图的符号控制与符号控制数
字数 2291 2025-12-09 20:41:31

图的符号控制与符号控制数

我们来逐步学习“图的符号控制与符号控制数”这个概念。

第一步：从经典控制到符号控制
首先，回想一下图的经典“控制集”概念。对于一个图G=(V, E)，一个顶点子集D ⊆ V 称为一个控制集，如果对于图中不在D中的每一个顶点v（即v ∈ V\D），都存在一个顶点u ∈ D，使得u和v相邻（即(u,v) ∈ E）。换句话说，D以外的每个顶点都至少有一个“邻居”在D中。这个概念在设施选址、监控系统等领域有直观应用。

“符号控制”是这个经典概念的延伸和变体。它不再将顶点简单地分为“在控制集内”或“不在控制集内”（即0或1），而是为每个顶点赋予一个“+1”或“-1”的标签，表示一种“正”或“负”的控制状态。

第二步：符号控制函数的定义
设G=(V, E)是一个没有孤立顶点的图（这个条件通常被要求，以确保定义良好）。一个函数 f: V → {+1, -1} 被称为图G的一个符号控制函数。

这个函数需要满足一个特定条件：对于图G中的每一个顶点v，其“符号控制和”必须至少为1。

第三步：理解“符号控制和”
一个顶点v的“符号控制和”是如何计算的呢？它不仅仅是f(v)自身的值，而是v自身与其所有邻居的函数值之和。用数学表达式写出来就是：

\[f[v] = f(v) + \sum_{u \in N(v)} f(u) \]

其中，N(v)表示顶点v的所有邻居顶点构成的集合。
这个和 f[v] 必须满足条件：对图中所有顶点v，都有 f[v] ≥ 1。

第四步：直观解释与示例
让我们通过一个最简单的例子——三个顶点构成的路径图P3（顶点依次为a-b-c）——来理解。

  • 假设我们定义一个符号控制函数 f 为：f(a)=+1, f(b)=-1, f(c)=+1。
  • 现在计算每个顶点的符号控制和 f[v]：
    • 对于顶点a：f[a] = f(a) + f(b) = (+1) + (-1) = 0。这不满足 ≥1 的条件。
  • 所以这个f不是一个有效的符号控制函数。

让我们尝试另一个函数 g: g(a)=+1, g(b)=+1, g(c)=+1。

  • 计算：
    • g[a] = g(a) + g(b) = 1+1=2 ≥1
    • g[b] = g(b) + g(a) + g(c) = 1+1+1=3 ≥1
    • g[c] = g(c) + g(b) = 1+1=2 ≥1
  • 所有顶点都满足条件，所以g是P3的一个符号控制函数。

这个定义的意义可以理解为：每个顶点从其自身和邻居那里接收“正”或“负”的能量（或影响）。整个“社区”（即该顶点及其邻域）的总能量必须为正（≥1），才能保证该顶点处于被良好“支持”或“监控”的状态。符号控制函数就是为每个顶点分配正负号，使得整个图满足这种局部正性和条件。

第五步：符号控制数的定义
对于一个给定的图G，通常存在许多不同的符号控制函数。我们关心其中“代价”最小的那个。符号控制函数的“权重” w(f) 定义为所有被赋值为 -1 的顶点的个数。注意，我们也可以等价地定义为 (+1顶点数) 减去 (-1顶点数) 的某种形式，但通常定义为其负部分的基数。

图G的符号控制数，记为 γₛ(G)，定义为所有可能的符号控制函数 f 的最小权重：

\[\gamma_s(G) = \min \{ w(f) \ |\ f \text{ 是G的一个符号控制函数} \} \]

其中 w(f) = |{ v ∈ V : f(v) = -1 }|。

第六步：计算符号控制数的例子与性质
回到我们的路径图P3（a-b-c）。我们找到了一个函数g，其w(g)=0（因为没有顶点是-1）。那么 γₛ(P₃) 是否就是0呢？

不一定。我们需要检查是否存在权重更小的函数（0已经是最小可能的权重了），但更重要的是，我们要验证g是否确实是符号控制函数（我们已验证过）。所以 γₛ(P₃) ≤ 0。但权重是负数个数，是非负数，所以最小可能是0。那么是否存在一个权重为0的符号控制函数呢？g就是。因此，γₛ(P₃) = 0。

这个例子展示了一个有趣的性质：对于某些图，其符号控制数可以是0。这意味着存在一种分配方式，给所有顶点都标上+1，依然能满足每个顶点及其邻居的和至少为1。这对于正则图（每个顶点度数相同）或度数较大的图是可能的。

第七步：进一步理解与研究问题
符号控制的概念自20世纪90年代被提出后，引出了一系列研究方向：

  1. 上下界：研究符号控制数 γₛ(G) 与图的基本参数（如顶点数n、最小度δ等）的关系。例如，已知一个基本下界是 γₛ(G) ≥ ⌈ (n+1-Δ) / 2 ⌉，其中Δ是最大度。
  2. 精确值：确定一些特殊图类（如路径、圈、树、完全图、完全二分图、乘积图等）的精确符号控制数。
  3. 算法复杂性：计算一般图的符号控制数是一个NP难问题。因此，研究其近似算法、参数化算法或特殊图类的多项式时间算法是重要课题。
  4. 变体：如同控制集有许多变体（如全控制、边控制、分数控制等），符号控制也衍生出许多变体，如弱符号控制（要求 f[v] ≥ 0）、k-符号控制（要求 f[v] ≥ k）、减符号控制等，你之前学过的“图的符号控制与符号控制数”可能就是其中一个特定变体，但核心思想是相通的。

总结来说，图的符号控制与符号控制数是经典控制理论的一个有趣的代数化推广，它通过引入{+1, -1}赋值和局部和条件，将组合优化问题与一定的“平衡”或“盈余”思想结合起来，丰富了图参数理论的研究内容。

图的符号控制与符号控制数 我们来逐步学习“图的符号控制与符号控制数”这个概念。 第一步：从经典控制到符号控制 首先，回想一下图的经典“控制集”概念。对于一个图G=(V, E)，一个顶点子集D ⊆ V 称为一个 控制集 ，如果对于图中不在D中的每一个顶点v（即v ∈ V\D），都存在一个顶点u ∈ D，使得u和v相邻（即(u,v) ∈ E）。换句话说，D以外的每个顶点都至少有一个“邻居”在D中。这个概念在设施选址、监控系统等领域有直观应用。 “符号控制”是这个经典概念的延伸和变体。它不再将顶点简单地分为“在控制集内”或“不在控制集内”（即0或1），而是为每个顶点赋予一个“+1”或“-1”的标签，表示一种“正”或“负”的控制状态。 第二步：符号控制函数的定义 设G=(V, E)是一个没有孤立顶点的图（这个条件通常被要求，以确保定义良好）。一个函数 f: V → {+1, -1} 被称为图G的一个 符号控制函数 。 这个函数需要满足一个特定条件：对于图G中的 每一个 顶点v，其“符号控制和”必须至少为1。 第三步：理解“符号控制和” 一个顶点v的“符号控制和”是如何计算的呢？它不仅仅是f(v)自身的值，而是v自身与其所有邻居的函数值之和。用数学表达式写出来就是： \[ f[ v] = f(v) + \sum_ {u \in N(v)} f(u) \] 其中，N(v)表示顶点v的所有邻居顶点构成的集合。 这个和 f[ v] 必须满足条件：对图中所有顶点v，都有 f[ v ] ≥ 1。 第四步：直观解释与示例 让我们通过一个最简单的例子——三个顶点构成的路径图P3（顶点依次为a-b-c）——来理解。 假设我们定义一个符号控制函数 f 为：f(a)=+1, f(b)=-1, f(c)=+1。 现在计算每个顶点的符号控制和 f[ v ]： 对于顶点a：f[ a] = f(a) + f(b) = (+1) + (-1) = 0。这 不满足 ≥1 的条件。 所以这个f不是一个有效的符号控制函数。 让我们尝试另一个函数 g: g(a)=+1, g(b)=+1, g(c)=+1。 计算： g[ a ] = g(a) + g(b) = 1+1=2 ≥1 g[ b ] = g(b) + g(a) + g(c) = 1+1+1=3 ≥1 g[ c ] = g(c) + g(b) = 1+1=2 ≥1 所有顶点都满足条件，所以g是P3的一个符号控制函数。 这个定义的意义可以理解为：每个顶点从其自身和邻居那里接收“正”或“负”的能量（或影响）。整个“社区”（即该顶点及其邻域）的总能量必须为正（≥1），才能保证该顶点处于被良好“支持”或“监控”的状态。符号控制函数就是为每个顶点分配正负号，使得整个图满足这种局部正性和条件。 第五步：符号控制数的定义 对于一个给定的图G，通常存在许多不同的符号控制函数。我们关心其中“代价”最小的那个。符号控制函数的“权重” w(f) 定义为所有被赋值为 -1 的顶点的个数。注意，我们也可以等价地定义为 (+1顶点数) 减去 (-1顶点数) 的某种形式，但通常定义为其负部分的基数。 图G的 符号控制数 ，记为 γₛ(G)，定义为所有可能的符号控制函数 f 的最小权重： \[ \gamma_ s(G) = \min \{ w(f) \ |\ f \text{ 是G的一个符号控制函数} \} \] 其中 w(f) = |{ v ∈ V : f(v) = -1 }|。 第六步：计算符号控制数的例子与性质 回到我们的路径图P3（a-b-c）。我们找到了一个函数g，其w(g)=0（因为没有顶点是-1）。那么 γₛ(P₃) 是否就是0呢？ 不一定。我们需要检查是否存在权重更小的函数（0已经是最小可能的权重了），但更重要的是，我们要验证g是否确实是符号控制函数（我们已验证过）。所以 γₛ(P₃) ≤ 0。但权重是负数个数，是非负数，所以最小可能是0。那么是否存在一个权重为0的符号控制函数呢？g就是。因此，γₛ(P₃) = 0。 这个例子展示了一个有趣的性质：对于某些图，其符号控制数可以是0。这意味着存在一种分配方式，给所有顶点都标上+1，依然能满足每个顶点及其邻居的和至少为1。这对于正则图（每个顶点度数相同）或度数较大的图是可能的。 第七步：进一步理解与研究问题 符号控制的概念自20世纪90年代被提出后，引出了一系列研究方向： 上下界 ：研究符号控制数 γₛ(G) 与图的基本参数（如顶点数n、最小度δ等）的关系。例如，已知一个基本下界是 γₛ(G) ≥ ⌈ (n+1-Δ) / 2 ⌉，其中Δ是最大度。 精确值 ：确定一些特殊图类（如路径、圈、树、完全图、完全二分图、乘积图等）的精确符号控制数。 算法复杂性 ：计算一般图的符号控制数是一个NP难问题。因此，研究其近似算法、参数化算法或特殊图类的多项式时间算法是重要课题。 变体 ：如同控制集有许多变体（如全控制、边控制、分数控制等），符号控制也衍生出许多变体，如 弱符号控制 （要求 f[ v] ≥ 0）、 k-符号控制 （要求 f[ v] ≥ k）、 减符号控制 等，你之前学过的“图的符号控制与符号控制数”可能就是其中一个特定变体，但核心思想是相通的。 总结来说， 图的符号控制与符号控制数 是经典控制理论的一个有趣的代数化推广，它通过引入{+1, -1}赋值和局部和条件，将组合优化问题与一定的“平衡”或“盈余”思想结合起来，丰富了图参数理论的研究内容。