群的正合序列

字数 3589 2025-12-10 04:49:00

群的正合序列

好的，我们开始一个新的词条讲解。我将为你循序渐进地讲解“群的正合序列”这个概念。这是一个在代数学，尤其是同调代数与群论中极为基础且重要的工具，用于描述一系列群与同态之间的精确关系。

第一步：从两个群与一个同态开始

首先，我们需要回顾最基础的结构：一个群同态。

定义：设 $G$ 和 $H$ 是两个群，一个从 $G$ 到 $H$ 的映射 $f: G \to H$ 称为一个群同态，如果它满足：对于所有 $a, b \in G$，都有 $f(ab) = f(a)f(b)$。这里等式左边的乘法在 $G$ 中进行，右边的在 $H$ 中进行。
核心概念：每个同态 $f: G \to H$ 都自然地关联着两个特殊的子群：

核：记为 $\ker(f)$，是 $G$ 中所有被 $f$ 映射到 $H$ 的单位元 $e_H$ 的元素集合，即 $\ker(f) = \{ g \in G \mid f(g) = e_H \}$。它是一个 $G$ 的正规子群。
像：记为 $\operatorname{im}(f)$，是 $H$ 中所有能被 $G$ 中某个元素映射而来的元素集合，即 $\operatorname{im}(f) = \{ h \in H \mid \exists g \in G, f(g)=h \}$。它是 $H$ 的一个子群。

第二步：引入三个群与两个同态（短序列）

现在，我们考虑三个群和连接它们的两个同态。这是构建“正合序列”的第一步。

序列：考虑如下形式的图表：

\[ G_1 \xrightarrow{\ f\ } G_2 \xrightarrow{\ g\ } G_3 \]

这里，$f$ 和 $g$ 是群同态。这个结构本身只是一个“序列”或“链”。
2. 关键条件——复合为零：我们希望这两个映射是“连接的”。一个自然的要求是：先应用 $f$，再应用 $g$，结果总是得到 $G_3$ 的单位元。也就是说，对于任意 $x \in G_1$，都有 $g(f(x)) = e_{G_3}$。
3. 用符号表示：这个条件等价于说复合映射 $g \circ f$ 将整个 $G_1$ 映射到 $G_3$ 的单位元。在代数术语中，我们说 $g \circ f$ 是零同态（即把所有元素都送到单位元的映射）。我们记作：

\[ \operatorname{im}(f) \subseteq \ker(g) \]

这是因为 $f(x)$ 的像必须在 $g$ 的核里，才能保证 $g(f(x)) = e$。

第三步：正合性的定义

仅仅满足“复合为零”还不够精确。我们需要一个更强的条件来捕捉“连接”的精确性。

定义：我们说上述序列 $G_1 \xrightarrow{f} G_2 \xrightarrow{g} G_3$ 在中间的群 $G_2$ 处是正合的，如果恰好有：

\[ \operatorname{im}(f) = \ker(g) \]

理解：这意味着：

（方向1：$\operatorname{im}(f) \subseteq \ker(g)$）：从 $G_1$ 通过 $f$ 能到达的 $G_2$ 中的元素，一定被 $g$ “消灭”成单位元。这是上一步的条件。
（方向2：$\ker(g) \subseteq \operatorname{im}(f)$）：更重要的是，在 $G_2$ 中任何能被 $g$ “消灭”的元素（即属于 $g$ 的核），一定是从 $G_1$ 通过 $f$ 映射过来的。

几何/集合类比：你可以想象 $f$ 把 $G_1$ “折叠”进 $G_2$ 形成一个子集（像集）。而 $g$ 的作用是，恰好把这个子集里的所有元素都压缩成一点（单位元），并且只压缩这个子集，不压缩其他任何多余的元素。像集和核完全重合。

第四步：基本的短正合序列例子

理解正合性最好的方式是看几个经典的短序列（三个群，两个同态）。

平凡的正合序列：$1 \to G \xrightarrow{\text{id}} G \to 1$，这里 $1$ 表示平凡群（只含单位元），$\text{id}$ 是恒等映射。在 $G$ 处的正合性：$\operatorname{im}(id_G) = G$， $\ker(到1的映射) = G$，两者相等。
子群与商群（最重要的例子）：设 $N$ 是群 $G$ 的一个正规子群。那么以下序列是正合的：

\[ 1 \longrightarrow N \xrightarrow{\ i\ } G \xrightarrow{\ \pi\ } G/N \longrightarrow 1 \]

$i$ 是包含同态：$i(n) = n$。
$\pi$ 是自然投射同态：$\pi(g) = gN$（陪集）。
- 验证：
在 $N$ 处：$\operatorname{im}(1 \to N)$ 是 $N$ 的单位元，$\ker(i)$ 也是 $N$ 的单位元（因为 $i$ 是单射），相等。
在 $G$ 处：$\operatorname{im}(i) = N$，$\ker(\pi) = \{ g \in G \mid gN = N \} = N$，相等。
在 $G/N$ 处：$\operatorname{im}(\pi) = G/N$，$\ker(G/N \to 1) = G/N$，相等。
这个序列被称为一个短正合序列（因为它以平凡群开始和结束，且只有三个非平凡项）。它精确地表达了“$N$ 是 $G$ 的子群，$G/N$ 是它的商群”这一结构。

单同态与满同态：

序列 $1 \to A \xrightarrow{f} B$ 是正合的 $\iff$ $f$ 是单同态（因为 $\ker(f) = \operatorname{im}(1 \to A) = \{e_A\}$）。
序列 $B \xrightarrow{g} C \to 1$ 是正合的 $\iff$ $g$ 是满同态（因为 $\operatorname{im}(g) = \ker(C \to 1) = C$）。

第五步：推广到长正合序列

正合序列的概念可以推广到任意有限或无限长的序列。

定义：一个群与同态的序列（可能无限长）

\[ \cdots \longrightarrow G_{i-1} \xrightarrow{f_{i-1}} G_{i} \xrightarrow{f_i} G_{i+1} \longrightarrow \cdots \]

被称为在 $G_i$ 处是正合的，如果 $\operatorname{im}(f_{i-1}) = \ker(f_i)$。
2. 长正合序列：如果这个序列在每一个中间群 $G_i$ 处都是正合的，那么就称整个序列为一个长正合序列。
3. 意义：长正合序列是同调代数的核心。它通常由某种拓扑空间或代数结构的上同调/同调群构成，序列中的同态（通常称为连接同态或边缘同态）将一个维度的信息与下一个维度的信息精确地联系起来。序列的正合性意味着，在任何一点，上一个同态的像正好是下一个同态的“障碍物”的集合，这允许我们用相对容易计算的群的信息去推断复杂群的信息。

第六步：应用与小结

核心作用：正合序列是代数学中一种强大的“记账”工具。它将复杂的代数结构（如扩张、纤维积、商等）分解为一系列更简单的、正合连接的组成部分。
在（上）同调理论中：这是正合序列的“主场”。例如，给定一个拓扑空间和子空间对，存在一个长正合序列连接它们的奇异同调群。给定一个短正合序列的模，可以诱导出长正合序列的 Ext 或 Tor 函子。这些序列是进行计算和证明的核心。
“正合”一词的直观：它意味着这个序列所描述的关系是“精确”的，信息没有丢失也没有冗余——上一个映射的像正好被下一个映射的核捕捉到。

总而言之，群的正合序列是一个描述一系列群之间通过同态精确衔接的框架。从最简单的“像等于核”条件出发，它既能刻画子群与商群的基本关系（短正合序列），又能编织起复杂理论中不同层次对象之间的深刻联系（长正合序列），是深入理解现代代数结构不可或缺的语言。

群的正合序列好的，我们开始一个新的词条讲解。我将为你循序渐进地讲解“群的正合序列”这个概念。这是一个在代数学，尤其是同调代数与群论中极为基础且重要的工具，用于描述一系列群与同态之间的精确关系。第一步：从两个群与一个同态开始首先，我们需要回顾最基础的结构：一个群同态。定义：设 $ G $ 和 $H$ 是两个群，一个从 $G$ 到 $H$ 的映射 $f: G \to H$ 称为一个群同态，如果它满足：对于所有 $a, b \in G$，都有 $f(ab) = f(a)f(b)$。这里等式左边的乘法在 $G$ 中进行，右边的在 $H$ 中进行。核心概念：每个同态 $f: G \to H$ 都自然地关联着两个特殊的子群：核：记为 $\ker(f)$，是 $G$ 中所有被 $f$ 映射到 $H$ 的单位元 $e_ H$ 的元素集合，即 $\ker(f) = \{ g \in G \mid f(g) = e_ H \}$。它是一个 $G$ 的正规子群。像：记为 $\operatorname{im}(f)$，是 $H$ 中所有能被 $G$ 中某个元素映射而来的元素集合，即 $\operatorname{im}(f) = \{ h \in H \mid \exists g \in G, f(g)=h \}$。它是 $H$ 的一个子群。第二步：引入三个群与两个同态（短序列）现在，我们考虑三个群和连接它们的两个同态。这是构建“正合序列”的第一步。序列：考虑如下形式的图表： \[ G_ 1 \xrightarrow{\ f\ } G_ 2 \xrightarrow{\ g\ } G_ 3 \] 这里，$f$ 和 $g$ 是群同态。这个结构本身只是一个“序列”或“链”。关键条件——复合为零：我们希望这两个映射是“连接的”。一个自然的要求是：先应用 $f$，再应用 $g$，结果总是得到 $G_ 3$ 的单位元。也就是说，对于任意 $x \in G_ 1$，都有 $g(f(x)) = e_ {G_ 3}$。用符号表示：这个条件等价于说复合映射 $g \circ f$ 将整个 $G_ 1$ 映射到 $G_ 3$ 的单位元。在代数术语中，我们说 $g \circ f$ 是零同态（即把所有元素都送到单位元的映射）。我们记作： \[ \operatorname{im}(f) \subseteq \ker(g) \] 这是因为 $f(x)$ 的像必须在 $g$ 的核里，才能保证 $g(f(x)) = e$。第三步：正合性的定义仅仅满足“复合为零”还不够精确。我们需要一个更强的条件来捕捉“连接”的精确性。定义：我们说上述序列 $G_ 1 \xrightarrow{f} G_ 2 \xrightarrow{g} G_ 3$ 在中间的群 $G_ 2$ 处是正合的，如果恰好有： \[ \operatorname{im}(f) = \ker(g) \] 理解：这意味着：（方向1：$\operatorname{im}(f) \subseteq \ker(g)$）：从 $G_ 1$ 通过 $f$ 能到达的 $G_ 2$ 中的元素，一定被 $g$ “消灭”成单位元。这是上一步的条件。（方向2：$\ker(g) \subseteq \operatorname{im}(f)$）：更重要的是，在 $G_ 2$ 中任何能被 $g$ “消灭”的元素（即属于 $g$ 的核），一定是从 $G_ 1$ 通过 $f$ 映射过来的。几何/集合类比：你可以想象 $f$ 把 $G_ 1$ “折叠”进 $G_ 2$ 形成一个子集（像集）。而 $g$ 的作用是，恰好把这个子集里的所有元素都压缩成一点（单位元），并且只压缩这个子集，不压缩其他任何多余的元素。像集和核完全重合。第四步：基本的短正合序列例子理解正合性最好的方式是看几个经典的短序列（三个群，两个同态）。平凡的正合序列：$1 \to G \xrightarrow{\text{id}} G \to 1$，这里 $1$ 表示平凡群（只含单位元），$\text{id}$ 是恒等映射。在 $G$ 处的正合性：$\operatorname{im}(id_ G) = G$， $\ker(到1的映射) = G$，两者相等。子群与商群（最重要的例子）：设 $N$ 是群 $G$ 的一个正规子群。那么以下序列是正合的： \[ 1 \longrightarrow N \xrightarrow{\ i\ } G \xrightarrow{\ \pi\ } G/N \longrightarrow 1 \] $i$ 是包含同态：$i(n) = n$。 $\pi$ 是自然投射同态：$\pi(g) = gN$（陪集）。验证：在 $N$ 处：$\operatorname{im}(1 \to N)$ 是 $N$ 的单位元，$\ker(i)$ 也是 $N$ 的单位元（因为 $i$ 是单射），相等。在 $G$ 处：$\operatorname{im}(i) = N$，$\ker(\pi) = \{ g \in G \mid gN = N \} = N$，相等。在 $G/N$ 处：$\operatorname{im}(\pi) = G/N$，$\ker(G/N \to 1) = G/N$，相等。这个序列被称为一个短正合序列（因为它以平凡群开始和结束，且只有三个非平凡项）。它精确地表达了“$N$ 是 $G$ 的子群，$G/N$ 是它的商群”这一结构。单同态与满同态：序列 $1 \to A \xrightarrow{f} B$ 是正合的 $\iff$ $f$ 是单同态（因为 $\ker(f) = \operatorname{im}(1 \to A) = \{e_ A\}$）。序列 $B \xrightarrow{g} C \to 1$ 是正合的 $\iff$ $g$ 是满同态（因为 $\operatorname{im}(g) = \ker(C \to 1) = C$）。第五步：推广到长正合序列正合序列的概念可以推广到任意有限或无限长的序列。定义：一个群与同态的序列（可能无限长） \[ \cdots \longrightarrow G_ {i-1} \xrightarrow{f_ {i-1}} G_ {i} \xrightarrow{f_ i} G_ {i+1} \longrightarrow \cdots \] 被称为在 $G_ i$ 处是正合的，如果 $\operatorname{im}(f_ {i-1}) = \ker(f_ i)$。长正合序列：如果这个序列在每一个中间群 $G_ i$ 处都是正合的，那么就称整个序列为一个长正合序列。意义：长正合序列是同调代数的核心。它通常由某种拓扑空间或代数结构的上同调/同调群构成，序列中的同态（通常称为连接同态或边缘同态）将一个维度的信息与下一个维度的信息精确地联系起来。序列的正合性意味着，在任何一点，上一个同态的像正好是下一个同态的“障碍物”的集合，这允许我们用相对容易计算的群的信息去推断复杂群的信息。第六步：应用与小结核心作用：正合序列是代数学中一种强大的“记账”工具。它将复杂的代数结构（如扩张、纤维积、商等）分解为一系列更简单的、正合连接的组成部分。在（上）同调理论中：这是正合序列的“主场”。例如，给定一个拓扑空间和子空间对，存在一个长正合序列连接它们的奇异同调群。给定一个短正合序列的模，可以诱导出长正合序列的 Ext 或 Tor 函子。这些序列是进行计算和证明的核心。 “正合”一词的直观：它意味着这个序列所描述的关系是“精确”的，信息没有丢失也没有冗余——上一个映射的像正好被下一个映射的核捕捉到。总而言之，群的正合序列是一个描述一系列群之间通过同态精确衔接的框架。从最简单的“像等于核”条件出发，它既能刻画子群与商群的基本关系（短正合序列），又能编织起复杂理论中不同层次对象之间的深刻联系（长正合序列），是深入理解现代代数结构不可或缺的语言。