是曲面上过点 \(p = \alpha(0)\) 的一条曲线，且其切向量 \(\alpha'(0) = \mathbf{v}\)。
  • 高斯映射将这条曲线映为球面上的曲线 \(G(\alpha(t)) = \mathbf{N}(\alpha(t))\)。根据微分的定义，\(dG_p(\mathbf{v})\) 就是球面上这条曲线在 \(t=0\) 时的切向量：

\[ dG_p(\mathbf{v}) = \frac{d}{dt} \mathbf{N}(\alpha(t)) \big|_{t=0}. \]

  • 由于 \(\mathbf{N}\) 是曲面上的函数，我们可以直接用方向导数表示。设 \(\mathbf{v} = a \mathbf{r}_u + b \mathbf{r}_v\)，则：

\[ dG_p(\mathbf{v}) = D_{\mathbf{v}} \mathbf{N} = a \mathbf{N}_u + b \mathbf{N}_v. \]

这里 \(\mathbf{N}_u = \frac{\partial \mathbf{N}}{\partial u}, \mathbf{N}_v = \frac{\partial \mathbf{N}}{\partial v}\)，而 \(D_{\mathbf{v}} \mathbf{N}\) 表示法向量场 \(\mathbf{N}\) 沿切向 \(\mathbf{v}\) 的方向导数。

  • 重要事实：\(\mathbf{N}_u\) 和 \(\mathbf{N}_v\) 本身是切向量。因为 \(\mathbf{N} \cdot \mathbf{N} = 1\)，两边对 \(u\) 求导得 \(2 \mathbf{N} \cdot \mathbf{N}_u = 0\)，所以 \(\mathbf{N}_u \perp \mathbf{N}\)，即 \(\mathbf{N}_u \in T_p S\)。同理 \(\mathbf{N}_v \in T_p S\)。
  1. 魏因加滕映射的矩阵表示（与第二基本形式的关系）
  • 在切空间 \(T_p S\) 中选取一组基 \(\{ \mathbf{r}_u, \mathbf{r}_v \}\)。我们要找到魏因加滕映射 \(dG_p\) 在这组基下的矩阵 \(W\)。
    • 设：

\[ dG_p(\mathbf{r}_u) = \mathbf{N}_u = a_{11} \mathbf{r}_u + a_{21} \mathbf{r}_v, \]

\[ dG_p(\mathbf{r}_v) = \mathbf{N}_v = a_{12} \mathbf{r}_u + a_{22} \mathbf{r}_v. \]

则矩阵 \(W = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\)。

  • 为了确定系数 \(a_{ij}\)，我们利用第二基本形式的定义。回忆第二基本形式的系数为：

\[ L = \mathbf{r}_{uu} \cdot \mathbf{N}, \quad M = \mathbf{r}_{uv} \cdot \mathbf{N}, \quad N = \mathbf{r}_{vv} \cdot \mathbf{N}. \]

  • 对等式 \(\mathbf{r}_u \cdot \mathbf{N} = 0\) 两边关于 \(u\) 求导：

\[ \mathbf{r}_{uu} \cdot \mathbf{N} + \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{N}_u = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{N}_u = -L. \]

同理，对 \(\mathbf{r}_u \cdot \mathbf{N} = 0\) 关于 \(v\) 求导，以及对 \(\mathbf{r}_v \cdot \mathbf{N} = 0\) 分别求导，可得：

\[ \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{N}_v = \mathbf{r}_v \cdot \mathbf{N}_u = -M, \quad \mathbf{r}_v \cdot \mathbf{N}_v = -N. \]

  • 现在，用 \(\mathbf{r}_u\) 点乘 \(\mathbf{N}_u = a_{11} \mathbf{r}_u + a_{21} \mathbf{r}_v\) 两边：

\[ \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{N}_u = a_{11} (\mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_u) + a_{21} (\mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_v). \]

即 \(-L = a_{11} E + a_{21} F\)，其中 \(E, F, G\) 是第一基本形式的系数。

  • 类似地，用 \(\mathbf{r}_v\) 点乘同一式，以及用 \(\mathbf{r}_u, \mathbf{r}_v\) 分别点乘 \(\mathbf{N}_v\) 的表达式，我们得到一个线性方程组。写成矩阵形式就是：

\[ -\begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}^T. \]

注意，这里的 \((a_{ij})^T\) 是我们要的矩阵 \(W\) 的转置。更常见地，我们得到魏因加滕映射的矩阵表示为：

\[ W = -\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix}. \]

    这是一个非常重要的公式，它用曲面的第一、第二基本形式的系数明确给出了魏因加滕映射。
  1. 魏因加滕映射的几何意义与不变量
  • 魏因加滕映射 \(dG_p\) 是一个线性自映射，它衡量了单位法向量场沿各个切方向的变化率，即曲面法向的“扭转”或“弯曲”速率。
  • 它的两个特征值 \(k_1, k_2\) 正是曲面在该点的主曲率。
  • 它的行列式 \(\det(dG_p) = k_1 k_2\) 是高斯曲率 \(K\)。
  • 它的迹的一半 \(\frac{1}{2} \text{tr}(dG_p) = \frac{k_1 + k_2}{2}\) 是平均曲率 \(H\)。
    • 因此，高斯映射的微分（即魏因加滕映射）是提取曲面局部弯曲核心信息（主曲率、高斯曲率、平均曲率）的关键代数工具。它将曲面内在的弯曲变化，转化为其切空间上的一个线性变换来研究。
高斯映射的微分与魏因加滕映射 我们先从曲面的定向和法向量回顾开始。 曲面的定向与单位法向量场 考虑三维空间 \( \mathbb{R}^3 \) 中一张光滑的参数化曲面 \( S: \mathbf{r}(u, v) \)。假设曲面是 可定向 的，这意味着我们可以在整个曲面上连续、一致地指定一个 单位法向量 。 单位法向量 \( \mathbf{N} \) 可以通过曲面的偏导向量叉积得到并归一化： \[ \mathbf{N} = \frac{\mathbf{r}_ u \times \mathbf{r}_ v}{\|\mathbf{r}_ u \times \mathbf{r}_ v\|} \] 其中 \( \mathbf{r}_ u = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}, \mathbf{r}_ v = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \)。 这个映射 \( \mathbf{N}: S \to \mathbb{R}^3 \) 将曲面 \( S \) 上的每一点 \( p \)，映射到该点处的单位法向量。注意到 \( \mathbf{N}(p) \) 的终点总是落在单位球面 \( \mathbb{S}^2 \) 上。 高斯映射的定义 基于上述，我们可以定义 高斯映射 （Gauss map）： \[ G: S \to \mathbb{S}^2, \quad G(p) = \mathbf{N}(p). \] 几何上，高斯映射将曲面 \( S \) 上每一点的法向量“平移”到单位球面的球心，使其起点都在球心，终点落在球面上。这样，曲面 \( S \) 的“弯曲信息”或“法向变化信息”就被编码到球面 \( \mathbb{S}^2 \) 上的点集 \( G(S) \) 中。 例如，对于平面，所有法向量都平行，其高斯映射将整个平面映为球面上的一个点。对于圆柱面，所有法向量都与轴线垂直，其高斯映射将圆柱面映为球面上的一个大圆。 高斯映射的微分（几何意义） 高斯映射 \( G \) 本身是一个光滑映射。我们可以考虑它在某点 \( p \in S \) 的 微分 （或称切映射）： \[ dG_ p: T_ p S \to T_ {G(p)} \mathbb{S}^2. \] 这里 \( T_ p S \) 是曲面 \( S \) 在点 \( p \) 的 切空间 ，\( T_ {G(p)} \mathbb{S}^2 \) 是单位球面在点 \( G(p) = \mathbf{N}(p) \) 的切空间。 关键观察：由于 \( \mathbf{N}(p) \) 本身是单位向量，且与切空间 \( T_ p S \) 垂直，而 \( T_ {G(p)} \mathbb{S}^2 \) 是垂直于向量 \( \mathbf{N}(p) \) 的平面。因此， 这两个切空间是平行的 ： \[ T_ p S \parallel T_ {G(p)} \mathbb{S}^2. \] 实际上，它们可以自然地被 等同 起来。所以，微分 \( dG_ p \) 可以看作一个 从切空间 \( T_ p S \) 到它自身 的线性变换： \[ dG_ p: T_ p S \to T_ p S. \] 魏因加滕映射（Weingarten Map）的定义与计算 这个从切空间到自身的线性变换 \( dG_ p \) 有一个专门的名字，叫做曲面在点 \( p \) 的 魏因加滕映射 （或称形状算子）。 我们如何具体计算它呢？考虑切空间中的一个切向量 \( \mathbf{v} \in T_ p S \)。我们可以用曲线来刻画：设 \( \alpha(t) \) 是曲面上过点 \( p = \alpha(0) \) 的一条曲线，且其切向量 \( \alpha'(0) = \mathbf{v} \)。 高斯映射将这条曲线映为球面上的曲线 \( G(\alpha(t)) = \mathbf{N}(\alpha(t)) \)。根据微分的定义，\( dG_ p(\mathbf{v}) \) 就是球面上这条曲线在 \( t=0 \) 时的切向量： \[ dG_ p(\mathbf{v}) = \frac{d}{dt} \mathbf{N}(\alpha(t)) \big|_ {t=0}. \] 由于 \( \mathbf{N} \) 是曲面上的函数，我们可以直接用方向导数表示。设 \( \mathbf{v} = a \mathbf{r}_ u + b \mathbf{r} v \)，则： \[ dG_ p(\mathbf{v}) = D {\mathbf{v}} \mathbf{N} = a \mathbf{N}_ u + b \mathbf{N}_ v. \] 这里 \( \mathbf{N}_ u = \frac{\partial \mathbf{N}}{\partial u}, \mathbf{N} v = \frac{\partial \mathbf{N}}{\partial v} \)，而 \( D {\mathbf{v}} \mathbf{N} \) 表示法向量场 \( \mathbf{N} \) 沿切向 \( \mathbf{v} \) 的方向导数。 重要事实：\( \mathbf{N}_ u \) 和 \( \mathbf{N}_ v \) 本身是 切向量 。因为 \( \mathbf{N} \cdot \mathbf{N} = 1 \)，两边对 \( u \) 求导得 \( 2 \mathbf{N} \cdot \mathbf{N}_ u = 0 \)，所以 \( \mathbf{N}_ u \perp \mathbf{N} \)，即 \( \mathbf{N}_ u \in T_ p S \)。同理 \( \mathbf{N}_ v \in T_ p S \)。 魏因加滕映射的矩阵表示（与第二基本形式的关系） 在切空间 \( T_ p S \) 中选取一组基 \( \{ \mathbf{r}_ u, \mathbf{r}_ v \} \)。我们要找到魏因加滕映射 \( dG_ p \) 在这组基下的矩阵 \( W \)。 设： \[ dG_ p(\mathbf{r} u) = \mathbf{N} u = a {11} \mathbf{r} u + a {21} \mathbf{r} v, \] \[ dG_ p(\mathbf{r} v) = \mathbf{N} v = a {12} \mathbf{r} u + a {22} \mathbf{r} v. \] 则矩阵 \( W = \begin{pmatrix} a {11} & a {12} \\ a {21} & a {22} \end{pmatrix} \)。 为了确定系数 \( a_ {ij} \)，我们利用 第二基本形式 的定义。回忆第二基本形式的系数为： \[ L = \mathbf{r} {uu} \cdot \mathbf{N}, \quad M = \mathbf{r} {uv} \cdot \mathbf{N}, \quad N = \mathbf{r}_ {vv} \cdot \mathbf{N}. \] 对等式 \( \mathbf{r} u \cdot \mathbf{N} = 0 \) 两边关于 \( u \) 求导： \[ \mathbf{r} {uu} \cdot \mathbf{N} + \mathbf{r}_ u \cdot \mathbf{N}_ u = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{r}_ u \cdot \mathbf{N}_ u = -L. \] 同理，对 \( \mathbf{r}_ u \cdot \mathbf{N} = 0 \) 关于 \( v \) 求导，以及对 \( \mathbf{r}_ v \cdot \mathbf{N} = 0 \) 分别求导，可得： \[ \mathbf{r}_ u \cdot \mathbf{N}_ v = \mathbf{r}_ v \cdot \mathbf{N}_ u = -M, \quad \mathbf{r}_ v \cdot \mathbf{N}_ v = -N. \] 现在，用 \( \mathbf{r}_ u \) 点乘 \( \mathbf{N} u = a {11} \mathbf{r} u + a {21} \mathbf{r}_ v \) 两边： \[ \mathbf{r}_ u \cdot \mathbf{N} u = a {11} (\mathbf{r}_ u \cdot \mathbf{r} u) + a {21} (\mathbf{r} u \cdot \mathbf{r} v). \] 即 \( -L = a {11} E + a {21} F \)，其中 \( E, F, G \) 是第一基本形式的系数。 类似地，用 \( \mathbf{r} v \) 点乘同一式，以及用 \( \mathbf{r} u, \mathbf{r} v \) 分别点乘 \( \mathbf{N} v \) 的表达式，我们得到一个线性方程组。写成矩阵形式就是： \[ -\begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a {11} & a {12} \\ a {21} & a {22} \end{pmatrix}^T. \] 注意，这里的 \( (a_ {ij})^T \) 是我们要的矩阵 \( W \) 的转置。更常见地，我们得到魏因加滕映射的矩阵表示为： \[ W = -\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix}. \] 这是一个非常重要的公式，它用曲面的第一、第二基本形式的系数明确给出了魏因加滕映射。 魏因加滕映射的几何意义与不变量 魏因加滕映射 \( dG_ p \) 是一个线性自映射，它衡量了 单位法向量场沿各个切方向的变化率 ，即曲面法向的“扭转”或“弯曲”速率。 它的两个特征值 \( k_ 1, k_ 2 \) 正是曲面在该点的主曲率。 它的行列式 \( \det(dG_ p) = k_ 1 k_ 2 \) 是高斯曲率 \( K \)。 它的迹的一半 \( \frac{1}{2} \text{tr}(dG_ p) = \frac{k_ 1 + k_ 2}{2} \) 是平均曲率 \( H \)。 因此，高斯映射的微分（即魏因加滕映射）是提取曲面局部弯曲核心信息（主曲率、高斯曲率、平均曲率）的关键代数工具。它将曲面内在的弯曲变化，转化为其切空间上的一个线性变换来研究。