数学课程设计中的数学运算程序性知识与概念性知识融合教学
字数 2301 2025-12-10 00:38:22

数学课程设计中的数学运算程序性知识与概念性知识融合教学

好的，这是一个尚未讲解的词条。我将为您系统性地讲解这个概念，确保每一步都细致清晰。

第一步：理解“概念性知识”与“程序性知识”的基本内涵
在数学学习中，知识通常被分为两类：

  • 概念性知识：是关于“是什么”和“为什么”的知识。它涉及对数学概念、原理、关系和结构的理解。例如，理解“分数”的本质是表示整体与部分的关系，理解加法交换律“a+b=b+a”背后的数学原理。
  • 程序性知识：是关于“如何做”的知识。它涉及执行数学运算或步骤的技能和算法。例如，计算分数加法的步骤“先通分，再分子相加，分母不变”，或者解一元一次方程“移项、合并同类项、系数化为1”的流程。

长期以来，数学教学可能偏重一方：或强调死记硬背计算步骤（重程序），或只强调理解概念而缺乏熟练操作（重概念）。融合教学的核心目标，就是打破这种割裂。

第二步：认识“融合”的必要性与教学价值
孤立的教学会导致严重的学习问题：

  • 仅有程序性知识：学生能机械算出结果，但不知道每一步的意义。例如，能熟练进行“小数点对齐的竖式加减法”，却不理解这本质上是“相同计数单位才能相加减”的概念，在遇到非十进制运算或估算时就会出错。这导致知识僵化，无法迁移。
  • 仅有概念性知识：学生可能理解了原理，但缺乏将其转化为有效行动的能力，计算速度慢、准确性低，在解决复杂问题时思维无法落地。

融合教学的价值在于：

  1. 促进深刻理解：在理解概念的基础上学习程序，程序就变成了“有道理的操作”。
  2. 支持灵活迁移：理解了程序背后的概念，学生才能在新的、陌生的问题情境中调整或创造程序。
  3. 增强学习动机：当学生知道“为什么这样做”时，枯燥的练习变得有意义，能减少机械记忆的负担。

第三步：构建融合教学的递进设计框架（如何教）
这是一个从具体到抽象，再从抽象回到具体的循环上升过程。我们以小学数学“多位数乘法竖式”为例。

  • 阶段一：从具体情境和概念理解出发，自然生成程序

    • 设计活动：创设真实问题，如“一盒彩笔有24支，13盒共有多少支？”
    • 概念探究：引导学生用多种方式（如：面积模型、拆分法）来表征和解决。例如，将13盒视为10盒+3盒，24×13 = 24×10 + 24×3。用格子图（面积模型）将13×24分解为（10+3）×（20+4），得到四个部分的乘积之和。
    • 关键连接：在此过程中，让学生清晰理解每个部分积的意义（24×10是10个24，24×3是3个24），以及为什么最后要把这些积加起来（乘法分配律）。这时，竖式计算中“分层书写部分积、错位相加”的程序，就变成了对上述面积模型或拆分法操作的一种简洁记录和高效算法。

  • 阶段二：程序操作与概念理解明确关联

    • 显性链接：在学生初步尝试竖式计算后，不急于追求熟练，而是停下来“复盘”。教师通过提问，引导学生将竖式中的每一步与阶段一中的概念模型一一对应：
      • “竖式中先用3乘24，得到72，这对应我们之前拆分中的哪一步？”（24×3）
      • “然后用1乘24，得到24，为什么这个24要写在十位上？”（因为这个“1”是十位上的1，代表1个十，实际上是24×10=240，写在十位是省略末尾0的简便写法）。
    • 这一步是融合的关键，它使算法步骤“透明化”，每一步都不是神秘的规则，而是有数学意义的操作。

  • 阶段三：在变式练习中深化融合，实现自动化与灵活化

    • 设计有层次、有变式的练习：
      1. 常规练习：巩固基本程序，此时强调计算的准确性，但偶尔仍要回顾概念。
      2. 解释性练习：给出一个计算过程（包括正确或错误的），让学生用画图或文字说明每一步的意义。例如，“请用面积模型解释234×15的竖式计算过程。”
      3. 对比性练习：将不同算法（如拆分法、竖式、计算器结果）进行对比，让学生发现它们本质相通。
      4. 缺失数位/错误分析练习：给出一个有部分数字缺失的竖式，让学生根据概念推理解出缺失数。或分析一个典型错误竖式（如未错位），让学生从概念层面指出错在哪里。
    • 目标：通过这种练习，程序性技能在概念框架内变得熟练（自动化），同时学生对概念的理解也因程序的应用而更加透彻和灵活。

  • 阶段四：反思与迁移，在更高层次上统合

    • 引导学生反思：“我们为什么要发明竖式这种方法？它比拆分法好在哪里？”（简洁、统一、处理大数高效）“它的核心思想是什么？”（将复杂乘转化为简单的单位乘和加法，数位对齐是保证相同计数单位运算）。
    • 鼓励迁移：在学习小数乘法竖式时，引导学生思考：“现在遇到了小数点，我们之前整数乘法竖式的概念（相同计数单位相加减乘）和程序（对齐、分层乘、相加）哪些还能用？需要怎样调整？”这促使学生基于核心概念去调整程序，实现真正的学习迁移。

第四步：教师在融合教学中的核心策略

  1. 设计“概念-程序”锚点任务：任务本身必须能同时触及核心概念和关键程序。
  2. 使用多元表征：灵活运用实物、图形、文字、符号等多种表征，并在它们之间建立转换桥梁，直观展现概念与程序的联系。
  3. 提出“为什么”的元认知问题：在教学和练习中，持续追问“为什么这一步要这样做？”“如果不这样做，会违反什么数学原理？”，引导学生为程序性操作提供概念性辩护。
  4. 善用对比与错误：将正确程序与错误程序、不同程序进行对比，是凸显概念重要性的绝佳时机。

总之，数学课程设计中的数学运算程序性知识与概念性知识融合教学，其精髓不是简单地将“理解”和“练习”拼接，而是通过精心设计的教学活动，让学生在建构程序时深刻体验到其概念根源，在运用概念时自然内化为熟练技能，最终形成一种既牢固又灵活、既能操作又能解释的完整的数学知识体。

数学课程设计中的数学运算程序性知识与概念性知识融合教学 好的，这是一个尚未讲解的词条。我将为您系统性地讲解这个概念，确保每一步都细致清晰。 第一步：理解“概念性知识”与“程序性知识”的基本内涵 在数学学习中，知识通常被分为两类： 概念性知识 ：是关于“是什么”和“为什么”的知识。它涉及对数学概念、原理、关系和结构的理解。例如，理解“分数”的本质是表示整体与部分的关系，理解加法交换律“a+b=b+a”背后的数学原理。 程序性知识 ：是关于“如何做”的知识。它涉及执行数学运算或步骤的技能和算法。例如，计算分数加法的步骤“先通分，再分子相加，分母不变”，或者解一元一次方程“移项、合并同类项、系数化为1”的流程。 长期以来，数学教学可能偏重一方：或强调死记硬背计算步骤（重程序），或只强调理解概念而缺乏熟练操作（重概念）。 融合教学 的核心目标，就是打破这种割裂。 第二步：认识“融合”的必要性与教学价值 孤立的教学会导致严重的学习问题： 仅有程序性知识 ：学生能机械算出结果，但不知道每一步的意义。例如，能熟练进行“小数点对齐的竖式加减法”，却不理解这本质上是“相同计数单位才能相加减”的概念，在遇到非十进制运算或估算时就会出错。这导致知识僵化，无法迁移。 仅有概念性知识 ：学生可能理解了原理，但缺乏将其转化为有效行动的能力，计算速度慢、准确性低，在解决复杂问题时思维无法落地。 融合教学的价值在于： 促进深刻理解 ：在理解概念的基础上学习程序，程序就变成了“有道理的操作”。 支持灵活迁移 ：理解了程序背后的概念，学生才能在新的、陌生的问题情境中调整或创造程序。 增强学习动机 ：当学生知道“为什么这样做”时，枯燥的练习变得有意义，能减少机械记忆的负担。 第三步：构建融合教学的递进设计框架（如何教） 这是一个从具体到抽象，再从抽象回到具体的循环上升过程。我们以小学数学“多位数乘法竖式”为例。 阶段一：从具体情境和概念理解出发，自然生成程序 设计活动 ：创设真实问题，如“一盒彩笔有24支，13盒共有多少支？” 概念探究 ：引导学生用多种方式（如：面积模型、拆分法）来表征和解决。例如，将13盒视为10盒+3盒，24×13 = 24×10 + 24×3。用格子图（面积模型）将13×24分解为（10+3）×（20+4），得到四个部分的乘积之和。 关键连接 ：在此过程中，让学生清晰理解每个部分积的意义（24×10是10个24，24×3是3个24），以及为什么最后要把这些积加起来（乘法分配律）。 这时，竖式计算中“分层书写部分积、错位相加”的程序，就变成了对上述面积模型或拆分法操作的一种简洁记录和高效算法。 阶段二：程序操作与概念理解明确关联 显性链接 ：在学生初步尝试竖式计算后， 不急于追求熟练，而是停下来“复盘” 。教师通过提问，引导学生将竖式中的每一步与阶段一中的概念模型一一对应： “竖式中先用3乘24，得到72，这对应我们之前拆分中的哪一步？”（24×3） “然后用1乘24，得到24，为什么这个24要写在十位上？”（因为这个“1”是十位上的1，代表1个十，实际上是24×10=240，写在十位是省略末尾0的简便写法）。 这一步是融合的关键 ，它使算法步骤“透明化”，每一步都不是神秘的规则，而是有数学意义的操作。 阶段三：在变式练习中深化融合，实现自动化与灵活化 设计有层次、有变式的练习 ： 常规练习 ：巩固基本程序，此时强调计算的准确性，但偶尔仍要回顾概念。 解释性练习 ：给出一个计算过程（包括正确或错误的），让学生用画图或文字说明每一步的意义。例如，“请用面积模型解释234×15的竖式计算过程。” 对比性练习 ：将不同算法（如拆分法、竖式、计算器结果）进行对比，让学生发现它们本质相通。 缺失数位/错误分析练习 ：给出一个有部分数字缺失的竖式，让学生根据概念推理解出缺失数。或分析一个典型错误竖式（如未错位），让学生从概念层面指出错在哪里。 目标 ：通过这种练习，程序性技能在概念框架内变得熟练（自动化），同时学生对概念的理解也因程序的应用而更加透彻和灵活。 阶段四：反思与迁移，在更高层次上统合 引导学生反思 ：“我们为什么要发明竖式这种方法？它比拆分法好在哪里？”（简洁、统一、处理大数高效）“它的核心思想是什么？”（将复杂乘转化为简单的单位乘和加法，数位对齐是保证相同计数单位运算）。 鼓励迁移 ：在学习小数乘法竖式时，引导学生思考：“现在遇到了小数点，我们之前整数乘法竖式的概念（相同计数单位相加减乘）和程序（对齐、分层乘、相加）哪些还能用？需要怎样调整？”这促使学生基于核心概念去调整程序，实现真正的学习迁移。 第四步：教师在融合教学中的核心策略 设计“概念-程序”锚点任务 ：任务本身必须能同时触及核心概念和关键程序。 使用多元表征 ：灵活运用实物、图形、文字、符号等多种表征，并在它们之间建立转换桥梁，直观展现概念与程序的联系。 提出“为什么”的元认知问题 ：在教学和练习中，持续追问“为什么这一步要这样做？”“如果不这样做，会违反什么数学原理？”，引导学生为程序性操作提供概念性辩护。 善用对比与错误 ：将正确程序与错误程序、不同程序进行对比，是凸显概念重要性的绝佳时机。 总之， 数学课程设计中的数学运算程序性知识与概念性知识融合教学 ，其精髓不是简单地将“理解”和“练习”拼接，而是通过精心设计的教学活动，让学生在建构程序时深刻体验到其概念根源，在运用概念时自然内化为熟练技能，最终形成一种既牢固又灵活、既能操作又能解释的完整的数学知识体。