椭球面的几何性质

字数 3516 2025-12-09 22:48:38

椭球面的几何性质

我们开始讲解椭球面这个几何对象。椭球面是三维空间中一种非常基本且重要的曲面，它是球面在三个相互垂直方向上均匀拉伸或压缩的推广。我们可以从它的定义、标准方程出发，逐步深入到其截面性质、参数化表示、曲率特征以及与其它几何对象的关系。

1. 定义与标准方程

椭球面可以定义为：在三维笛卡尔直角坐标系 \(Oxyz\) 中，所有满足以下方程的点的集合：

\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \]

其中 \(a, b, c\) 是三个正的常数，称为椭球面的半轴长度。这个方程称为椭球面的标准方程。

原点 \(O\) 是椭球面的中心。
坐标轴 \(x\)-轴、\(y\)-轴、\(z\)-轴是椭球面的对称轴。
坐标平面 \(x=0\), \(y=0\), \(z=0\) 是椭球面的对称平面。

特殊情况：

当 \(a = b = c = r\) 时，方程退化为 \(x^2 + y^2 + z^2 = r^2\)，这就是半径为 \(r\) 的球面。
当其中两个半轴相等时，例如 \(a = b \neq c\)，椭球面是一个旋转椭球面（由椭圆绕其对称轴旋转而成）。若绕 \(z\) 轴旋转，则方程为 \(\frac{x^2+y^2}{a^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1\)。

2. 几何形状与截面

我们可以通过用平面去截割椭球面来理解它的形状。

坐标平面截口：
- 用平面 \(z = 0\) 去截，得到椭圆：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（在 \(xy\)-平面上）。
- 同理，用 \(y=0\) 截得椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1\)（在 \(xz\)-平面上）。
- 用 \(x=0\) 截得椭圆 \(\frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1\)（在 \(yz\)-平面上）。
  这三个椭圆称为椭球面的主椭圆，它们相交于六个顶点 \((\pm a, 0, 0)\), \((0, \pm b, 0)\), \((0, 0, \pm c)\)。
平行于坐标平面的截口：
用平行于坐标平面的平面去截，例如平面 \(z = h\)（其中 \(|h| < c\)），代入方程得：

\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 - \frac{h^2}{c^2} \]

这是一个椭圆，其半轴长度分别为 \(a\sqrt{1 - h^2/c^2}\) 和 \(b\sqrt{1 - h^2/c^2}\)。当 \(|h|\) 从 \(0\) 增加到 \(c\) 时，椭圆从最大的主椭圆（在 \(z=0\) 处）逐渐缩小成一点（在 \(z=\pm c\) 处，即顶点）。类似地，平行于其它坐标平面的截面也是椭圆。

任意方向平面的截口：
可以证明，用任意平面去截椭球面，所得截口曲线总是一个椭圆（可能是退化的，如一个点或一条线段）。这是椭球面的一个重要特征。

3. 参数化表示

为了用两个参数表示椭球面上的点，我们自然地想到利用球坐标的推广。设参数 \(\theta \in [0, \pi]\)（类似于余纬度），\(\phi \in [0, 2\pi)\)（类似于经度），则椭球面的参数方程为：

\[\begin{cases} x = a \sin\theta \cos\phi, \\ y = b \sin\theta \sin\phi, \\ z = c \cos\theta. \end{cases} \]

当 \(\theta=0\) 时，对应北极点 \((0, 0, c)\)；当 \(\theta=\pi\) 时，对应南极点 \((0, 0, -c)\)。
当 \(\theta = \pi/2\) 时，对应赤道椭圆：\(x = a\cos\phi, y = b\sin\phi, z=0\)。
这个参数化覆盖了整个椭球面（除了两极可能因参数导致的奇点，但几何上这两点是光滑的）。

4. 法向量与切平面

对于参数化曲面 \(\mathbf{r}(\theta, \phi) = (a\sin\theta\cos\phi, b\sin\theta\sin\phi, c\cos\theta)\)，我们可以计算其偏导数：

\[\mathbf{r}_\theta = (a\cos\theta\cos\phi, b\cos\theta\sin\phi, -c\sin\theta), \quad \mathbf{r}_\phi = (-a\sin\theta\sin\phi, b\sin\theta\cos\phi, 0). \]

那么曲面在该点的法向量 \(\mathbf{N}\) 可以通过叉积得到：

\[\mathbf{N} = \mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_\phi = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a\cos\theta\cos\phi & b\cos\theta\sin\phi & -c\sin\theta \\ -a\sin\theta\sin\phi & b\sin\theta\cos\phi & 0 \end{vmatrix}. \]

计算后可得（经过化简）：

\[\mathbf{N} = (bc\sin^2\theta\cos\phi, ac\sin^2\theta\sin\phi, ab\sin\theta\cos\theta). \]

这个向量指向曲面外侧（因为各分量与 \(x, y, z\) 坐标符号一致）。单位法向量为 \(\mathbf{n} = \frac{\mathbf{N}}{\|\mathbf{N}\|}\)。有了法向量，过点 \(\mathbf{r}(\theta, \phi)\) 的切平面方程就可以写出：\((\mathbf{X} - \mathbf{r}) \cdot \mathbf{N} = 0\)，其中 \(\mathbf{X} = (x, y, z)\)。

5. 曲率特征

椭球面的曲率分析比球面复杂，因为其各点的高斯曲率和平均曲率一般不是常数。

高斯曲率 \(K\)：对于由方程 \(F(x,y,z)=0\) 隐式定义的曲面，高斯曲率有公式可算。对于椭球面 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1\)，可以推导出：

\[ K = \frac{1}{a^2 b^2 c^2} \left( \frac{x^2}{a^4} + \frac{y^2}{b^4} + \frac{z^2}{c^4} \right)^{-2}. \]

可见，高斯曲率恒为正（\(K > 0\)），这说明椭球面是凸曲面，且各点都是椭圆点（两个主曲率同号）。在顶点处（例如 \((a,0,0)\)），曲率最大；在“赤道”区域，曲率较小。

主曲率与脐点：一般情况下，椭球面上每点有两个不同的主曲率（对应两个主方向）。只有当 \(a=b=c\)（球面）时，每点都是脐点（所有方向都是主方向，主曲率相等）。对于一般的三轴椭球面（\(a \neq b \neq c\)），通常只有四个脐点，它们位于包含最长轴和最短轴的平面与曲面的交线上。例如若 \(a > b > c\)，则脐点出现在平面 \(y=0\) 与椭球面相交的椭圆上，具体位置需解方程确定。
平均曲率 \(H\)：也有相应的公式，但不为常数。

6. 椭球面的应用与推广

地球形状的近似：地球不是一个完美的球体，而更接近于一个旋转椭球体（扁球体），赤道半径略大于极半径。这在大地测量学中非常重要。
二次曲面分类：椭球面是实二次曲面的一种中心类型（所有特征值同号）。其一般方程可通过坐标变换化为标准形式。
参数不等时的变形：当三个半轴长度差异很大时，椭球面可以变得非常扁平或细长，成为各种近似形状。

总结来说，椭球面是一个具有丰富几何性质的二次曲面。它从球面变形而来，保持了凸性、椭圆截口等特性，但其曲率分布不再均匀。通过研究它的方程、截面、参数化和曲率，我们可以深入理解这一经典曲面的内在结构。

椭球面的几何性质我们开始讲解椭球面这个几何对象。椭球面是三维空间中一种非常基本且重要的曲面，它是球面在三个相互垂直方向上均匀拉伸或压缩的推广。我们可以从它的定义、标准方程出发，逐步深入到其截面性质、参数化表示、曲率特征以及与其它几何对象的关系。 1. 定义与标准方程椭球面可以定义为：在三维笛卡尔直角坐标系 \(Oxyz\) 中，所有满足以下方程的点的集合： \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \] 其中 \(a, b, c\) 是三个正的常数，称为椭球面的半轴长度。这个方程称为椭球面的标准方程。原点 \(O\) 是椭球面的中心。坐标轴 \(x\)-轴、\(y\)-轴、\(z\)-轴是椭球面的对称轴。坐标平面 \(x=0\), \(y=0\), \(z=0\) 是椭球面的对称平面。特殊情况：当 \(a = b = c = r\) 时，方程退化为 \(x^2 + y^2 + z^2 = r^2\)，这就是半径为 \(r\) 的球面。当其中两个半轴相等时，例如 \(a = b \neq c\)，椭球面是一个旋转椭球面（由椭圆绕其对称轴旋转而成）。若绕 \(z\) 轴旋转，则方程为 \(\frac{x^2+y^2}{a^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1\)。 2. 几何形状与截面我们可以通过用平面去截割椭球面来理解它的形状。坐标平面截口：用平面 \(z = 0\) 去截，得到椭圆：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（在 \(xy\)-平面上）。同理，用 \(y=0\) 截得椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1\)（在 \(xz\)-平面上）。用 \(x=0\) 截得椭圆 \(\frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1\)（在 \(yz\)-平面上）。这三个椭圆称为椭球面的主椭圆，它们相交于六个顶点 \((\pm a, 0, 0)\), \((0, \pm b, 0)\), \((0, 0, \pm c)\)。平行于坐标平面的截口：用平行于坐标平面的平面去截，例如平面 \(z = h\)（其中 \(|h| < c\)），代入方程得： \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 - \frac{h^2}{c^2} \] 这是一个椭圆，其半轴长度分别为 \(a\sqrt{1 - h^2/c^2}\) 和 \(b\sqrt{1 - h^2/c^2}\)。当 \(|h|\) 从 \(0\) 增加到 \(c\) 时，椭圆从最大的主椭圆（在 \(z=0\) 处）逐渐缩小成一点（在 \(z=\pm c\) 处，即顶点）。类似地，平行于其它坐标平面的截面也是椭圆。任意方向平面的截口：可以证明，用任意平面去截椭球面，所得截口曲线总是一个椭圆（可能是退化的，如一个点或一条线段）。这是椭球面的一个重要特征。 3. 参数化表示为了用两个参数表示椭球面上的点，我们自然地想到利用球坐标的推广。设参数 \(\theta \in [ 0, \pi]\)（类似于余纬度），\(\phi \in [ 0, 2\pi)\)（类似于经度），则椭球面的参数方程为： \[ \begin{cases} x = a \sin\theta \cos\phi, \\ y = b \sin\theta \sin\phi, \\ z = c \cos\theta. \end{cases} \] 当 \(\theta=0\) 时，对应北极点 \((0, 0, c)\)；当 \(\theta=\pi\) 时，对应南极点 \((0, 0, -c)\)。当 \(\theta = \pi/2\) 时，对应赤道椭圆：\(x = a\cos\phi, y = b\sin\phi, z=0\)。这个参数化覆盖了整个椭球面（除了两极可能因参数导致的奇点，但几何上这两点是光滑的）。 4. 法向量与切平面对于参数化曲面 \(\mathbf{r}(\theta, \phi) = (a\sin\theta\cos\phi, b\sin\theta\sin\phi, c\cos\theta)\)，我们可以计算其偏导数： \[ \mathbf{r} \theta = (a\cos\theta\cos\phi, b\cos\theta\sin\phi, -c\sin\theta), \quad \mathbf{r} \phi = (-a\sin\theta\sin\phi, b\sin\theta\cos\phi, 0). \] 那么曲面在该点的法向量 \(\mathbf{N}\) 可以通过叉积得到： \[ \mathbf{N} = \mathbf{r} \theta \times \mathbf{r} \phi = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a\cos\theta\cos\phi & b\cos\theta\sin\phi & -c\sin\theta \\ -a\sin\theta\sin\phi & b\sin\theta\cos\phi & 0 \end{vmatrix}. \] 计算后可得（经过化简）： \[ \mathbf{N} = (bc\sin^2\theta\cos\phi, ac\sin^2\theta\sin\phi, ab\sin\theta\cos\theta). \] 这个向量指向曲面外侧（因为各分量与 \(x, y, z\) 坐标符号一致）。单位法向量为 \(\mathbf{n} = \frac{\mathbf{N}}{\|\mathbf{N}\|}\)。有了法向量，过点 \(\mathbf{r}(\theta, \phi)\) 的切平面方程就可以写出：\((\mathbf{X} - \mathbf{r}) \cdot \mathbf{N} = 0\)，其中 \(\mathbf{X} = (x, y, z)\)。 5. 曲率特征椭球面的曲率分析比球面复杂，因为其各点的高斯曲率和平均曲率一般不是常数。高斯曲率 \(K\) ：对于由方程 \(F(x,y,z)=0\) 隐式定义的曲面，高斯曲率有公式可算。对于椭球面 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1\)，可以推导出： \[ K = \frac{1}{a^2 b^2 c^2} \left( \frac{x^2}{a^4} + \frac{y^2}{b^4} + \frac{z^2}{c^4} \right)^{-2}. \] 可见，高斯曲率恒为正（\(K > 0\)），这说明椭球面是凸曲面，且各点都是椭圆点（两个主曲率同号）。在顶点处（例如 \((a,0,0)\)），曲率最大；在“赤道”区域，曲率较小。主曲率与脐点：一般情况下，椭球面上每点有两个不同的主曲率（对应两个主方向）。只有当 \(a=b=c\)（球面）时，每点都是脐点（所有方向都是主方向，主曲率相等）。对于一般的三轴椭球面（\(a \neq b \neq c\)），通常只有四个脐点，它们位于包含最长轴和最短轴的平面与曲面的交线上。例如若 \(a > b > c\)，则脐点出现在平面 \(y=0\) 与椭球面相交的椭圆上，具体位置需解方程确定。平均曲率 \(H\) ：也有相应的公式，但不为常数。 6. 椭球面的应用与推广地球形状的近似：地球不是一个完美的球体，而更接近于一个旋转椭球体（扁球体），赤道半径略大于极半径。这在大地测量学中非常重要。二次曲面分类：椭球面是实二次曲面的一种中心类型（所有特征值同号）。其一般方程可通过坐标变换化为标准形式。参数不等时的变形：当三个半轴长度差异很大时，椭球面可以变得非常扁平或细长，成为各种近似形状。总结来说，椭球面是一个具有丰富几何性质的二次曲面。它从球面变形而来，保持了凸性、椭圆截口等特性，但其曲率分布不再均匀。通过研究它的方程、截面、参数化和曲率，我们可以深入理解这一经典曲面的内在结构。