好的，我们开始学习一个新词条。
量子力学中的Gaussian积分与路径积分应用
步骤1：从经典的高斯积分回顾开始
首先，我们回忆数学和物理学中最常用、最重要的积分之一——高斯积分。对于一个实数变量 \(a > 0\)，其基本形式为：
\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}. \]
这是单变量的情况。这个结果之所以关键，是因为指数上的二次型（如 \(-a x^2\)）在物理学中无处不在，它描述了许多平衡态附近的行为，例如谐振子的势能或概率分布（如正态分布）。
步骤2：推广到多维实高斯积分
在量子力学中，我们经常处理多个自由度。因此，我们需要将高斯积分推广到多维情况。考虑一个 \(n\) 维实向量 \(\mathbf{x} = (x_1, x_2, ..., x_n)\)，和一个 \(n \times n\) 的实对称、正定矩阵 \(A\)（意味着所有特征值均大于零）。多维高斯积分为：
\[\int_{\mathbb{R}^n} e^{-\frac{1}{2} \mathbf{x}^T A \mathbf{x}} d^n x = \frac{(2\pi)^{n/2}}{\sqrt{\det A}}. \]
这里，\(\mathbf{x}^T A \mathbf{x}\) 是一个正的二次型。这个公式的推导核心是将矩阵 \(A\) 对角化（通过正交变换），将积分转化为 \(n\) 个独立单变量高斯积分的乘积，而每个积分的“\(a\)”就是 \(A\) 的特征值。所有特征值的乘积就是行列式 \(\det A\)。
重要注解：“正定”条件确保了指数衰减，使得积分收敛。这是后续所有应用的基础。
步骤3：引入线性项（源项）
在物理计算中，特别是为了生成关联函数（如两点关联函数），我们会在指数上添加一个线性项。考虑带“源”向量 \(\mathbf{J}\) 的积分：
\[\int_{\mathbb{R}^n} e^{-\frac{1}{2} \mathbf{x}^T A \mathbf{x} + \mathbf{J}^T \mathbf{x}} d^n x. \]
这里，\(\mathbf{J}^T \mathbf{x}\) 是线性项。这个积分可以通过“配平方”的技巧精确计算。具体做法是：完成平方。
我们改写指数部分：
\[-\frac{1}{2} \mathbf{x}^T A \mathbf{x} + \mathbf{J}^T \mathbf{x} = -\frac{1}{2} (\mathbf{x} - A^{-1}\mathbf{J})^T A (\mathbf{x} - A^{-1}\mathbf{J}) + \frac{1}{2} \mathbf{J}^T A^{-1} \mathbf{J}. \]
进行变量替换 \(\mathbf{y} = \mathbf{x} - A^{-1}\mathbf{J}\)，积分变为：
\[e^{\frac{1}{2} \mathbf{J}^T A^{-1} \mathbf{J}} \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\frac{1}{2} \mathbf{y}^T A \mathbf{y}} d^n y = e^{\frac{1}{2} \mathbf{J}^T A^{-1} \mathbf{J}} \cdot \frac{(2\pi)^{n/2}}{\sqrt{\det A}}. \]
关键点：结果中出现了一个因子 \(e^{\frac{1}{2} \mathbf{J}^T A^{-1} \mathbf{J}}\)。这个因子是“生成函数”的核心，因为如果我们对 \(\mathbf{J}\) 求导（然后令 \(\mathbf{J}=0\)），就能轻松计算出所有多项式矩（即关联函数）。例如，\(A^{-1}\) 的矩阵元直接给出了 \(\langle x_i x_j \rangle\) 的值。
步骤4：从有限维到无限维——通向路径积分的桥梁
在量子力学的路径积分表述（你已学过的词条）中，我们不是对有限维向量 \(\mathbf{x}\) 积分，而是对所有可能的粒子路径 \(x(t)\) 进行积分。这是一个无限维的函数空间积分。
考虑一个最简模型：一个质量为 \(m\) 的粒子在一维势场 \(V(x)\) 中运动。其传播子（Feynman传播子）的路径积分表示为：
\[K(x_f, t_f; x_i, t_i) = \int_{x(t_i)=x_i}^{x(t_f)=x_f} \mathcal{D}x(t) \ e^{\frac{i}{\hbar} S[x(t)]}, \]
其中作用量 \(S = \int dt \left[ \frac{m}{2} \dot{x}^2 - V(x) \right]\)。
步骤5：高斯路径积分的核心案例：自由粒子和谐振子
对于大多数非平庸的势场，路径积分无法严格求出。但有两种情况例外，它们的路径积分是高斯型的，可以精确求解：
- 自由粒子：\(V(x) = 0\)。此时作用量 \(S\) 中只有动能项 \(\frac{m}{2} \dot{x}^2\)，它是路径 \(x(t)\) 的时间导数 \(\dot{x}\) 的二次型。
- 谐振子：\(V(x) = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2\)。此时作用量 \(S\) 是路径 \(x(t)\) 及其时间导数的二次型：\(S = \int dt \left[ \frac{m}{2} \dot{x}^2 - \frac{m}{2} \omega^2 x^2 \right]\)。
在这两种情况下，作用量 \(S\) 是路径 \(x(t)\) 的二次泛函。这与我们之前讨论的多维二次型 \(\frac{1}{2} \mathbf{x}^T A \mathbf{x}\) 在精神上完全一致，只是现在“矩阵 \(A\)”被一个微分算子（如 \(-m \frac{d^2}{dt^2} - m\omega^2\)）所取代，“向量 \(\mathbf{x}\)”被函数 \(x(t)\) 取代，“求和”被对时间 \(t\) 的积分取代。
步骤6：如何计算高斯路径积分——类比与推广
计算此类路径积分的策略，严格类比于有限维高斯积分：
- 找到“经典路径”：在边界条件 \(x(t_i)=x_i, x(t_f)=x_f\) 下，求解使作用量 \(S\) 取极值的经典路径 \(x_{cl}(t)\)。这对应于欧拉-拉格朗日方程的解。
- 在经典路径附近展开：将任意路径写为 \(x(t) = x_{cl}(t) + y(t)\)，其中 \(y(t)\) 是偏离，满足 \(y(t_i)=y(t_f)=0\)。由于作用量是二次的，展开后没有高于二阶的项：
\[ S[x] = S[x_{cl}] + \underbrace{\frac{\delta S}{\delta x}\bigg|_{x_{cl}} \cdot y}_{=0 \text{ (因为 } x_{cl} \text{是极值路径)}} + \frac{1}{2} \iint dt dt‘ \ y(t) \frac{\delta^2 S}{\delta x(t) \delta x(t’)} \bigg|_{x_{cl}} y(t‘). \]
第一项 \(S[x_{cl}]\) 是一个数（经典作用量）。第二项为零。第三项是偏离 \(y(t)\) 的二次型，其“核”是二阶泛函导数，它通常是一个微分算子。
3. 路径积分化为对 \(y(t)\) 的高斯积分：传播子变为：
\[ K = e^{\frac{i}{\hbar} S[x_{cl}]} \int_{y(t_i)=0}^{y(t_f)=0} \mathcal{D}y(t) \ e^{\frac{i}{\hbar} \cdot \frac{1}{2} \iint y(t) \hat{O} y(t’) dt dt‘}. \]
这里的积分 \(\int \mathcal{D}y(t) ...\) 是关于所有满足零边界条件的偏离路径 \(y(t)\) 的高斯路径积分，其中算子 \(\hat{O}\) 在自由粒子情况下是 \(-m \frac{d^2}{dt^2}\)，在谐振子情况下是 \(-m \frac{d^2}{dt^2} - m\omega^2\)。
4. 无限维行列式：类比有限维公式 \(\int e^{-\frac{1}{2}\mathbf{x}^T A \mathbf{x}} d^n x \propto (\det A)^{-1/2}\)，这个路径积分的结果应该正比于算子 \(\hat{O}\) 的（正则化后的）行列式的平方根的倒数。但是注意，这里是虚指数 \(e^{i (...) / \hbar}\)，所以涉及到更细致的收敛性处理（如 Wick 旋转到虚时间）和行列式的定义。最终结果可以表达为：
\[ K \propto e^{\frac{i}{\hbar} S[x_{cl}]} \cdot \left[ \det \left( \frac{\hat{O}}{2\pi i \hbar} \right) \right]^{-1/2}. \]
这个行列式可以通过多种方法计算，例如利用算子的本征函数（在给定边界条件下是正弦函数等）的本征值乘积的 zeta 函数正则化，或者与已知的传播子解进行比较来归一化。
步骤7：高斯路径积分的核心应用与意义
- 精确解的基础：自由粒子和谐振子的传播子可以通过此方法精确求出，它们是量子力学和量子场论中非常重要的基本构件。
- 微扰理论的起点：对于一般的势场 \(V(x)\)，我们可以围绕一个已知的高斯系统（如自由粒子或谐振子）进行微扰展开。将非二次的部分（即相互作用项）展开，路径积分就转化为计算一系列高斯路径积分的问题，这些高斯积分可以通过引入“源项”并求导（即生成泛函技巧）来系统处理。这就是费曼图展开（你已学过的词条）的起源。
- 瞬子与半经典近似：即使在隧穿等非微扰现象中，我们也在多个“经典解”（如瞬子）附近做高斯积分近似，然后对所有贡献求和。这构成了半经典近似（WKB近似的一种推广）的核心。
- 关联函数计算：通过在高斯权重中引入源项 \(J(t)\)（类比步骤3中的 \(\mathbf{J}\)），我们可以生成所有与自由理论（高斯理论）相关的关联函数（格林函数）。
总结：在量子力学中，高斯积分（从有限维到无限维）是路径积分方法得以实际计算的数学基石。它将物理问题的求解，从求解微分方程（薛定谔方程）转化为计算一个结构清晰的泛函积分，并为微扰和非微扰计算提供了系统性的框架。理解有限维高斯积分的“配平方”和“行列式”结果，是理解其无限维推广（路径积分）直觉的关键。