复变函数的Γ函数与解析延拓 我们先从 实变函数中的Gamma函数 说起。在实数范围内，Gamma函数 Γ(x) 是阶乘的推广，定义为： Γ(x) = ∫₀^∞ t^{x-1} e^{-t} dt，其中 x > 0。 这个积分在 x>0 时收敛，定义了实轴正半轴上的一个光滑函数，并满足函数方程 Γ(x+1) = x Γ(x)，且 Γ(1)=1，因此对正整数 n，有 Γ(n+1)=n !。 第一步：将定义延拓到右半复平面 在复变函数中，我们考虑复变量 s（通常记为 s=σ+it），并将上述积分定义直接推广： Γ(s) = ∫₀^∞ t^{s-1} e^{-t} dt。 要使该积分收敛，需要考察被积函数在 t→0⁺ 和 t→∞ 时的行为。 当 t→0⁺ 时，|t^{s-1}| = t^{σ-1}，所以要求 σ-1 > -1，即 σ>0 才能保证积分收敛（因为 ∫₀^1 t^{σ-1} dt 收敛当且仅当 σ>0）。 当 t→∞ 时，由于指数衰减项 e^{-t} 占主导，对任意 s 都收敛。 因此，该积分在 Re(s)>0 的右半复平面上定义了一个复变函数，且在此区域内是 全纯的 （可通过含参积分全纯性定理证明）。 第二步：利用函数方程进行解析延拓 函数方程 Γ(s+1) = s Γ(s) 在右半平面 Re(s)>0 上成立（可通过分部积分验证）。这个方程成为我们 解析延拓 的关键工具。 对于 Re(s)>-1 且 s≠0 的区域，我们可以 定义 Γ(s) = Γ(s+1)/s。 具体来说： 当 Re(s)>0 时，右端由原积分定义，等式自然成立。 当 -1 < Re(s) ≤ 0 且 s≠0 时，由于 s+1 满足 Re(s+1)>0，Γ(s+1) 已有定义，且 s 不为零，因此我们可以用 Γ(s+1)/s 来 定义 Γ(s)。这个定义在区域 Re(s)>-1（除去 s=0）内是全纯的（因为它是全纯函数的商，分母仅在 s=0 处为零）。 通过这种方式，我们将 Γ(s) 解析延拓到了更大的区域 Re(s)>-1（除了 s=0 这个点）。 第三步：逐次延拓到整个复平面 重复利用函数方程：对于任意整数 n>0，有 Γ(s) = Γ(s+n) / [ s(s+1)...(s+n-1) ]。 对于给定的 s，只要取足够大的 n 使得 Re(s+n)>0，那么 Γ(s+n) 就由原始积分定义，而分母是一个多项式。因此，除了使得分母为零的点 s=0, -1, -2, -3, ... 外，我们可以用此式定义 Γ(s)。这样，Γ(s) 就被解析延拓成了在整个复平面上 除负整数和零外 全纯的函数。这些除去的点 s=-k (k=0,1,2,...) 是 一阶极点 ，因为在该点附近，Γ(s) 的行为近似于 [ (-1)^k/(k!) ] / (s+k)（可通过函数方程推导出留数）。 第四步：Γ函数的基本性质 无零点性 ：在整个定义域（延拓后）内，Γ(s) 没有任何零点。 反射公式 （重要恒等式）： Γ(s) Γ(1-s) = π / sin(πs)。 这个公式建立了 Γ 函数在 s 和 1-s 之间的联系，并且清晰地显示了其在负整数的极点行为（因为 sin(πs) 在整数处为零）。它也常用于计算一些特殊值，如 Γ(1/2)=√π。 乘积公式 （魏尔斯特拉斯形式）： 1/Γ(s) = s e^{γs} ∏_ {n=1}^∞ (1 + s/n) e^{-s/n}。 其中 γ 是欧拉常数。这个公式将 Γ 函数表示为一个无穷乘积，揭示了其所有的零点（无）和极点（负整数）的分布。 与黎曼ζ函数的联系 ： Γ 函数是研究黎曼 ζ 函数 ζ(s) 的关键工具。例如，ζ 函数的函数方程中就包含了 Γ 函数项：ζ(s) = 2^s π^{s-1} sin(πs/2) Γ(1-s) ζ(1-s)。 第五步：总结与应用意义 复变函数中的 Γ 函数是一个 亚纯函数 ，在整个复平面上除了在 s=0, -1, -2, ... 处有一阶极点外全纯。它通过函数方程从右半平面解析延拓得到，是阶乘概念在复数域最自然的推广。Γ 函数在 解析数论 （如素数分布研究）、 概率论 （与多种分布相关）、 微分方程 （特殊函数表达）及 数学物理 （量子场论、统计力学中的配分函数计算）中都有根本性的应用。其优美的函数方程和反射公式体现了复分析中解析延拓的强大力量。