热传导方程
热传导方程是描述热量在介质中扩散过程的偏微分方程。我将从物理背景开始，逐步深入到方程的数学形式、求解方法和物理意义。
第一步：物理背景与直观理解
想象一根烧红的铁棍的一端。随着时间的推移，热量会从高温端（你手持的一端）向低温端传递，最终整根铁棍都会变烫。这个热量从高温区域向低温区域扩散的现象，就是热传导。热传导方程的核心目标是找到一个函数 \(u(\mathbf{x}, t)\)，它表示在时间 \(t\) 和空间点 \(\mathbf{x}\) 处的温度。它的关键物理直觉是：热量会从温度高的地方“流向”温度低的地方，并且温度变化的速度与相邻区域的温度差成正比。
第二步：一维情形的方程推导
我们从最简单的一维情况开始，比如一根细长的金属杆。考虑傅里叶热传导定律：单位时间内通过单位面积的热量（热流密度 \(q\) ）与温度梯度成正比，但方向相反（热量流向温度低的方向）。数学表达为：
\(q = -k \frac{\partial u}{\partial x}\)
其中 \(k > 0\) 是热导率，负号表示热流方向与温度升高方向相反。
现在，我们在杆上取一个微小区间 \([x, x+\Delta x]\)。根据能量守恒定律，该区间内热量的增加率等于从两端流入的净热量。
- 从左边 \(x\) 处流入的热量速率： \(-q(x, t)A\) （A是横截面积）
- 从右边 \(x+\Delta x\) 处流出的热量速率： \(-q(x+\Delta x, t)A\) （注意符号约定，流出为负）
- 因此，净流入热量速率： \([q(x, t) - q(x+\Delta x, t)]A\)
这些净流入的热量会导致该区间内温度升高。区间内热量的增加速率为：
\(c \rho A \Delta x \frac{\partial u}{\partial t}\)
其中 \(c\) 是比热容，\(\rho\) 是密度。
根据能量守恒：
\(c \rho A \Delta x \frac{\partial u}{\partial t} = [q(x, t) - q(x+\Delta x, t)]A\)
两边除以 \(A \Delta x\) 并令 \(\Delta x \to 0\)：
\(c \rho \frac{\partial u}{\partial t} = -\frac{\partial q}{\partial x}\)
将傅里叶定律 \(q = -k \frac{\partial u}{\partial x}\) 代入上式：
\(c \rho \frac{\partial u}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial x}(-k \frac{\partial u}{\partial x}) = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)
整理后得到一维齐次热传导方程：
\(\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)
其中 \(\alpha = \frac{k}{c\rho}\) 是一个常数，称为热扩散率，它表征材料扩散热量的能力。
第三步：推广到高维与方程的一般形式
上述原理可以推广到二维平面和三维空间。三维空间中的热传导方程为：
\(\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right) = \alpha \nabla^2 u\)
这里 \(\nabla^2\) 是拉普拉斯算子。如果系统内部有热源（如通电发热），则方程变为非齐次形式：
\(\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u + f(\mathbf{x}, t)\)
其中 \(f(\mathbf{x}, t)\) 代表热源项。
第四步：定解条件——使问题完整
热传导方程本身只给出了温度变化的普遍规律。要确定一个特定物理情景下的温度分布，我们必须附加定解条件，包括：
- 初始条件： 描述整个系统在初始时刻 \(t=0\) 的温度分布。
\(u(\mathbf{x}, 0) = \varphi(\mathbf{x})\) - 边界条件： 描述在求解区域的边界上温度或热流的情况。常见的有三类：
- 第一类（狄利克雷条件）： 直接给定边界上的温度。例如，\(u|_{边界} = g(t)\)。
- 第二类（诺伊曼条件）： 给定边界上的热流（即温度的法向导数）。例如，\(\frac{\partial u}{\partial n}|_{边界} = h(t)\)。特别地，如果 \(h(t) = 0\)，表示边界是绝热的。
- 第三类（罗宾条件）： 给定边界上与周围介质的对流换热。例如，\(-k\frac{\partial u}{\partial n}|_{边界} = H(u - u_{\text{环境}})\)。
第五步：一个经典解法——分离变量法简介
以一维无热源杆为例，两端温度保持为0（第一类边界条件）：
\(u_t = \alpha u_{xx}, \quad 0 < x < L, \quad t > 0\)
\(u(0, t) = 0, \quad u(L, t) = 0\)
\(u(x, 0) = \varphi(x)\)
我们尝试寻找具有变量分离形式的解：\(u(x, t) = X(x)T(t)\)。代入方程：
\(X(x)T'(t) = \alpha X''(x)T(t)\)
两边除以 \(\alpha X(x)T(t)\)：
\(\frac{T'(t)}{\alpha T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda\) （因为左边仅是t的函数，右边仅是x的函数，所以它们必须等于同一个常数 \(-\lambda\)）
由此得到两个常微分方程：
- \(T'(t) + \alpha \lambda T(t) = 0\)
- \(X''(x) + \lambda X(x) = 0\)，边界条件变为 \(X(0) = 0, X(L) = 0\)。
解第二个关于 \(X(x)\) 的特征值问题，只有当 \(\lambda = (\frac{n\pi}{L})^2\) （n=1,2,3,...）时，才有非零解 \(X_n(x) = \sin(\frac{n\pi x}{L})\)。再解第一个关于时间的方程，得到 \(T_n(t) = e^{-\alpha (\frac{n\pi}{L})^2 t}\)。因此，我们得到一族特解：
\(u_n(x, t) = e^{-\alpha (\frac{n\pi}{L})^2 t} \sin(\frac{n\pi x}{L})\)
这些特解满足方程和边界条件。最后，利用叠加原理，将所有这些特解线性组合起来，并通过初始条件确定组合系数，得到最终解：
\(u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n e^{-\alpha (\frac{n\pi}{L})^2 t} \sin(\frac{n\pi x}{L})\)
其中系数 \(b_n\) 由初始条件 \(\varphi(x)\) 的傅里叶正弦级数展开确定。
第六步：解的物理意义分析
从上述解的形式，我们可以深刻理解热传导的物理性质：
- 指数衰减： 因子 \(e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t}\) 表明，所有模态的温度波动都随时间指数衰减。衰减速率与 \(n^2\) 成正比，这意味着高频（空间变化快）的温度不均匀性会衰减得非常快，而低频（空间变化慢）的不均匀性衰减得较慢。
- 光滑化效应： 即使初始温度分布 \(\varphi(x)\) 有不连续点，只要 \(t > 0\)，解 \(u(x, t)\) 就会立即变得光滑（无限次可微）。这是抛物型方程（如热传导方程）的典型特征。
- 不可逆性： 方程关于时间是一阶的，不具有时间反演对称性。这描述了热力学箭头，即热量扩散是一个不可逆的耗散过程。