随机利率模型下的傅里叶变换定价法
字数 2306 2025-12-10 01:11:11

随机利率模型下的傅里叶变换定价法

  1. 背景与核心问题
    在之前的词条中，你已了解随机利率模型（如CIR、Hull-White等）和傅里叶变换在期权定价中的应用。许多利率衍生品（如债券期权、利率上限等）的定价依赖于未来利率随机演化下的贴现期望。当利率是随机的，贴现因子与标的资产价格通常耦合，导致定价公式复杂。傅里叶变换法可通过特征函数高效计算期望，但随机利率会改变定价测度下的资产特征函数。本词条将解释如何将傅里叶变换法扩展至随机利率环境。

  2. 随机利率对定价框架的影响
    在无风险利率为常数 \(r\) 的模型中（如布莱克-斯科尔斯），风险中性测度下资产价格 \(S_T\) 的特征函数通常可直接求解。但在随机利率模型下，短期利率 \(r_t\) 是一个随机过程（如仿射期限结构模型）。此时，零息债券价格 \(P(t, T) = \mathbb{E}_t^Q [e^{-\int_t^T r_s ds}]\) 也随机。欧式期权在 \(t\) 时刻的价格为：

\[ V_t = \mathbb{E}_t^Q \left[ e^{-\int_t^T r_s ds} \cdot \text{Payoff}(S_T) \right] \]

这里贴现因子与标的资产 \(S_T\) 可能相关（例如利率与资产波动率相关），因此不能简单分离为常数贴现乘以期望。

  1. 傅里叶变换法的关键调整：远期测度
    为简化计算，常采用 远期测度 \(Q^T\)，其与到期日 \(T\) 的零息债券 \(P(\cdot, T)\) 关联。该测度下，\(T\) 时刻到期的零息债券为单位计价物，定价公式变为：

\[ V_t = P(t, T) \cdot \mathbb{E}_t^{Q^T} [ \text{Payoff}(S_T) ] \]

这消除了贴现因子中的随机积分，将问题转化为在 \(Q^T\) 下计算 \(S_T\) 的期望。此时，傅里叶变换法需要 \(S_T\) 在 \(Q^T\) 下的特征函数：

\[ \phi_T(u) = \mathbb{E}_t^{Q^T} [e^{iu \ln S_T}] \]

其中 \(i\) 是虚数单位。关键在于推导 \(\phi_T(u)\)，这依赖于随机利率模型与标的资产模型的联合设定。

  1. 特征函数的推导：仿射模型框架
    若随机利率模型与资产价格模型同属仿射过程（如Heston模型+仿射利率模型），则 \(\ln S_T\) 与累积利率 \(\int_t^T r_s ds\) 的联合特征函数具有指数仿射形式：

\[ \mathbb{E}_t^Q [\exp(i u \ln S_T + i v \int_t^T r_s ds)] = \exp(A(\tau, u, v) + B(\tau, u, v) r_t + C(\tau, u, v) \ln S_t) \]

其中 \(\tau = T-t\)，系数 \(A, B, C\) 通过求解常微分方程组（Riccati方程）得到。在远期测度 \(Q^T\) 下，\(S_T\) 的特征函数可通过设定特定参数 \(v\) 得到，因为测度变换对应特征函数中 \(v\) 的调整。

  1. 定价步骤示例：随机利率下的欧式看涨期权
    假设标的资产 \(S_t\) 与短期利率 \(r_t\) 服从联合仿射过程，具体步骤如下：
  • 步骤1：求解模型在风险中性测度 \(Q\) 下的联合特征函数，得到 \(\phi(u, v) = \mathbb{E}_t^Q [e^{iu \ln S_T + v \int_t^T r_s ds}]\)。
  • 步骤2：远期测度 \(Q^T\) 对应的Radon-Nikodym导数为 \(\frac{dQ^T}{dQ} = \frac{e^{-\int_t^T r_s ds}}{P(t, T)}\)，因此 \(Q^T\) 下特征函数为：

\[ \phi_T(u) = \frac{\phi(u, i)}{P(t, T)} \quad \text{（注意此处 } v=i \text{ 由测度变换导出）} \]

- **步骤3**：应用傅里叶反变换公式（如Lewis公式或COS方法）计算期权价格：

\[ V_t = P(t, T) \cdot \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{\text{Payoff}}(u) \cdot \phi_T(-u) du \]

其中 \(\hat{\text{Payoff}}(u)\) 是收益函数的傅里叶变换（如看涨期权的解析表达式）。

  1. 优势与适用范围
    此方法优点在于：

    • 高效处理随机利率与标的资产的相关性。
    • 适用于复杂收益的期权（如数字期权、利差期权）。
    • 与数值积分（如FFT、COS法）结合可实现快速定价。
      但要求模型具有可处理的联合特征函数，故常用于仿射模型（如Heston-CIR混合模型、Schöbel-Zhu随机利率扩展等）。

  2. 数值实现与校准
    实际应用中，需数值求解Riccati方程得到 \(\phi_T(u)\)，再通过FFT或COS法反变换。校准模型时，需同时拟合利率期限结构、标的资产价格与波动率曲面。随机利率的引入增加了模型自由度，可更好地刻画长期期权定价中的“曲率效应”。

随机利率模型下的傅里叶变换定价法 背景与核心问题 在之前的词条中，你已了解随机利率模型（如CIR、Hull-White等）和傅里叶变换在期权定价中的应用。许多利率衍生品（如债券期权、利率上限等）的定价依赖于未来利率随机演化下的贴现期望。当利率是随机的，贴现因子与标的资产价格通常耦合，导致定价公式复杂。傅里叶变换法可通过特征函数高效计算期望，但随机利率会改变定价测度下的资产特征函数。本词条将解释如何将傅里叶变换法扩展至随机利率环境。 随机利率对定价框架的影响 在无风险利率为常数 \( r \) 的模型中（如布莱克-斯科尔斯），风险中性测度下资产价格 \( S_ T \) 的特征函数通常可直接求解。但在随机利率模型下，短期利率 \( r_ t \) 是一个随机过程（如仿射期限结构模型）。此时，零息债券价格 \( P(t, T) = \mathbb{E}_ t^Q [ e^{-\int_ t^T r_ s ds} ] \) 也随机。欧式期权在 \( t \) 时刻的价格为： \[ V_ t = \mathbb{E}_ t^Q \left[ e^{-\int_ t^T r_ s ds} \cdot \text{Payoff}(S_ T) \right ] \] 这里贴现因子与标的资产 \( S_ T \) 可能相关（例如利率与资产波动率相关），因此不能简单分离为常数贴现乘以期望。 傅里叶变换法的关键调整：远期测度 为简化计算，常采用 远期测度 \( Q^T \)，其与到期日 \( T \) 的零息债券 \( P(\cdot, T) \) 关联。该测度下，\( T \) 时刻到期的零息债券为单位计价物，定价公式变为： \[ V_ t = P(t, T) \cdot \mathbb{E}_ t^{Q^T} [ \text{Payoff}(S_ T) ] \] 这消除了贴现因子中的随机积分，将问题转化为在 \( Q^T \) 下计算 \( S_ T \) 的期望。此时，傅里叶变换法需要 \( S_ T \) 在 \( Q^T \) 下的特征函数： \[ \phi_ T(u) = \mathbb{E}_ t^{Q^T} [ e^{iu \ln S_ T} ] \] 其中 \( i \) 是虚数单位。关键在于推导 \( \phi_ T(u) \)，这依赖于随机利率模型与标的资产模型的联合设定。 特征函数的推导：仿射模型框架 若随机利率模型与资产价格模型同属 仿射过程 （如Heston模型+仿射利率模型），则 \( \ln S_ T \) 与累积利率 \( \int_ t^T r_ s ds \) 的联合特征函数具有指数仿射形式： \[ \mathbb{E}_ t^Q [ \exp(i u \ln S_ T + i v \int_ t^T r_ s ds)] = \exp(A(\tau, u, v) + B(\tau, u, v) r_ t + C(\tau, u, v) \ln S_ t) \] 其中 \( \tau = T-t \)，系数 \( A, B, C \) 通过求解常微分方程组（Riccati方程）得到。在远期测度 \( Q^T \) 下，\( S_ T \) 的特征函数可通过设定特定参数 \( v \) 得到，因为测度变换对应特征函数中 \( v \) 的调整。 定价步骤示例：随机利率下的欧式看涨期权 假设标的资产 \( S_ t \) 与短期利率 \( r_ t \) 服从联合仿射过程，具体步骤如下： 步骤1 ：求解模型在风险中性测度 \( Q \) 下的联合特征函数，得到 \( \phi(u, v) = \mathbb{E}_ t^Q [ e^{iu \ln S_ T + v \int_ t^T r_ s ds} ] \)。 步骤2 ：远期测度 \( Q^T \) 对应的Radon-Nikodym导数为 \( \frac{dQ^T}{dQ} = \frac{e^{-\int_ t^T r_ s ds}}{P(t, T)} \)，因此 \( Q^T \) 下特征函数为： \[ \phi_ T(u) = \frac{\phi(u, i)}{P(t, T)} \quad \text{（注意此处 } v=i \text{ 由测度变换导出）} \] 步骤3 ：应用傅里叶反变换公式（如Lewis公式或COS方法）计算期权价格： \[ V_ t = P(t, T) \cdot \frac{1}{2\pi} \int_ {-\infty}^{\infty} \hat{\text{Payoff}}(u) \cdot \phi_ T(-u) du \] 其中 \( \hat{\text{Payoff}}(u) \) 是收益函数的傅里叶变换（如看涨期权的解析表达式）。 优势与适用范围 此方法优点在于： 高效处理随机利率与标的资产的相关性。 适用于复杂收益的期权（如数字期权、利差期权）。 与数值积分（如FFT、COS法）结合可实现快速定价。 但要求模型具有可处理的联合特征函数，故常用于仿射模型（如Heston-CIR混合模型、Schöbel-Zhu随机利率扩展等）。 数值实现与校准 实际应用中，需数值求解Riccati方程得到 \( \phi_ T(u) \)，再通过FFT或COS法反变换。校准模型时，需同时拟合利率期限结构、标的资产价格与波动率曲面。随机利率的引入增加了模型自由度，可更好地刻画长期期权定价中的“曲率效应”。