数学物理方程中的积分方程方法（续）：奇异积分方程与诺特定理
我们从线性积分方程理论出发，向更具挑战性的奇异积分方程领域推进。这个“续篇”将聚焦于积分核在积分区域内具有奇异性（如柯西主值型奇异性）的方程，并阐述处理这类方程的关键工具——诺特定理。
第一步：什么是奇异积分方程？
我们此前讨论的Fredholm与Volterra方程，通常要求其积分核 \(K(x,s)\) 是连续的或有弱奇异性（即积分绝对收敛）。奇异积分方程则不同，其积分核具有更强的奇异性，使得积分必须按柯西主值或其他广义积分的意义来理解。
最常见的类型是柯西型奇异积分方程，其一般形式为：
\[a(t)\phi(t) + \frac{b(t)}{\pi i} \int_L \frac{\phi(\tau)}{\tau - t} d\tau + \int_L K(t, \tau)\phi(\tau)d\tau = f(t), \quad t \in L \]
其中：
- 未知函数 \(\phi(t)\) 定义在复平面上一段光滑曲线或闭合围道 \(L\) 上。
- 积分项 \(\int_L \frac{\phi(\tau)}{\tau - t} d\tau\) 是柯西主值积分，记为 \((S\phi)(t)\)，即：
\[(S\phi)(t) = \frac{1}{\pi i} \mathrm{P.V.} \int_L \frac{\phi(\tau)}{\tau - t} d\tau = \frac{1}{\pi i} \lim_{\epsilon \to 0} \int_{L \setminus |\tau - t| < \epsilon} \frac{\phi(\tau)}{\tau - t} d\tau \]
- \(a(t), b(t)\) 是 \(L\) 上给定的系数函数（称为方程的“系数”）。
- \(K(t, \tau)\) 是通常的弱奇异核或连续核，\(f(t)\) 是已知右端项。
当 \(b(t) \not\equiv 0\) 时，方程的本质由奇异部分（柯西主值积分项）主导，其理论和解法与此前的方程有根本不同。
第二步：基本工具——柯西型积分与普莱梅利公式
处理奇异积分方程的核心是柯西型积分及其边界性质。设 \(L\) 是一条光滑闭合曲线（如单位圆），定义柯西型积分：
\[\Phi(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_L \frac{\phi(\tau)}{\tau - z} d\tau, \quad z \notin L \]
当点 \(z\) 从 \(L\) 的内部（\(+\)侧）或外部（\(-\)侧）趋于 \(t \in L\) 时，其边界值满足普莱梅利公式（也称索霍茨基-普莱梅利公式）：
\[\Phi^+(t) = \frac{1}{2} \phi(t) + \frac{1}{2\pi i} \mathrm{P.V.} \int_L \frac{\phi(\tau)}{\tau - t} d\tau \]
\[ \Phi^-(t) = -\frac{1}{2} \phi(t) + \frac{1}{2\pi i} \mathrm{P.V.} \int_L \frac{\phi(\tau)}{\tau - t} d\tau \]
其中 \(\Phi^\pm(t)\) 表示从正侧（曲线左侧）和负侧趋近的极限值。两式相减得到 \(\phi(t) = \Phi^+(t) - \Phi^-(t)\)，相加则得到：
\[\frac{1}{\pi i} \mathrm{P.V.} \int_L \frac{\phi(\tau)}{\tau - t} d\tau = \Phi^+(t) + \Phi^-(t) \]
这个关系揭示了柯西主值积分与柯西型积分边界值之间的深刻联系，是求解奇异积分方程的基础。
第三步：奇异积分算子的象征与诺特定理
将奇异积分方程写为算子形式：
\[(A\phi)(t) = a(t)\phi(t) + b(t)(S\phi)(t) + (K\phi)(t) = f(t) \]
其中 \(S\) 是奇异积分算子，\(K\) 是紧算子（对应弱奇异或连续核项）。在象征演算的框架下，算子 \(A\) 的主要部分由其特征象征 \(\sigma(t, \xi)\) 描述。对于闭合围道 \(L\)，可参数化后引入角变量，在傅里叶空间，奇异积分算子 \(S\) 的象征是希尔伯特变换的象征 \(\operatorname{sgn}(\xi)\)。更一般地，算子 \(A\) 的象征定义为：
\[\sigma_A(t) = a(t) + b(t) \frac{\xi - i}{\xi + i} \quad \text{或等价地} \quad \sigma_A(t) = a(t) + b(t) \operatorname{sgn}(\xi) \]
（具体形式依赖于曲线参数化和规范化）。
诺特定理（Noether’s Theorem，积分方程版本）是关于奇异积分方程可解性的基本定理。它断言：对于上述形式的奇异积分方程，如果系数 \(a(t), b(t)\) 在 \(L\) 上满足赫尔德连续条件，且象征处处不为零，即：
\[a(t)^2 - b(t)^2 \neq 0, \quad \forall t \in L \]
则算子 \(A\) 是弗雷德霍姆算子。这意味着：
- 齐次方程 \(A\phi = 0\) 的解空间维数 \(\kappa = \dim \ker A\) 是有限的。
- 非齐次方程 \(A\phi = f\) 可解的充要条件是 \(f\) 与共轭齐次方程 \(A^*\psi = 0\) 的所有解正交（在适当内积下），这里 \(A^*\) 是 \(A\) 的伴随算子。
- 共轭齐次方程的解空间维数 \(\kappa^* = \dim \ker A^*\) 也是有限的。
- 指标 \(\operatorname{Ind} A = \kappa - \kappa^*\) 是一个只依赖于算子象征的拓扑不变量，可以通过围道 \(L\) 上 \(\arg \sigma_A(t)\) 的改变量来计算：
\[\operatorname{Ind} A = \frac{1}{2\pi} [\arg \sigma_A(t)]_L \]
其中 \([\cdot]_L\) 表示沿闭合曲线 \(L\) 的正向绕行一周时，复函数 \(\sigma_A(t)\) 的幅角变化量。这个指标公式是阿蒂亚-辛格指标定理在这一具体情形下的体现。
第四步：黎曼-希尔伯特问题与奇异积分方程
奇异积分方程常可转化为黎曼-希尔伯特问题（RHP）：寻找一个在 \(L\) 上分段全纯的函数 \(\Phi(z)\)，满足边界条件：
\[\Phi^+(t) = G(t) \Phi^-(t) + g(t), \quad t \in L \]
其中 \(G(t)\) 是给定的非奇异矩阵函数（标量情形则为复值函数），\(g(t)\) 是已知向量函数。通过令未知函数 \(\phi(t) = \Phi^+(t) - \Phi^-(t)\)，并利用普莱梅利公式，可以将奇异积分方程：
\[a(t)\phi(t) + b(t)(S\phi)(t) = f(t) \]
（为简洁暂略去紧算子项）转化为一个齐次（\(g=0\)）的标量RHP，其中跳跃矩阵 \(G(t) = (a(t)-b(t))/(a(t)+b(t))\)。RHP的求解（通过柯西积分和因式分解）直接给出了原奇异积分方程的解，并清楚地显示了诺特定理中指标与 \(G(t)\) 的指数（绕数）之间的关系。
第五步：典型解法与例子
一个经典的例子是空气动力学中的薄翼理论方程，它化为一类具有柯西核的奇异积分方程。其标准解法步骤如下：
- 化成标准型：通过乘以适当的函数，将方程化为形式：
\[\phi(t) + \frac{\lambda}{\pi i} \mathrm{P.V.} \int_L \frac{\phi(\tau)}{\tau - t} d\tau = f(t) \]
- 使用希尔伯特变换或共形映射：若 \(L\) 是实轴或单位圆，奇异积分算子 \(S\) 在傅里叶空间或劳伦级数空间是对角化的，从而可将方程转化为代数方程求解。
- 应用诺特定理：计算象征 \(\sigma(t) = 1 + \lambda \operatorname{sgn}(\xi)\)，其指标为0（当 \(|\lambda| \neq 1\)）。由此确定齐次方程只有平凡解，非齐次方程对任意右端项存在唯一解。
- 构造解：利用柯西型积分表示，将解表示为：
\[\phi(t) = \frac{1}{\sqrt{1-\lambda^2}} f(t) - \frac{\lambda}{\pi i \sqrt{1-\lambda^2}} \mathrm{P.V.} \int_L \frac{f(\tau)}{\tau - t} \left( \frac{\tau - a}{t-a} \right)^\alpha d\tau \]
其中 \(a\) 是端点，\(\alpha\) 由指标决定。这体现了奇异积分方程的解常包含与端点奇异性相关的权重因子。
总而言之，奇异积分方程理论将柯西积分、黎曼-希尔伯特问题、指标理论和广义函数论深刻结合，是数学物理中分析具有奇异性相互作用（如裂纹力学、翼型绕流、量子散射等）问题的强大工具。诺特定理则为这类方程的可解性提供了清晰而普适的判据。