数学物理方程中的摄动理论（续）：边界层理论与匹配渐近展开

字数 6296 2025-12-10 02:11:34

数学物理方程中的摄动理论（续）：边界层理论与匹配渐近展开

你已经了解了摄动理论的基本思想，即通过小参数展开来近似求解难以精确处理的方程。现在，我们深入到一种针对奇异摄动问题的关键技术。当小参数与最高阶导数相乘时，标准的摄动展开会在某些区域（如边界附近）失效，因为忽略最高阶项会改变方程的类型（例如，从椭圆型退化为抛物线型）。这就需要边界层理论和匹配渐近展开方法来处理。

第一步：奇异摄动问题的识别
考虑一个简单的模型方程：

\[\epsilon y''(x) + y'(x) = 1, \quad 0 < x < 1, \quad y(0)=0, \quad y(1)=1 \]

其中 \(0 < \epsilon \ll 1\) 是一个小参数。这个方程是“奇异摄动”的典型例子，因为参数 \(\epsilon\) 乘在了最高阶导数 \(y''\) 上。如果我们天真地设 \(\epsilon = 0\)，得到退化方程 \(y' = 1\)，其通解为 \(y = x + C\)。这个退化方程无法同时满足两个边界条件 \(y(0)=0\) 和 \(y(1)=1\)（实际上 \(y(0)=0\) 给出 \(C=0\)，但 \(y(1)=1+0=1\) 恰好满足，这是一个特例，通常不会同时满足）。关键在于，在 \(x=0\) 附近，忽略 \(\epsilon y''\) 可能是不合法的，因为导数 \(y''\) 可能非常大以平衡小参数 \(\epsilon\)。这个导数剧烈的区域就称为“边界层”。

第二步：外解（Outer Solution）
外解是在边界层区域之外成立的解。我们假设在远离边界层的地方，解可以展开为 \(\epsilon\) 的幂级数：

\[y_{\text{out}}(x) = y_0(x) + \epsilon y_1(x) + \epsilon^2 y_2(x) + \dots \]

将其代入原方程并按 \(\epsilon\) 的幂次整理：

\(\epsilon^0\) 阶: \(y_0'(x) = 1\) ⇒ \(y_0(x) = x + A\)。
\(\epsilon^1\) 阶: \(y_1'(x) = -y_0''(x) = 0\) ⇒ \(y_1(x) = B\)。

通常，外解需要满足一个边界条件。由于我们预感边界层在 \(x=0\) 处，我们让外解满足右端点 \(x=1\) 的条件：\(y_{\text{out}}(1)=1\)。代入 \(y_0(1)=1+A=1\) ⇒ \(A=0\)。所以零阶外解为 \(y_0(x)=x\)。一阶外解为 \(y_{\text{out}}(x) = x + \epsilon B\)，其中 \(B\) 待定。注意，在 \(x=0\) 处，外解 \(y_0(0)=0\) 恰好满足边界条件，但 \(y_0'(0)=1\)，而原方程在 \(x=0\) 处要求 \(y(0)=0\)，外解本身无法满足导数可能发生剧烈变化的需求。

第三步：引入边界层与伸缩变换
我们怀疑在 \(x=0\) 附近存在一个很薄的层，其厚度为 \(\delta(\epsilon)\)，在此区域内 \(y\) 变化剧烈。为了放大这个区域，我们引入“内变量”（inner variable）或“伸展坐标”：

\[X = \frac{x}{\delta(\epsilon)} \]

并设内解为 \(Y_{\text{in}}(X) = y(x)\)。这里 \(\delta(\epsilon)\) 是一个待定的、当 \(\epsilon \to 0\) 时也趋于零的函数。我们将原方程用新变量表示。计算导数：

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dY_{\text{in}}}{dX} \cdot \frac{dX}{dx} = \frac{1}{\delta} Y_{\text{in}}', \]

\[ \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{1}{\delta^2} Y_{\text{in}}''. \]

代入原方程 \(\epsilon y'' + y' = 1\)：

\[\frac{\epsilon}{\delta^2} Y_{\text{in}}'' + \frac{1}{\delta} Y_{\text{in}}' = 1. \]

为了在边界层内保留最高阶导数项（这是刻画剧烈变化的核心），并使方程简化，我们应选择 \(\delta(\epsilon)\) 使得这两项平衡（即同量级）。选择 \(\delta = \epsilon\) 是一个自然的选择，因为这样有 \(\epsilon / \delta^2 = 1/\epsilon\) 和 \(1/\delta = 1/\epsilon\)，两项量级相同（均为 \(O(1/\epsilon)\)），乘以 \(\epsilon\) 后，方程变为：

\[Y_{\text{in}}'' + Y_{\text{in}}' = \epsilon. \]

当 \(\epsilon \to 0\) 时，零阶内方程（即主导平衡方程）为：

\[Y_{\text{in}}'' + Y_{\text{in}}' = 0. \]

边界条件 \(y(0)=0\) 变为 \(Y_{\text{in}}(0)=0\)。

第四步：求解内解
求解零阶内方程 \(Y_0'' + Y_0' = 0\)，其特征方程为 \(r^2 + r = 0\)，根为 \(r=0, -1\)。通解为：

\[Y_0(X) = C + D e^{-X}. \]

由内边界条件 \(Y_0(0) = C + D = 0\)，得 \(D = -C\)。所以

\[Y_0(X) = C(1 - e^{-X}). \]

其中常数 \(C\) 需通过与外解匹配来确定。

第五步：匹配渐近展开（Matching）
匹配原理要求：当内变量 \(X \to \infty\)（即从边界层向外走）时，内解的行为应与当外变量 \(x \to 0^+\)（即从外区域向边界走）时，外解的行为一致。即：

\[\lim_{X \to \infty} Y_0(X) = \lim_{x \to 0^+} y_0(x). \]

计算：左边 \(\lim_{X \to \infty} C(1 - e^{-X}) = C\)。
右边 \(\lim_{x \to 0^+} y_0(x) = \lim_{x \to 0^+} x = 0\)。
因此，匹配给出 \(C = 0\)。这意味着内解 \(Y_0(X) = 0\)。这显然不对，因为这样内解恒为零，失去了边界层修正的意义。问题出在哪里？回顾外解 \(y_0(x)=x\) 在 \(x=0\) 处的值为0，但它的导数为1。对于一阶方程，其通解包含一个常数项。也许我们的匹配条件太强了？实际上，在更精细的匹配中（如中间变量匹配或渐近匹配原理），我们允许内解在 \(X \to \infty\) 时趋近于外解在 \(x=0\) 处的值加上一个关于小量 \(x\) 的线性项。但在这里，由于外解是线性的，我们可以用另一种观点：内解在 \(X \to \infty\) 时的渐近行为应与外解在 \(x \to 0\) 时的行为“一致到主导阶”。我们重做：

外解在 \(x \to 0\) 的行为：\(y_0(x) \sim x = \epsilon X\)（因为 \(x = \epsilon X\)）。
内解在 \(X \to \infty\) 的行为：\(Y_0(X) \sim C\)（因为 \(e^{-X}\) 指数衰减）。
为了使它们匹配，我们需要 \(C = \epsilon X\)？这显然不可能，因为左边是常数，右边依赖于 \(X\)。这表明我们的内解展开可能需要包含更高阶项才能匹配。实际上，正确的做法是，当外解在边界处不为零（常数）时，内解的极限应与该常数匹配。但在本例中，外解在边界处为零，所以常数项匹配给出零。然而，内解 \(Y_0(X) = C(1-e^{-X})\) 在 \(X \to \infty\) 时趋于常数 \(C\)。如果 \(C=0\)，内解恒为零，这无法捕捉边界层效应。这说明，对于这个具体方程，边界层可能不在 \(x=0\)，而在 \(x=1\)？让我们检查：外解 \(y_0(x)=x\) 在 \(x=1\) 处值为1，满足边界条件 \(y(1)=1\)，但在 \(x=1\) 处导数 \(y_0'(1)=1\)，没有矛盾。但方程是奇异的，边界层必须出现在导数项需要平衡的地方。让我们重新分析：如果假设边界层在 \(x=1\)，设内变量 \(X = (1-x)/\delta\)，重复上述过程，会发现选择 \(\delta = \epsilon\) 后，内方程变为 \(-Y_{\text{in}}'' + Y_{\text{in}}' = \epsilon\)（注意符号变化），其零阶解为 \(Y_0 = E + F e^{X}\)。为了使内解在 \(X \to \infty\)（即 \(x \to 1^-\)）时不爆炸，需要 \(F=0\)，则内解为常数，由边界条件 \(y(1)=1\) 得 \(E=1\)。匹配：\(\lim_{X \to \infty} Y_0 = 1\)，\(\lim_{x \to 1^-} y_0(x) = 1\)，匹配成功。但内解为常数，没有剧烈变化，不是边界层。这说明，对于这个特定方程，由于边界条件恰好被外解满足，可能没有剧烈的边界层。但这作为一个教学示例，展示了当边界条件与外解冲突时的一般步骤。让我们修改问题，使其成为更标准的奇异摄动问题：

修正示例： 考虑 \(\epsilon y'' + y' = 1\)，边界条件为 \(y(0)=0, y(1)=0\)。此时，外解 \(y_0(x) = x + A\) 无法同时满足 \(y_0(0)=0\) 和 \(y_0(1)=0\)（因为 \(y_0(0)=A=0\) 给出 \(y_0(x)=x\)，但 \(y_0(1)=1 \neq 0\)）。所以边界层必然出现在某一端。通常，边界层出现在导数项需要改变符号以满足边界条件的地方。这里，外解 \(y_0(x)=x\) 在 \(x=1\) 处为1，但需要为0，因此需要在 \(x=1\) 附近急剧下降。我们假设边界层在 \(x=1\)。

重复步骤：

外解（满足左边界 \(y(0)=0\)）： \(y_0(x) = x + A\)，由 \(y_0(0)=0\) 得 \(A=0\)，所以 \(y_0(x)=x\)。
边界层在 \(x=1\)：引入内变量 \(X = (1-x)/\delta\)，设 \(Y_{\text{in}}(X) = y(x)\)。计算导数：\(y' = -Y_{\text{in}}'/\delta\)， \(y'' = Y_{\text{in}}''/\delta^2\)。代入方程：

\[\frac{\epsilon}{\delta^2} Y_{\text{in}}'' - \frac{1}{\delta} Y_{\text{in}}' = 1. \]

选择 \(\delta = \epsilon\) 以平衡主导项，得到内方程：

\[Y_{\text{in}}'' - Y_{\text{in}}' = \epsilon. \]

零阶内方程：\(Y_0'' - Y_0' = 0\)，通解 \(Y_0(X) = E + F e^{X}\)。
边界条件 \(y(1)=0\) 对应于 \(X=0\) 时 \(Y_0(0)=0\)，即 \(E + F = 0\)，所以 \(F = -E\)， \(Y_0(X) = E(1 - e^{X})\)。
为使内解在 \(X \to \infty\)（即进入外区域，\(x < 1\)）时不指数爆炸（因为 \(e^{X} \to \infty\)），我们必须要求 \(e^{X}\) 的系数为零，即 \(F=0\)，从而 \(E=0\)，得到平凡解。这提示我们，边界层应出现在左端 \(x=0\) 处，因为 \(e^{X}\) 在 \(X \to \infty\) 时爆炸是不可接受的，而 \(e^{-X}\) 则是衰减的。重新假设边界层在 \(x=0\)。

边界层在 \(x=0\) 的修正问题：

外解：现在让它满足右边界 \(y(1)=0\)。由 \(y_0(x)=x+A\) 和 \(y_0(1)=1+A=0\) 得 \(A=-1\)，所以外解 \(y_0(x) = x - 1\)。
边界层在 \(x=0\)：内变量 \(X = x/\epsilon\)，内解 \(Y_0(X)\) 满足 \(Y_0'' + Y_0' = 0\)，通解 \(Y_0(X) = C + D e^{-X}\)，边界条件 \(y(0)=0\) 给出 \(Y_0(0)=C+D=0\)，所以 \(D=-C\)， \(Y_0(X) = C(1 - e^{-X})\)。
匹配：当 \(X \to \infty\)， \(Y_0(X) \to C\)。当 \(x \to 0^+\)，外解 \(y_0(x) = x-1 \to -1\)。因此匹配要求 \(C = -1\)。
于是，内解为 \(Y_0(X) = -1 + e^{-X}\)。
因此，我们得到了一个一致有效的零阶近似解（称为复合展开）：

\[y_{\text{comp}}(x) \approx y_0(x) + Y_0(x/\epsilon) - \text{共同部分} = (x-1) + (-1 + e^{-x/\epsilon}) - (-1) = x - 1 + e^{-x/\epsilon}. \]

这里共同部分（overlap）是匹配极限值 \(-1\)。可以验证，在 \(x=0\) 处，\(y_{\text{comp}}(0) \approx 0\)；在 \(x=1\) 处，\(y_{\text{comp}}(1) \approx 0 + e^{-1/\epsilon} \approx 0\)；在外区域（\(x\) 远离0），\(e^{-x/\epsilon}\) 可忽略，得到外解 \(x-1\)；在边界层内（\(x\) 很小），\(x-1 \approx -1\)，与内解结合得到 \(-1 + e^{-x/\epsilon}\)。这很好地近似了真实解。

第六步：总结与推广
边界层理论的关键步骤是：1) 识别奇异摄动和边界层可能的位置；2) 求外解（退化方程的解，满足部分边界条件）；3) 通过伸缩变换确定边界层尺度并求内解；4) 运用匹配原理连接内解和外解；5) 构造一致有效的复合展开。此方法广泛应用于流体力学（粘性边界层）、量子力学（WKB方法在转折点附近）、弹性力学等多尺度问题中。

数学物理方程中的摄动理论（续）：边界层理论与匹配渐近展开你已经了解了摄动理论的基本思想，即通过小参数展开来近似求解难以精确处理的方程。现在，我们深入到一种针对奇异摄动问题的关键技术。当小参数与最高阶导数相乘时，标准的摄动展开会在某些区域（如边界附近）失效，因为忽略最高阶项会改变方程的类型（例如，从椭圆型退化为抛物线型）。这就需要边界层理论和匹配渐近展开方法来处理。第一步：奇异摄动问题的识别考虑一个简单的模型方程： \[ \epsilon y''(x) + y'(x) = 1, \quad 0 < x < 1, \quad y(0)=0, \quad y(1)=1 \] 其中 \( 0 < \epsilon \ll 1 \) 是一个小参数。这个方程是“奇异摄动”的典型例子，因为参数 \(\epsilon\) 乘在了最高阶导数 \(y''\) 上。如果我们天真地设 \(\epsilon = 0\)，得到退化方程 \(y' = 1\)，其通解为 \(y = x + C\)。这个退化方程无法同时满足两个边界条件 \(y(0)=0\) 和 \(y(1)=1\)（实际上 \(y(0)=0\) 给出 \(C=0\)，但 \(y(1)=1+0=1\) 恰好满足，这是一个特例，通常不会同时满足）。关键在于，在 \(x=0\) 附近，忽略 \(\epsilon y''\) 可能是不合法的，因为导数 \(y''\) 可能非常大以平衡小参数 \(\epsilon\)。这个导数剧烈的区域就称为“边界层”。第二步：外解（Outer Solution）外解是在边界层区域之外成立的解。我们假设在远离边界层的地方，解可以展开为 \(\epsilon\) 的幂级数： \[ y_ {\text{out}}(x) = y_ 0(x) + \epsilon y_ 1(x) + \epsilon^2 y_ 2(x) + \dots \] 将其代入原方程并按 \(\epsilon\) 的幂次整理： \(\epsilon^0\) 阶: \(y_ 0'(x) = 1\) ⇒ \(y_ 0(x) = x + A\)。 \(\epsilon^1\) 阶: \(y_ 1'(x) = -y_ 0''(x) = 0\) ⇒ \(y_ 1(x) = B\)。通常，外解需要满足一个边界条件。由于我们预感边界层在 \(x=0\) 处，我们让外解满足右端点 \(x=1\) 的条件：\(y_ {\text{out}}(1)=1\)。代入 \(y_ 0(1)=1+A=1\) ⇒ \(A=0\)。所以零阶外解为 \(y_ 0(x)=x\)。一阶外解为 \(y_ {\text{out}}(x) = x + \epsilon B\)，其中 \(B\) 待定。注意，在 \(x=0\) 处，外解 \(y_ 0(0)=0\) 恰好满足边界条件，但 \(y_ 0'(0)=1\)，而原方程在 \(x=0\) 处要求 \(y(0)=0\)，外解本身无法满足导数可能发生剧烈变化的需求。第三步：引入边界层与伸缩变换我们怀疑在 \(x=0\) 附近存在一个很薄的层，其厚度为 \(\delta(\epsilon)\)，在此区域内 \(y\) 变化剧烈。为了放大这个区域，我们引入“内变量”（inner variable）或“伸展坐标”： \[ X = \frac{x}{\delta(\epsilon)} \] 并设内解为 \(Y_ {\text{in}}(X) = y(x)\)。这里 \(\delta(\epsilon)\) 是一个待定的、当 \(\epsilon \to 0\) 时也趋于零的函数。我们将原方程用新变量表示。计算导数： \[ \frac{dy}{dx} = \frac{dY_ {\text{in}}}{dX} \cdot \frac{dX}{dx} = \frac{1}{\delta} Y_ {\text{in}}', \] \[ \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{1}{\delta^2} Y_ {\text{in}}''. \] 代入原方程 \(\epsilon y'' + y' = 1\)： \[ \frac{\epsilon}{\delta^2} Y_ {\text{in}}'' + \frac{1}{\delta} Y_ {\text{in}}' = 1. \] 为了在边界层内保留最高阶导数项（这是刻画剧烈变化的核心），并使方程简化，我们应选择 \(\delta(\epsilon)\) 使得这两项平衡（即同量级）。选择 \(\delta = \epsilon\) 是一个自然的选择，因为这样有 \(\epsilon / \delta^2 = 1/\epsilon\) 和 \(1/\delta = 1/\epsilon\)，两项量级相同（均为 \(O(1/\epsilon)\)），乘以 \(\epsilon\) 后，方程变为： \[ Y_ {\text{in}}'' + Y_ {\text{in}}' = \epsilon. \] 当 \(\epsilon \to 0\) 时，零阶内方程（即主导平衡方程）为： \[ Y_ {\text{in}}'' + Y_ {\text{in}}' = 0. \] 边界条件 \(y(0)=0\) 变为 \(Y_ {\text{in}}(0)=0\)。第四步：求解内解求解零阶内方程 \(Y_ 0'' + Y_ 0' = 0\)，其特征方程为 \(r^2 + r = 0\)，根为 \(r=0, -1\)。通解为： \[ Y_ 0(X) = C + D e^{-X}. \] 由内边界条件 \(Y_ 0(0) = C + D = 0\)，得 \(D = -C\)。所以 \[ Y_ 0(X) = C(1 - e^{-X}). \] 其中常数 \(C\) 需通过与外解匹配来确定。第五步：匹配渐近展开（Matching）匹配原理要求：当内变量 \(X \to \infty\)（即从边界层向外走）时，内解的行为应与当外变量 \(x \to 0^+\)（即从外区域向边界走）时，外解的行为一致。即： \[ \lim_ {X \to \infty} Y_ 0(X) = \lim_ {x \to 0^+} y_ 0(x). \] 计算：左边 \(\lim_ {X \to \infty} C(1 - e^{-X}) = C\)。右边 \(\lim_ {x \to 0^+} y_ 0(x) = \lim_ {x \to 0^+} x = 0\)。因此，匹配给出 \(C = 0\)。这意味着内解 \(Y_ 0(X) = 0\)。这显然不对，因为这样内解恒为零，失去了边界层修正的意义。问题出在哪里？回顾外解 \(y_ 0(x)=x\) 在 \(x=0\) 处的值为0，但它的导数为1。对于一阶方程，其通解包含一个常数项。也许我们的匹配条件太强了？实际上，在更精细的匹配中（如中间变量匹配或渐近匹配原理），我们允许内解在 \(X \to \infty\) 时趋近于外解在 \(x=0\) 处的值加上一个关于小量 \(x\) 的线性项。但在这里，由于外解是线性的，我们可以用另一种观点：内解在 \(X \to \infty\) 时的渐近行为应与外解在 \(x \to 0\) 时的行为“一致到主导阶”。我们重做：外解在 \(x \to 0\) 的行为：\(y_ 0(x) \sim x = \epsilon X\)（因为 \(x = \epsilon X\)）。内解在 \(X \to \infty\) 的行为：\(Y_ 0(X) \sim C\)（因为 \(e^{-X}\) 指数衰减）。为了使它们匹配，我们需要 \(C = \epsilon X\)？这显然不可能，因为左边是常数，右边依赖于 \(X\)。这表明我们的内解展开可能需要包含更高阶项才能匹配。实际上，正确的做法是，当外解在边界处不为零（常数）时，内解的极限应与该常数匹配。但在本例中，外解在边界处为零，所以常数项匹配给出零。然而，内解 \(Y_ 0(X) = C(1-e^{-X})\) 在 \(X \to \infty\) 时趋于常数 \(C\)。如果 \(C=0\)，内解恒为零，这无法捕捉边界层效应。这说明，对于这个具体方程，边界层可能不在 \(x=0\)，而在 \(x=1\)？让我们检查：外解 \(y_ 0(x)=x\) 在 \(x=1\) 处值为1，满足边界条件 \(y(1)=1\)，但在 \(x=1\) 处导数 \(y_ 0'(1)=1\)，没有矛盾。但方程是奇异的，边界层必须出现在导数项需要平衡的地方。让我们重新分析：如果假设边界层在 \(x=1\)，设内变量 \(X = (1-x)/\delta\)，重复上述过程，会发现选择 \(\delta = \epsilon\) 后，内方程变为 \(-Y_ {\text{in}}'' + Y_ {\text{in}}' = \epsilon\)（注意符号变化），其零阶解为 \(Y_ 0 = E + F e^{X}\)。为了使内解在 \(X \to \infty\)（即 \(x \to 1^-\)）时不爆炸，需要 \(F=0\)，则内解为常数，由边界条件 \(y(1)=1\) 得 \(E=1\)。匹配：\(\lim_ {X \to \infty} Y_ 0 = 1\)，\(\lim_ {x \to 1^-} y_ 0(x) = 1\)，匹配成功。但内解为常数，没有剧烈变化，不是边界层。这说明，对于这个特定方程，由于边界条件恰好被外解满足，可能没有剧烈的边界层。但这作为一个教学示例，展示了当边界条件与外解冲突时的一般步骤。让我们修改问题，使其成为更标准的奇异摄动问题：修正示例：考虑 \(\epsilon y'' + y' = 1\)，边界条件为 \(y(0)=0, y(1)=0\)。此时，外解 \(y_ 0(x) = x + A\) 无法同时满足 \(y_ 0(0)=0\) 和 \(y_ 0(1)=0\)（因为 \(y_ 0(0)=A=0\) 给出 \(y_ 0(x)=x\)，但 \(y_ 0(1)=1 \neq 0\)）。所以边界层必然出现在某一端。通常，边界层出现在导数项需要改变符号以满足边界条件的地方。这里，外解 \(y_ 0(x)=x\) 在 \(x=1\) 处为1，但需要为0，因此需要在 \(x=1\) 附近急剧下降。我们假设边界层在 \(x=1\)。重复步骤：外解（满足左边界 \(y(0)=0\)）： \(y_ 0(x) = x + A\)，由 \(y_ 0(0)=0\) 得 \(A=0\)，所以 \(y_ 0(x)=x\)。边界层在 \(x=1\)：引入内变量 \(X = (1-x)/\delta\)，设 \(Y_ {\text{in}}(X) = y(x)\)。计算导数：\(y' = -Y_ {\text{in}}'/\delta\)， \(y'' = Y_ {\text{in}}''/\delta^2\)。代入方程： \[ \frac{\epsilon}{\delta^2} Y_ {\text{in}}'' - \frac{1}{\delta} Y_ {\text{in}}' = 1. \] 选择 \(\delta = \epsilon\) 以平衡主导项，得到内方程： \[ Y_ {\text{in}}'' - Y_ {\text{in}}' = \epsilon. \] 零阶内方程：\(Y_ 0'' - Y_ 0' = 0\)，通解 \(Y_ 0(X) = E + F e^{X}\)。边界条件 \(y(1)=0\) 对应于 \(X=0\) 时 \(Y_ 0(0)=0\)，即 \(E + F = 0\)，所以 \(F = -E\)， \(Y_ 0(X) = E(1 - e^{X})\)。为使内解在 \(X \to \infty\)（即进入外区域，\(x < 1\)）时不指数爆炸（因为 \(e^{X} \to \infty\)），我们必须要求 \(e^{X}\) 的系数为零，即 \(F=0\)，从而 \(E=0\)，得到平凡解。这提示我们，边界层应出现在左端 \(x=0\) 处，因为 \(e^{X}\) 在 \(X \to \infty\) 时爆炸是不可接受的，而 \(e^{-X}\) 则是衰减的。重新假设边界层在 \(x=0\)。边界层在 \(x=0\) 的修正问题：外解：现在让它满足右边界 \(y(1)=0\)。由 \(y_ 0(x)=x+A\) 和 \(y_ 0(1)=1+A=0\) 得 \(A=-1\)，所以外解 \(y_ 0(x) = x - 1\)。边界层在 \(x=0\)：内变量 \(X = x/\epsilon\)，内解 \(Y_ 0(X)\) 满足 \(Y_ 0'' + Y_ 0' = 0\)，通解 \(Y_ 0(X) = C + D e^{-X}\)，边界条件 \(y(0)=0\) 给出 \(Y_ 0(0)=C+D=0\)，所以 \(D=-C\)， \(Y_ 0(X) = C(1 - e^{-X})\)。匹配：当 \(X \to \infty\)， \(Y_ 0(X) \to C\)。当 \(x \to 0^+\)，外解 \(y_ 0(x) = x-1 \to -1\)。因此匹配要求 \(C = -1\)。于是，内解为 \(Y_ 0(X) = -1 + e^{-X}\)。因此，我们得到了一个一致有效的零阶近似解（称为复合展开）： \[ y_ {\text{comp}}(x) \approx y_ 0(x) + Y_ 0(x/\epsilon) - \text{共同部分} = (x-1) + (-1 + e^{-x/\epsilon}) - (-1) = x - 1 + e^{-x/\epsilon}. \] 这里共同部分（overlap）是匹配极限值 \(-1\)。可以验证，在 \(x=0\) 处，\(y_ {\text{comp}}(0) \approx 0\)；在 \(x=1\) 处，\(y_ {\text{comp}}(1) \approx 0 + e^{-1/\epsilon} \approx 0\)；在外区域（\(x\) 远离0），\(e^{-x/\epsilon}\) 可忽略，得到外解 \(x-1\)；在边界层内（\(x\) 很小），\(x-1 \approx -1\)，与内解结合得到 \(-1 + e^{-x/\epsilon}\)。这很好地近似了真实解。第六步：总结与推广边界层理论的关键步骤是：1) 识别奇异摄动和边界层可能的位置；2) 求外解（退化方程的解，满足部分边界条件）；3) 通过伸缩变换确定边界层尺度并求内解；4) 运用匹配原理连接内解和外解；5) 构造一致有效的复合展开。此方法广泛应用于流体力学（粘性边界层）、量子力学（WKB方法在转折点附近）、弹性力学等多尺度问题中。