达朗贝尔原理的拉格朗日形式与虚功原理
字数 2749 2025-12-10 11:21:20

达朗贝尔原理的拉格朗日形式与虚功原理

  1. 回顾：牛顿力学的达朗贝尔原理
    首先，我们回忆基础的达朗贝尔原理。对于一个由 \(N\) 个质点组成的力学系统，牛顿第二定律为：

\[ \mathbf{F}_i - m_i \ddot{\mathbf{r}}_i = 0 \quad (i=1,2,\dots,N) \]

其中 \(\mathbf{F}_i\) 是作用在第 \(i\) 个质点上的合力（包括约束力），\(m_i\) 是质量，\(\ddot{\mathbf{r}}_i\) 是加速度。达朗贝尔的核心思想是将 \(-m_i \ddot{\mathbf{r}}_i\) 视为一种“惯性力”，从而将动力学方程改写为静力学平衡形式：

\[ \mathbf{F}_i - m_i \ddot{\mathbf{r}}_i = 0 \]

这表示，在任一瞬时，主动力、约束力和惯性力构成一个“平衡”力系。但这仍是一个向量方程，直接处理约束力较复杂。

  1. 引入虚位移与理想约束
    为了消去约束力，我们引入虚位移概念。虚位移 \(\delta \mathbf{r}_i\) 是系统在某一固定时刻 \(t\)，满足所有约束条件的无穷小位移（不一定是实际运动发生的位移，且与时间无关）。如果约束力在任意虚位移上做功之和为零，即：

\[ \sum_{i=1}^N \mathbf{R}_i \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0 \]

其中 \(\mathbf{R}_i\) 是约束力，则称约束是理想的（如光滑面、刚性杆、不可伸长的绳等）。这是应用虚功原理的关键条件。

  1. 达朗贝尔原理的拉格朗日形式推导
    将达朗贝尔原理的方程 \(\mathbf{F}_i - m_i \ddot{\mathbf{r}}_i = 0\) 与虚位移 \(\delta \mathbf{r}_i\) 作标量积，并对所有质点求和：

\[ \sum_{i=1}^N (\mathbf{F}_i - m_i \ddot{\mathbf{r}}_i) \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0 \]

将合力 \(\mathbf{F}_i\) 分解为主动力 \(\mathbf{F}_i^{(a)}\) 和约束力 \(\mathbf{R}_i\)，则：

\[ \sum_{i=1}^N (\mathbf{F}_i^{(a)} - m_i \ddot{\mathbf{r}}_i) \cdot \delta \mathbf{r}_i + \sum_{i=1}^N \mathbf{R}_i \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0 \]

对于理想约束，第二项为零，于是得到：

\[ \sum_{i=1}^N (\mathbf{F}_i^{(a)} - m_i \ddot{\mathbf{r}}_i) \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0 \]

这就是达朗贝尔原理的拉格朗日形式，也称为动力学普遍方程。它表明：在任一瞬时，作用在系统上的主动力与惯性力在任意虚位移上所做的虚功之和为零。

  1. 与虚功原理的联系
    • 在静力学中，虚功原理表述为：系统平衡的充要条件是所有主动力在任意虚位移上做功之和为零，即 \(\sum_i \mathbf{F}_i^{(a)} \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0\)。
    • 将达朗贝尔原理的拉格朗日形式与之比较：

\[ \sum_{i=1}^N (\mathbf{F}_i^{(a)} - m_i \ddot{\mathbf{r}}_i) \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0 \]

可以理解为：在动力学中，若将惯性力 \(-m_i \ddot{\mathbf{r}}_i\) 视为一种“主动力”，则系统在主动力和惯性力共同作用下处于“瞬时平衡”。因此，达朗贝尔原理的拉格朗日形式是虚功原理在动力学中的直接推广。

  1. 过渡到拉格朗日方程
    为了得到更易处理的方程，我们引入广义坐标 \(q_1, q_2, \dots, q_n\)（\(n\) 是自由度数目）。质点位置可表示为：

\[ \mathbf{r}_i = \mathbf{r}_i(q_1, q_2, \dots, q_n, t) \]

虚位移可用广义坐标的变分 \(\delta q_k\) 表示：

\[ \delta \mathbf{r}_i = \sum_{k=1}^n \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_k} \delta q_k \]

将上式代入动力学普遍方程，并定义广义力 \(Q_k = \sum_i \mathbf{F}_i^{(a)} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_k}\)，经过一系列运算（包括交换求导顺序、引入动能 \(T = \sum_i \frac{1}{2} m_i \dot{\mathbf{r}}_i^2\)），可推导出：

\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_k} \right) - \frac{\partial T}{\partial q_k} = Q_k, \quad k=1,2,\dots,n \]

这就是拉格朗日方程，它完全用广义坐标表示，自动消去了理想约束力。如果主动力是保守力，即存在势能函数 \(V(q_1,\dots,q_n)\) 使得 \(Q_k = -\frac{\partial V}{\partial q_k}\)，则可定义拉格朗日函数 \(L = T - V\)，得到更简洁的形式：

\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0 \]

  1. 总结与意义
    达朗贝尔原理的拉格朗日形式是连接牛顿力学与分析力学的关键桥梁。它将动力学问题转化为瞬时“平衡”问题，通过引入虚位移和理想约束条件，自然地导出了拉格朗日方程。这种方法不仅避免直接处理约束力，而且能够方便地应用于复杂约束系统和非笛卡尔坐标系，为后来的哈密顿力学、变分原理以及连续系统（如弹性体、场论）的动力学描述奠定了重要基础。
达朗贝尔原理的拉格朗日形式与虚功原理 回顾：牛顿力学的达朗贝尔原理 首先，我们回忆基础的达朗贝尔原理。对于一个由 \( N \) 个质点组成的力学系统，牛顿第二定律为： \[ \mathbf{F}_ i - m_ i \ddot{\mathbf{r}}_ i = 0 \quad (i=1,2,\dots,N) \] 其中 \(\mathbf{F}_ i\) 是作用在第 \(i\) 个质点上的合力（包括约束力），\(m_ i\) 是质量，\(\ddot{\mathbf{r}}_ i\) 是加速度。达朗贝尔的核心思想是将 \(-m_ i \ddot{\mathbf{r}}_ i\) 视为一种“惯性力”，从而将动力学方程改写为静力学平衡形式： \[ \mathbf{F}_ i - m_ i \ddot{\mathbf{r}}_ i = 0 \] 这表示，在任一瞬时，主动力、约束力和惯性力构成一个“平衡”力系。但这仍是一个向量方程，直接处理约束力较复杂。 引入虚位移与理想约束 为了消去约束力，我们引入 虚位移 概念。虚位移 \(\delta \mathbf{r} i\) 是系统在某一固定时刻 \(t\)，满足所有约束条件的无穷小位移（不一定是实际运动发生的位移，且与时间无关）。如果约束力在任意虚位移上做功之和为零，即： \[ \sum {i=1}^N \mathbf{R}_ i \cdot \delta \mathbf{r}_ i = 0 \] 其中 \(\mathbf{R}_ i\) 是约束力，则称约束是 理想的 （如光滑面、刚性杆、不可伸长的绳等）。这是应用虚功原理的关键条件。 达朗贝尔原理的拉格朗日形式推导 将达朗贝尔原理的方程 \(\mathbf{F}_ i - m_ i \ddot{\mathbf{r}}_ i = 0\) 与虚位移 \(\delta \mathbf{r} i\) 作标量积，并对所有质点求和： \[ \sum {i=1}^N (\mathbf{F}_ i - m_ i \ddot{\mathbf{r}}_ i) \cdot \delta \mathbf{r}_ i = 0 \] 将合力 \(\mathbf{F}_ i\) 分解为主动力 \(\mathbf{F}_ i^{(a)}\) 和约束力 \(\mathbf{R} i\)，则： \[ \sum {i=1}^N (\mathbf{F}_ i^{(a)} - m_ i \ddot{\mathbf{r}}_ i) \cdot \delta \mathbf{r} i + \sum {i=1}^N \mathbf{R}_ i \cdot \delta \mathbf{r} i = 0 \] 对于理想约束，第二项为零，于是得到： \[ \sum {i=1}^N (\mathbf{F}_ i^{(a)} - m_ i \ddot{\mathbf{r}}_ i) \cdot \delta \mathbf{r}_ i = 0 \] 这就是 达朗贝尔原理的拉格朗日形式 ，也称为 动力学普遍方程 。它表明：在任一瞬时，作用在系统上的主动力与惯性力在任意虚位移上所做的虚功之和为零。 与虚功原理的联系 在静力学中，虚功原理表述为：系统平衡的充要条件是所有主动力在任意虚位移上做功之和为零，即 \(\sum_ i \mathbf{F}_ i^{(a)} \cdot \delta \mathbf{r}_ i = 0\)。 将达朗贝尔原理的拉格朗日形式与之比较： \[ \sum_ {i=1}^N (\mathbf{F}_ i^{(a)} - m_ i \ddot{\mathbf{r}}_ i) \cdot \delta \mathbf{r}_ i = 0 \] 可以理解为：在动力学中，若将惯性力 \(-m_ i \ddot{\mathbf{r}}_ i\) 视为一种“主动力”，则系统在主动力和惯性力共同作用下处于“瞬时平衡”。因此， 达朗贝尔原理的拉格朗日形式是虚功原理在动力学中的直接推广 。 过渡到拉格朗日方程 为了得到更易处理的方程，我们引入广义坐标 \(q_ 1, q_ 2, \dots, q_ n\)（\(n\) 是自由度数目）。质点位置可表示为： \[ \mathbf{r}_ i = \mathbf{r}_ i(q_ 1, q_ 2, \dots, q_ n, t) \] 虚位移可用广义坐标的变分 \(\delta q_ k\) 表示： \[ \delta \mathbf{r} i = \sum {k=1}^n \frac{\partial \mathbf{r}_ i}{\partial q_ k} \delta q_ k \] 将上式代入动力学普遍方程，并定义广义力 \(Q_ k = \sum_ i \mathbf{F}_ i^{(a)} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_ i}{\partial q_ k}\)，经过一系列运算（包括交换求导顺序、引入动能 \(T = \sum_ i \frac{1}{2} m_ i \dot{\mathbf{r}}_ i^2\)），可推导出： \[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_ k} \right) - \frac{\partial T}{\partial q_ k} = Q_ k, \quad k=1,2,\dots,n \] 这就是 拉格朗日方程 ，它完全用广义坐标表示，自动消去了理想约束力。如果主动力是保守力，即存在势能函数 \(V(q_ 1,\dots,q_ n)\) 使得 \(Q_ k = -\frac{\partial V}{\partial q_ k}\)，则可定义拉格朗日函数 \(L = T - V\)，得到更简洁的形式： \[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_ k} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_ k} = 0 \] 总结与意义 达朗贝尔原理的拉格朗日形式是连接牛顿力学与分析力学的关键桥梁。它将动力学问题转化为瞬时“平衡”问题，通过引入虚位移和理想约束条件，自然地导出了拉格朗日方程。这种方法不仅避免直接处理约束力，而且能够方便地应用于复杂约束系统和非笛卡尔坐标系，为后来的哈密顿力学、变分原理以及连续系统（如弹性体、场论）的动力学描述奠定了重要基础。