哈尔测度的局部紧群推广（Haar Measure on Locally Compact Groups）
字数 2305 2025-12-10 09:37:14

哈尔测度的局部紧群推广（Haar Measure on Locally Compact Groups）

第一步：从哈尔测度到局部紧群的推广动机

  1. 你已知的哈尔测度，通常定义在局部紧拓扑群上，最基本且经典的例子是实数加法群 ℝ（对应勒贝格测度）和圆周群 𝕋。
  2. 哈尔测度的核心思想是平移不变性：对于一个局部紧群 \(G\)，我们需要在其上构造一个正则博雷尔测度 \(\mu\)，使得对任何博雷尔集 \(B \subseteq G\) 和任意 \(g \in G\)，满足

\[ \mu(gB) = \mu(B), \]

其中 \(gB = \{ gx : x \in B \}\) 是左平移。这称为左哈尔测度。类似可定义右哈尔测度。
3. 在一般的局部紧群上，推广的关键在于：

  • 群结构提供了平移操作。
  • 局部紧性（即每点有紧邻域）保证了在群上可以定义具有良好正则性（内、外正则）的博雷尔测度，且该测度在紧集上有限（局部有限）。
  1. 这一推广是抽象调和分析、表示论和拓扑群理论的基石。

第二步：局部紧群的定义与例子

  1. 局部紧群 \(G\) 是一个既是拓扑空间又是群的集合，满足：
    • 群运算 \((x,y) \mapsto xy\) 和取逆 \(x \mapsto x^{-1}\) 是连续映射。
    • 拓扑是局部紧的：每点 \(x \in G\) 有一个邻域，其闭包是紧集。
  2. 常见例子：
    • ℝⁿ（加法群）、𝕋ⁿ（环面）：欧氏空间或环面，紧生成。
    • GL(n, ℝ)（一般线性群）：非紧，但局部紧。
    • 任意紧群（如正交群 O(n)、酉群 U(n)）：此时哈尔测度是有限测度，可正规化为概率测度。
    • 离散群（如 ℤ）：计数测度是哈尔测度。
    • 局部紧阿贝尔群（如 ℝⁿ × 𝕋ᵐ × 离散阿贝尔群）：是调和分析的主要舞台。

第三步：哈尔测度的存在性与唯一性定理

  1. 存在性定理（André Weil, 1940）：每个局部紧群 \(G\) 上存在一个非零的左哈尔测度 \(\mu\)，且满足：
    • \(\mu\) 是正则博雷尔测度（内正则：对开集由上逼近；外正则：对所有博雷尔集由开集从外逼近）。
    • \(\mu(K) < \infty\) 对任意紧集 \(K \subseteq G\)。
    • \(\mu(U) > 0\) 对任意非空开集 \(U \subseteq G\)（正性）。
  2. 唯一性定理：若 \(\mu\) 和 \(\nu\) 是两个左哈尔测度，则存在常数 \(c > 0\) 使得 \(\nu = c \mu\)。即哈尔测度在相差一个正常数倍的意义下唯一。
  3. 证明思想概要：
    • 通过构造在紧集上的平均化泛函（类似黎曼和），利用里斯表示定理得到正则博雷尔测度。
    • 平移不变性由构造保证，局部紧性保证了充分多的“测试函数”（如具有紧支撑的连续函数）。

第四步：模函数与左右哈尔测度的关系

  1. 在非阿贝尔群上，左哈尔测度 \(\mu\) 一般不是右不变的。但可通过“模函数” \(\Delta_G: G \to (0,\infty)\) 描述差异。
  2. 定义：对任意 \(g \in G\)，令 \(\mu_g(A) = \mu(Ag)\)（右平移）。则 \(\mu_g\) 也是左哈尔测度，由唯一性，存在与 \(g\) 有关的常数 \(\Delta_G(g) > 0\) 使得

\[ \mu(Ag) = \Delta_G(g) \mu(A), \quad \forall A \text{ 博雷尔集}. \]

映射 \(\Delta_G\) 称为模函数，它是连续群同态 \(G \to (0,\infty)\)（乘法群）。
3. 性质：

  • 若 \(\Delta_G \equiv 1\)，则称 \(G\) 为幺模群，此时左哈尔测度也是右哈尔测度。紧群、离散群、阿贝尔群都是幺模的。
  • 对非幺模群（如 ax+b 群），左、右哈尔测度不同，但可通过模函数互相转换。

第五步：哈尔积分与不变泛函

  1. 哈尔测度对应的积分称为哈尔积分。对任意紧支撑连续函数 \(f \in C_c(G)\)，左哈尔测度给出正线性泛函

\[ I(f) = \int_G f \, d\mu, \]

满足左不变性：\(I(f(g^{-1} \cdot)) = I(f)\) 对所有 \(g \in G\)。
2. 这个泛函是哈尔测度的等价刻画：在 \(C_c(G)\) 上，任何正线性、左不变的泛函必来自哈尔测度（相差常数倍）。
3. 在调和分析中，哈尔积分是定义卷积、傅里叶变换的基础。

第六步：应用与进一步推广

  1. 抽象调和分析：在局部紧阿贝尔群上可发展傅里叶变换、普朗歇尔定理、庞特里亚金对偶等。
  2. 群表示论：哈尔积分用于定义表示的矩阵系数、特征标积分、舒尔正交关系（对紧群）。
  3. 齐性空间：若 \(H\) 是 \(G\) 的闭子群，则齐性空间 \(G/H\) 上可能存在 \(G\)-不变测度（称为拟哈尔测度），其存在性与模函数条件 \(\Delta_G|_H = \Delta_H\) 有关。
  4. 哈尔测度的构造还可推广到某些非局部紧的拓扑群（需附加可度量化、完备性条件），但此时不变测度可能不存在或不唯一。

总结
哈尔测度在局部紧群上的推广，将实数轴上的平移不变测度（勒贝格测度）扩展到了广泛的拓扑群结构上，其存在性、唯一性、模函数理论构成了现代分析中对称性与积分不变性的核心框架。

哈尔测度的局部紧群推广（Haar Measure on Locally Compact Groups） 第一步：从哈尔测度到局部紧群的推广动机 你已知的哈尔测度，通常定义在 局部紧拓扑群 上，最基本且经典的例子是实数加法群 ℝ（对应勒贝格测度）和圆周群 𝕋。 哈尔测度的核心思想是 平移不变性 ：对于一个局部紧群 \( G \)，我们需要在其上构造一个正则博雷尔测度 \( \mu \)，使得对任何博雷尔集 \( B \subseteq G \) 和任意 \( g \in G \)，满足 \[ \mu(gB) = \mu(B), \] 其中 \( gB = \{ gx : x \in B \} \) 是左平移。这称为 左哈尔测度 。类似可定义右哈尔测度。 在一般的局部紧群上，推广的关键在于： 群结构提供了平移操作。 局部紧性（即每点有紧邻域）保证了在群上可以定义具有良好正则性（内、外正则）的博雷尔测度，且该测度在紧集上有限（局部有限）。 这一推广是抽象调和分析、表示论和拓扑群理论的基石。 第二步：局部紧群的定义与例子 局部紧群 \( G \) 是一个既是拓扑空间又是群的集合，满足： 群运算 \( (x,y) \mapsto xy \) 和取逆 \( x \mapsto x^{-1} \) 是连续映射。 拓扑是 局部紧 的：每点 \( x \in G \) 有一个邻域，其闭包是紧集。 常见例子： ℝⁿ（加法群）、𝕋ⁿ（环面）：欧氏空间或环面，紧生成。 GL(n, ℝ)（一般线性群）：非紧，但局部紧。 任意紧群（如正交群 O(n)、酉群 U(n)）：此时哈尔测度是有限测度，可正规化为概率测度。 离散群（如 ℤ）：计数测度是哈尔测度。 局部紧阿贝尔群（如 ℝⁿ × 𝕋ᵐ × 离散阿贝尔群）：是调和分析的主要舞台。 第三步：哈尔测度的存在性与唯一性定理 存在性定理 （André Weil, 1940）：每个局部紧群 \( G \) 上存在一个非零的左哈尔测度 \( \mu \)，且满足： \( \mu \) 是正则博雷尔测度（内正则：对开集由上逼近；外正则：对所有博雷尔集由开集从外逼近）。 \( \mu(K) < \infty \) 对任意紧集 \( K \subseteq G \)。 \( \mu(U) > 0 \) 对任意非空开集 \( U \subseteq G \)（正性）。 唯一性定理 ：若 \( \mu \) 和 \( \nu \) 是两个左哈尔测度，则存在常数 \( c > 0 \) 使得 \( \nu = c \mu \)。即哈尔测度在相差一个正常数倍的意义下唯一。 证明思想概要： 通过构造在紧集上的平均化泛函（类似黎曼和），利用 里斯表示定理 得到正则博雷尔测度。 平移不变性由构造保证，局部紧性保证了充分多的“测试函数”（如具有紧支撑的连续函数）。 第四步：模函数与左右哈尔测度的关系 在非阿贝尔群上，左哈尔测度 \( \mu \) 一般不是右不变的。但可通过“模函数” \( \Delta_ G: G \to (0,\infty) \) 描述差异。 定义：对任意 \( g \in G \)，令 \( \mu_ g(A) = \mu(Ag) \)（右平移）。则 \( \mu_ g \) 也是左哈尔测度，由唯一性，存在与 \( g \) 有关的常数 \( \Delta_ G(g) > 0 \) 使得 \[ \mu(Ag) = \Delta_ G(g) \mu(A), \quad \forall A \text{ 博雷尔集}. \] 映射 \( \Delta_ G \) 称为 模函数 ，它是连续群同态 \( G \to (0,\infty) \)（乘法群）。 性质： 若 \( \Delta_ G \equiv 1 \)，则称 \( G \) 为 幺模群 ，此时左哈尔测度也是右哈尔测度。紧群、离散群、阿贝尔群都是幺模的。 对非幺模群（如 ax+b 群），左、右哈尔测度不同，但可通过模函数互相转换。 第五步：哈尔积分与不变泛函 哈尔测度对应的积分称为 哈尔积分 。对任意紧支撑连续函数 \( f \in C_ c(G) \)，左哈尔测度给出正线性泛函 \[ I(f) = \int_ G f \, d\mu, \] 满足左不变性：\( I(f(g^{-1} \cdot)) = I(f) \) 对所有 \( g \in G \)。 这个泛函是 哈尔测度的等价刻画 ：在 \( C_ c(G) \) 上，任何正线性、左不变的泛函必来自哈尔测度（相差常数倍）。 在调和分析中，哈尔积分是定义卷积、傅里叶变换的基础。 第六步：应用与进一步推广 抽象调和分析 ：在局部紧阿贝尔群上可发展傅里叶变换、普朗歇尔定理、庞特里亚金对偶等。 群表示论 ：哈尔积分用于定义表示的矩阵系数、特征标积分、舒尔正交关系（对紧群）。 齐性空间 ：若 \( H \) 是 \( G \) 的闭子群，则齐性空间 \( G/H \) 上可能存在 \( G \)-不变测度（称为 拟哈尔测度 ），其存在性与模函数条件 \( \Delta_ G|_ H = \Delta_ H \) 有关。 哈尔测度的构造还可推广到某些非局部紧的拓扑群（需附加可度量化、完备性条件），但此时不变测度可能不存在或不唯一。 总结 哈尔测度在局部紧群上的推广，将实数轴上的平移不变测度（勒贝格测度）扩展到了广泛的拓扑群结构上，其存在性、唯一性、模函数理论构成了现代分析中对称性与积分不变性的核心框架。