单调收敛定理（Monotone Convergence Theorem, MCT）
好的，我们循序渐进地讲解单调收敛定理。它被认为是实变函数与勒贝格积分理论中最重要的收敛定理之一，因为它提供了积分与极限交换的一个非常简洁且强大的条件。
1. 前置知识回顾：我们需要什么？
首先，我们需要明确这个定理的“舞台”和“演员”：
- 测度空间：一个完全测度空间
(X, Σ, μ)。通常我们考虑勒贝格测度空间，但定理在更一般的测度下也成立。 - 可测函数序列：一列函数
{f_n}，其中每个f_n: X → [0, +∞]都是非负可测函数。这是关键条件之一。 - 单调性：序列是单调递增的，即对几乎所有
x ∈ X和所有n，有f_n(x) ≤ f_{n+1}(x)。我们可以简记为f_n ↗。
2. 定理的陈述
单调收敛定理（标准形式）：
设
(X, Σ, μ)是一个测度空间，{f_n}是一列从X到[0, +∞]的可测函数。如果f_n ↗ f几乎处处成立（即f_n(x)单调递增地收敛于某个函数f(x)），那么：
f也是非负可测函数。- 函数序列的积分极限等于极限函数的积分，即：
∫_X f dμ = lim_(n→∞) ∫_X f_n dμ.
更精确地写作：∫_X (lim_(n→∞) f_n) dμ = lim_(n→∞) ∫_X f_n dμ.
用文字解释：对于一列单调递增的非负可测函数，积分运算 和 极限运算 可以交换顺序。这是黎曼积分理论中不具备的优良性质。
3. 为什么需要“非负”和“单调递增”条件？
- 非负性 (
f_n ≥ 0)：这确保了每个积分∫ f_n dμ都有明确的定义（尽管可能是+∞）。在勒贝格积分理论中，非负函数的积分总是有定义的（非负广义实数）。这个条件避免了“∞ - ∞”型的不定式。 - 单调递增性 (
f_n ↗)：这个条件极其关键。它保证了序列的极限函数f是良定义的（作为逐点极限）。更重要的是，它保证了积分序列{∫ f_n dμ}本身也是一个单调递增的数列（因为被积函数越来越大）。一个单调递增的数列（在广义实数中）总是有极限（可能是+∞）。因此，定理等式的右边总是有意义的。
4. 定理的直观理解与重要性
考虑一个简单的例子：用一列简单的函数去逼近一个复杂的非负函数。例如，为了定义非负可测函数 f 的积分，我们通常就是用一列单调递增的简单函数 {s_n} 去逼近它。单调收敛定理正是这种构造方法的基石，它保证了这样定义的积分是一致的，不依赖于逼近序列的选择。
重要性体现在：
- 定义积分：它是从简单函数积分过渡到一般非负可测函数积分的关键桥梁。
- 证明其他定理：它是证明法图引理和控制收敛定理等更强有力工具的重要跳板。
- 极限交换：在实际计算和理论推导中，它提供了验证“何时可以把极限号拿到积分号里面”的一个简单判别法。
5. 一个经典的反例：如果没有单调性
考虑区间 [0, ∞) 上的函数序列：
f_n(x) = n * 1_{[0, 1/n]}(x)。这里 1_A 是集合 A 的示性函数。
- 非负性：满足，
f_n ≥ 0。 - 单调性？不满足。当
n增加时，函数的高度n增加，但支撑集[0, 1/n]在缩小。实际上，对每个固定的x > 0，当n足够大时（n > 1/x），f_n(x) = 0。所以f_n逐点收敛到f(x) = 0。 - 计算积分：
∫ f_n dμ = n * (1/n) = 1，所以lim ∫ f_n dμ = 1。∫ f dμ = ∫ 0 dμ = 0。
- 结论：
lim ∫ f_n dμ = 1 ≠ 0 = ∫ (lim f_n) dμ。极限和积分不能交换。这反过来说明了单调性条件的重要性。这个例子本质上与狄利克雷函数的思想相关，但用在了积分与极限的交换上。
6. 定理的一个推广形式：对“几乎处处”的要求
有时，序列可能不是逐点单调，而是“几乎处处”单调。定理依然成立：
如果存在一个零测集
E（μ(E) = 0），使得对所有x ∉ E，有f_n(x)单调递增，并且f_n(x) → f(x)，那么定理结论依然成立。因为积分对零测集上的函数值改变不敏感。
7. 定理的应用示例
例：计算级数的积分。设 g_k 是一列非负可测函数。考虑部分和 f_n = Σ_{k=1}^{n} g_k。显然 {f_n} 单调递增，并且 lim f_n = Σ_{k=1}^{∞} g_k。
应用单调收敛定理：
∫ (Σ_{k=1}^{∞} g_k) dμ = lim_{n→∞} ∫ (Σ_{k=1}^{n} g_k) dμ = lim_{n→∞} Σ_{k=1}^{n} ∫ g_k dμ = Σ_{k=1}^{∞} ∫ g_k dμ.
我们得到了一个非常重要的推论：对于非负可测函数项级数，求和与积分可以交换顺序。这常常用于证明其他定理或进行运算。
总结
单调收敛定理的核心思想是：对于一列单调递增的非负可测函数，其积分序列的极限，等于其极限函数的积分。它用非常简洁的条件（非负、单调）解决了积分与极限交换的问题，是构建勒贝格积分理论和进行极限分析的基石之一。理解它的关键在于，单调性确保了积分序列的极限行为与函数的极限行为同步，而非负性则保证了所有运算都始终是良定义的。